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利用克莱罗（clairaut）方程给出二次曲线的等价定义常微分方程试卷B卷***_百度文库
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常微分方程试卷B卷***
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&&浙江科技学院理学院常微分方程资料
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你可能喜欢第一章　地震监测概述
第二节& 马古拉公式和克莱罗方程
一、重力位
1．力与力位
力是一个向量，由三个方向上的分量组成。力位是一个标量，即一个点只有一个数值，显然，便于进行直接运算。两者之间有确定的关系。若力写成F（Fx，Fy，Fz），力位写成U，则存在以下关系：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-2)
即是力位在三个方向上的偏导数，等于力在相应方向上的三个分量。
就一般情况而言，若求某方向L上的分力FL，可表示为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&
2．引力与引力位
地球形状学的理论基础，是牛顿万有引力定律。该定律的数学表达形式是
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-4)
上式的物理意义是：任何两个质量为m和m′的物质质点p和p′，总以力F互相吸引，其大小与它们的质量乘积mm′成正比，与它们距离L的平方成反比，其方向在两点连线上。式中G为万有引力常数。其中负号表示引力（取正号，表示斥力）。
在地球引力场中，通常研究单位质量受力情况，即令m′=1，且取P点为坐标原点，则式（4-4）可改写成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-5)
根据式（4-3）所示的力与力位的关系，FL=aU/aL，则不难写出相应的U的表达式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-6)
上式是一个质点的引力位公式。对于任一体积的引力位，应等于各质元ρdV的引力位积分，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-7)
式中，ρ为体元dV的密度；L为该体元到指定点的距离。
3．离心力和离心力位
由第三章的介绍可知，地球是一个高速旋转的天体。设地球自转速度为ω，地球上某单位质点到转动轴的距离为d，同样取质心为原点，z轴为转轴取向，则离心力f为
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-8)
同样，根据式（4-3）所示的力与力位的关系，离心力位V与离心力f应该有以下关系：
由此不难得出离心力位的表达式（θ为地心余纬）：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-9)
4．重力与重力位
地球的重力，就是地球质量引力F与自转离心力f之合力。与此合力对应的位，则为重力位。
设重力位为W，组成它的引力位为U、离心力位为V，则根据位的运算规则，应该有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-10)
关于U和V的具体形式，已由式（4-7）和式（4-9）给出，将它们代入式（4-10）后，可得
&&&&& &&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-11)
在一般情况下，第一项所表示的引力位占总重力位的绝大部分，而第二项所表示的离心力位仅是第一项引力位的1/300。
二、马古拉公式[2～3]
1．马古拉第一公式
在引力位公式（4-7）中，含有距离因子1/L，L是质点或质元P′到指定点P的距离。设质心为O，质心O到指定点P的距离为r，质心O到质点P′的距离为r′，角度∠P′OP=（图4-1）。
图4-1& 物体M对质点P的引力
由图4-1可知：
假定P点远离物体M，即（r′/r）&&1，故式中方括号内第二、三项远小于1，可以作为小量处理。同时，可根据二项式的级数展开公式
将式（4-12）写成级数形式，并且只保留含（r′/r）的一次项和二次项，便可得到
最后仅取四项，除其中一项与坐标选取有关外，其余三项都有明确的物理意义。它们的物理意义，只有将式（4-13）代入物体的引力位公式（4-7）后，才可以显示出来。为此，需要做如下简要推导：
&&&& &&&&&&&
其中各项的意义如下：
(1) 第一项
表示全体质量集中于质心的引力位。也就是说，地球作为一个正球体（一级近似）时的引力位。
(2) 第二项
这是因为取物体质心为原点的缘故。因此该项仅与坐标选取有关，没有实际的物理意义。
(3) 在第三项中，
显然这里的A、B、C是相对于x、y、z轴的转动惯量。因此，该项与地球相对于三个轴的质量分布有关。
(4) 在第四项中
式中，表示质元dM到OP联线的距离，故其积分为地球相对OP的转动惯量。因此，该项与地球相对于OP联线的质量分布有关。
将上述四项再代回式（4-14），则得：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-15)
这就是马古拉（Macullagh）第一公式。由于在公式推导中，忽略（/r）的三次和三次以上小量，所以它是一个描述离地球较远处的引力位的近似公式。请注意：在推导中，取质心为坐标原点和取三轴为主惯性轴，并不是推导条件，仅仅是为了表述整齐而采取的一个数学技巧，没什么物理意义。还请注意，式（4-15）对地球的形状并没有要求，三轴不对称也可以。下面将给出相对于转轴对称的球体，即A=B时的远场引力位公式（马古拉第二公式）。
2．马古拉第二公式
在式（4-15）中，A、B、C和I有以下关系：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-16)
式中，l、m，n表示OP联线相对于x，y、z轴的方向余弦，其中n=cosθ（θ为P点余纬）。并且有
在轴对称情况下（即A=B），用动力扁度H
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-17)
描述质量分布对转动的影响。同时，还可以将式（4-16）化简：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
将式（4-17）和式（4-18）代入式（4-16）中的括号内，则得
&&&&&&&&&&&&
从而，将式（4-15）写成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
或者，引入一个无量纲量：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
从而将式（4-20）写成：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-22)
这就是马古拉第二公式。
这种表述形式的优点是，将指定点P到地球质心距离r和指定点的余纬cosθ分开。其中第一项是质量全部集中于质心的影响，而第二项反映地球形状（通过转动惯量之差C-A）的影响。
