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最多对比10个车款e,一个常数的传奇 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
e,一个常数的传奇
e到底有多神奇?e常熟的故事
本文作者:physixfan
自然对数的底e是一个令人不可思议的常数,一个由lim (1+1/n) n 定义出的常数,居然在数学和物理中频频出现,简直可以说是无处不在。这实在是让我们不得不敬畏这神奇的数学世界。
欧拉恒等式
但凡说起e,一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式----被誉为世界上最美丽的公式。
数学中最基本的5个常数----0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i,以及数学中最基本的两个符号,等号和加号,就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起,实在是让人叹服。
这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示,旋转这个向量,就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴,虚数为纵轴的坐标系。实单位向量,每次逆时针旋转π/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度,得到的向量就是:cosθ+isinθ。根据欧拉公式 e iθ = cosθ+isinθ可以看出 e iθ 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 e iπ 意味着单位向量逆时针旋转了π,结果显然是-1。
这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律:增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候,衰变率就和现存的放射性物质多少成正比;资源无穷多的社会,人口出生率将(近似的)和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解,则是由以e为底的指数增长所描述的:如果x的变化率等于变量x自身的λ倍,那么该变量随时间t的函数则为
其中C是任意常数。而e的直观含义正是增长的极限,这个问题在
中有过详细的介绍。
正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布,尽管这些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量,那么这个变量服从正态分布。
正态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量,测出来的值一般来说总是呈正态分布;瓶装可乐的实际体积,也是正态分布;一大群人的寿命分布、智商分布等,也都是正态分布。而正态分布的表达式中,也神奇的出现了e。
伽马函数与斯特林公式
阶乘运算n!本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广,因此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候,我们要寻找的函数就是一条通过了所有(n+1,n!)点的函数。所谓的伽马函数Γ(x)满足了这个性质,而伽马函数的表达式中又出现了e:
阶乘n!与e还有另一层神秘的联系。
当n趋于无穷大的时候,n!满足下面的近似关系式----斯特林公式:
(其中“~”符号表示同阶,可以大致认为是n趋于无穷大时的约等于)
要计算很大的阶乘值,位数受限而不能直接用计算机求出时,就可以用斯特林公式近似求出了。
所谓调和级数,即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一个发散级数,当n趋于无穷大的时候,这个和也将趋于无穷大。但是同样是发散的级数,发散也有快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢?伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了***:
因此调和级数的发散速度正是和以e为底的对数----ln函数的发散速度一致。
素数(或称质数)是指除了1和它本身之外,无法被其他自然数整除的数。素数看似和e毫无联系,可是,素数分布的理论指出,素数的分布与e息息相关。如果用π(x)表示不大于x的素数个数(注意这里的π不是圆周率!),那么素数分布中心定理指出
或者可以写成
注意到ln正是以e为底的对数。看,e就这样出现在了看似毫无关系的领域!
数学史上曾经有一个著名问题,称之为悬链线问题:一根柔软不可伸长的链子,两头固定在空间中的两个定点上(这两个点不一定要等高),链子形成的曲线是怎样一条曲线呢?这个问题和最速降线问题提出的时间很接近,而且参与者也大多相同。早在文艺复兴时代它就已经被达芬奇研究过,可惜并没有得到***。伽利略猜想***是抛物线,这也和很多人最初的感觉是一致的,可惜后来被惠更斯在17岁的时候证明是错的。
和最速降线问题一样,这一问题伯努利兄弟中的一个也曾公开征集解答,不过这次是哥哥雅各布,他在1690年的《教师学报》中发表了这个问题。在雅各布提出这一问题一年后的1691年6月,《教师学报》发表了惠更斯(当时已经62岁)、莱布尼茨以及约翰o伯努利提交的三份正确***。三人的方法都不一样,但最终的结果却是一致的。而雅各布自己则并没能把它解出来,这让弟弟约翰o伯努利异常兴奋。
悬链线的正确方程是这样的:
它的发现在当时被看做是新微积分伟大成果的重要标志。而现在,悬链线则在世界著名的标志性建筑物----密苏里的圣路易斯大拱门----中永垂不朽了。
e一次次如幽灵般恰当的出现在了每一处,时常给人们带来惊喜。而上述这些,只不过它的冰山一角而已。
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嗯,做沙发,不过貌似有点熟,最近好多e
数学真神奇=W=
好多公式,小编辛苦~
软件工程硕士
最近死理性很是迷小e啊~
引用Derek.Ye的回应:最近死理性很是迷小e啊~其实就出了两篇讲的方向不一样 一个说的是直观含义,一个则是讲e在各个地方的体现。这样才全面嘛~
语言爱好者
其实正态分布里面出现了pi才是最令人迷惑的
e!最最神奇的数字啊!
觉得e是一个代表智慧的字母????
乳品专业博士,科学松鼠会成员
高迪的很多建筑里也用到了悬垂线。。。
还是死理性派的文章看着过瘾啊!
其他都退订了,只看死理性派。很有意思!
佩服……第一个恒等式太漂亮了……难以置信……
数学物理控
引用Maigo的回应:其实正态分布里面出现了pi才是最令人迷惑的那个pi是归一化用的 其实就是个积分结果。。
曾经看过这样一本书。。。。《不可思议的e》。。。。
看到斯特林公式让我想起了当年的数学分析……看到增长理论让我想起了高级宏观……
初二依旧不明白e到底是个什么东西的孩子飘过...帮忙解释下呗....具体点、
公式全都看不懂哎....还是坚持看了点= =
引用`牛VS傻子*的回应:初二依旧不明白e到底是个什么东西的孩子飘过...帮忙解释下呗....具体点、
什么时候详细介绍一下双曲,和圆锥曲线和椭圆面积吧
引用soulighter的回应:什么时候详细介绍一下双曲,和圆锥曲线和椭圆面积吧+1
引用soulighter的回应:什么时候详细介绍一下双曲,和圆锥曲线和椭圆面积吧貌似是高中的范畴吧
Mathematica玩家
真的只是冰山一角啊!
有了这个就比较全面了呢之前那篇不够给力啊
很多时候e都是逼近某个极限时出现的 比如正太分布
"瓶装可乐的实际体积,也是正态分布"不懂,是什么意思?
有木有***分布?引用不穿内裤的少女的回应:很多时候e都是逼近某个极限时出现的 比如正太分布
引用你YA才是人的回应:"瓶装可乐的实际体积,也是正态分布"不懂,是什么意思?比如,抽查一批250ml(瓶子容量)的可乐,实际可乐体积如下:249、248、240、249、248、239、243、……把以上样本数据做成表再绘图,可以看到图像是正太曲线,就是正太分布了。
微吐槽:英国的《物理世界》期刊评选出的”世界上最伟大的公式“里,欧拉公式第二,麦克斯韦方程组第一。至于最美,没找到像投票、问卷一样的定量依据,凭公众感情和知名度的话,欧拉公式赢吧。
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(C)2016果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号定有人玩呀,最好的现在是天龙圣剑和天龙战衣...好象只有一套..在69区火舞者身上..活动奖励的...60级才能穿带的...首饰的话就可能是星皇了 。好像也要看每个区的情况 现在 护身还是极品 麻痹 传送 都是极品,不过圣战法身天尊 就不行了。
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传奇会否陨落?回顾SE在2012里面的几大得和失
时间:编辑:游乐园小编来源:网络
  对于这家日本发行商而言,2012是一个颇为有趣的年份。Square Enix今年做了不少聪明的决定,但同时也犯下了不少白痴的错误。且让我们回顾一下,在这些好与坏之间,会否昭示着一个泰坦级游戏公司的衰败。
  聪明的决定:
  勇于承认自己的错误
  《最终幻想14》是Square Enix自创社以来最大的一场灾难&&就连他们自己也不得不承认,这款满布癌细胞的在线MMORPG是渣渣&&所以我们有幸在2012见证他们拨乱反正的过程。他们承诺《最终幻想14:重生之境》将会是一个完全不同的体验,并且在一些游戏上的错误,非常开明地与玩家讨论。
    《最终幻想13-2》大概也属于同样的情况,为《最终幻想13》向玩家致歉;虽然溜雪本身就不太喜欢近几代的《最终幻想》游戏。前者给人的感觉,是一次低调的改过自新,以弥补后者所犯下的过错。那些失踪了的小镇、陆行鸟、非单线地牢等等,统统都回到《最终幻想13-2》里面。