三、椭球面方程及其近似（扁球方程）
地球在高速旋转中，形成一个以转轴相对称的椭球形状。通过转轴任意做一个剖面，其形状可用椭圆方程描述。在直角坐标情况下，有
式中a，c分别长轴（赤道半径）和短轴（极半径），若用极坐标，亦可将下式（图4-2）：
图4-2& 旋转椭球面
代入上式，则得
&&&&&&&&&&&&&&& (4-23)
引入几何扁率a0（简称扁率）：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
将式（4-25）代入式（4-23），则得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
利用余纬θ与纬度f之间的互余关系，即sinθ=cosf，则可将式（4-26）改写成
并且，用二项式展开公式写成以下近似表达式：
&&&&&&&&&&&&
在这个方程里给出含有a0的零次、一次、二次和二次以上的各项。当项数足够多，则逼近一个椭球方程。如果舍去a0的二次以及二次以上各项，则可写如下简单形式：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-28)
我们习惯上把它称为扁球方程式。该方程式与椭球方程式（4-26）的形式不同，但在赤道（θ=90°，f=0°）处所得r的值均为a，在两极（θ=0°，f=90°）处所得r的值均为c。故此，两个方程式的对应曲线是很接近的。
在有些教科书中，采用另外一种简化计算方法，也可以得到式（4-28）。在简化中，充分利用地球扁率a0很小（a0≈0.003）的特点，多次略去二项式级数展开式中的高级小量。其推导过程陈述如下：
这样的简化处理虽然容易理解，但由于最后的公式没有给出被舍去的高级小量诸项，因而难以对简化公式的精度作出估计。
应该指出，无论怎样得出扁球方程式，都含有扁率a0，在推导或简化中都利用a0很小的条件。这里所用的扁率a0，是几何扁率。因此，所得扁球方程式，仅仅是数学形式，并没有涉及它所反映的物理意义。下面将要从重力位角度建立扁球方程，从而揭示这里引入的几何扁率a0所具有的物理意义。
为讨论方便，需定义一个等积球半径R。椭球旋转体的体积公式为V=（4/3）πa2c，正球体的体积公式为V′=（4/3）πR3。若令V′=V，则可得出
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
将式（4-24）代入上式，然后展开，并保留一次项，则有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
四、等位面方程及其近似（克莱罗方程）[2～3]
将式（4-9）和式（4-22）代入式（4-10），则得到
设静止海平面的重力位为W0，则表述地球形状的曲面应满足方程式
&&&&&&&&&&&&&&
在地球物理问题中，经常用到球函数Pn（cosθ），它的第二阶（n=2）为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
利用cos2θ=1-sin2θ，可得
将这两个关系式代入式（4-32），变成如下形式：
&&&&&&&&&&&&&&&
在这个式子里，含有地心余纬θ的部分都归入一个因子P2（cosθ）之内。该式是一个关于&&&&&
r（θ）的五次多项式。显然，直接求解是很麻烦的。
这里，采取另一种求解办法。首先，考虑地球的形状近似为一个扁球，即r随θ有微小变化，并利用P2（cosθ）在θ=0°（两极）和θ=90°（赤道）时的数值分别为和1的特点，假定r（θ）具有以下形式
[]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-35)
式中，R是地球的等积球半径；ε是比例系数。然后，将式（4-35）代入式（4-34）内，根据r所在位置取其一级近似，从而将式（4-34）化简。最后，从中求出比例系数ε的大小。
对于r-1项，因系数GM很大，所以可以保留两项，即
对于r-3项，因系数J2很小，其乘积GMa2J2也不会很大，所以可以只保留一项，即
对于r2项，因系数ω2较小，故亦可以只保留一项，即
将这些近似关系代入式（4-34），并将W0移至左侧，则变成
为使上式成立，则要求不含P2的第一个括号为零，含P2的第二个括号亦为零。由第一个括号为零可以得出
由第二个括号为零，可以得出
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则W0、ε可以分别表示成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-38)
当将ε的表达式（4-38）代入式（4-35）时，则可写出
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
令&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4-40)
则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4-41)
上式还可进一步化简，即写成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
利用式（4-30），即a≈，并且略去上式中的含f 2的高级小量，则可
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-42)
这就是著名的克莱罗方程。因为该方程与扁球方程不仅形式上一致，而且在θ=0°（两极）和θ=90°（赤道）处的r值分别相等，因此又常把式（4-42）称为克莱罗扁球方程。
五、有关扁率的讨论
根据式（4-41），将θ=0°和θ=90°的结果
代入几何扁率a0的定义，可得：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-43)
显然，在忽略f 2的高级小量情况下，克莱罗扁球方程中的f可理解为地球几何扁率a0。从f与a0近似相等的关系，也有助于分析造成地球变扁（a0）的原因。造成地球变扁的原因是自转离心力及转化惯量分布：前者反映在q值大小，后者反映在J2值大小。在式（4-38）中的J2和q可写成：
式中，C-A为绕短轴转动惯量C与绕长轴转动惯量A之差；D为均匀地球绕通过中心轴的转动惯量，即D=0.4Ma2；ω2R为赤道离心加速度；GM／R2为引力加速度。总之，这两种因素共同决定f，同时也就共同决定了a0。习惯上直接称a0为几何扁率。
除了上述几何扁率a0和相应的f之外，还经常用到动力扁率H和重力扁率β，它们的定义分别为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中，C、A分别为绕极轴和赤道轴的转动惯量；gp、ge分别为极地和赤道处的重力加速度。上式可参见本章式（4-17），下式可参见本章式（4-51）。这两个定义虽然与几何扁率定义的具体含义不同，但在数值上有一定联系。
顺便补充一点，由椭圆轨道长轴（a）和短轴（c），还可定义一个偏心率e，它与扁率的定义不同：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4-46)
式中分子是a与c的向量差而不是标量差（参看本章第四节中的人造卫星测量地球扁率原理）。