更多相关资讯请关注:最终幻想13-2专题
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  聪明的决定:
  西方分支的崛起
  虽然Square Enix在日本的主干历尽浮沉起落,但其在西方的分支却越来越茂盛。先有《热血无赖》,后又有《杀手5:赦免》,一前一后的两款大作,让该公司的北美分部,变成了西方游戏商之间一股不容忽视的势力。
  与此同时,他们又支持独立作品&&如《量子谜题》&&的开发。明年的《古墓丽影》看起来不错。未来还有《神偷4》可以期盼,高潮一浪接一浪。
《热血无赖(Sleeping Dogs)》
《杀手5:赦免(HItman:Absolution)》
更多相关资讯请关注:热血无赖专题#p#副标题#e#
  白痴的错误:
  不懂得沟通
  《最终幻想13》的现况如何?《最终幻想10》的HD重制版到底怎么样了?为什么Square Enix从来不为自己的日系作品,如《勇者斗恶龙10》、《最终幻想:零式》和《勇气契约》在国际间作宣传?&
  虽然溜雪明白,不单单是Square Enix秉持着这种沉默寡言的企业文化,外间很多大型游戏公司都是这样,但Sqaure Enix有可能是他们当中最严重的一个。这家公司在宣布完某某游戏项目之后就不会再有下文,等到该游戏悄悄地在某地上架之后,他们才会承认这款作品的存在,也甚少会向玩家解释他们的商业决定。
#p#副标题#e#
  白痴的错误:
  手机(移动)游戏的误区
  从《最终幻想:维度》到《Demons Score》,Square Enix名下手机游戏的定价都当真相当奇葩,直接导致玩家很难相信自己不是被Square Enix坑了。尽管这些游戏确实是佳作,但只有少数几个作品的价格与游戏性达成正比。
  除此之外,Square Enix最近还养成一个习惯:他们会释出一些发布倒数网站,让玩家为可能会出现的潜力股游戏兴奋&&什么《美妙世界》或者《星之海洋》的续作等等。到头来又如何?倒数出来的作品永远都让人失望告终:要不就变成网页游戏,要不就变成iOS移植版;这叫核心玩家情何以堪。
  真心想问一问,就算移动平台是你们Square Enix的未来,但你们有必要在发展途中惹火所有核心粉丝吗?
更多相关资讯请关注:杀手5:赦免专题
游戏制作:FromSoftWare
游戏发型:BANDAINAMCON FromSoftWare
游戏品台:WinXP,Win7,Win8
上市时间:
更新时间:
游戏大小:532 MB
游戏类型:动作冒险
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更新日期:
游戏类型:第一人称射击FPS
游戏语言:简体中文版
游戏大小:1.3 GB
更新日期:
游戏类型:角色扮演
游戏语言:简体中文版
游戏大小:206 MB
更新日期:
游戏类型:即时战略类RTS
游戏语言:英文
游戏大小:4.4GB
更新日期:
游戏类型:动作冒险类ACT
游戏语言:简体中文版
游戏大小:1.4GB
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“我是一名导演……”
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这是一个关于导演的故事,仅此而已!
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参考资料

 

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