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游戏和比赛中的概率问题
2012年第5期目录
&&&&&&本期共收录文章16篇
很多同学都喜爱玩游戏或观看体育比赛，而以游戏或体育比赛为研究背景的数学问题既能激发同学们的学习兴趣，又有益于培养应用的思想意识，提高分析问题和解决问题的能力.在近几年的高考数学试题中，以游戏或体育比赛为素材的概率问题屡见不鲜，下面举一些实例说明概率知识在游戏或体育比赛中的应用.? 中国论文网 /9/view-2842967.htm 一、 利用概率对游戏或比赛的结果进行预测? ?例1? 某人写下一个数A?1，然后投掷硬币，如得正面，则把A?1乘以2后减去12；如得背面，则把A?1除以2后加上12，这样可以得到一个新数A?2.对A?2仍按此规则进行，又可以得到一个数A?3.再按此规则得到一个数A?4.若?A?1＝64?，则A?4不小于128的概率为（ ） ●解 画树状图，如图1，可以看出，基本事件共有8个，其中满足A?4≥128的事件有3个.故所求的概率为38.?选?B?.? ?例2? 甲、乙两支足球队，苦战90分钟，比分为1∶1.现决定各派5名队员，每人踢1个点球来决定胜负，假设两支球队派出的队员的点球命中率均为0.5.? （1） 对于甲球队，恰有两个队员连续命中，且其余队员均未命中的概率是多少？? （2） 甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率约为多少？（结果保留三位小数） ●解（1） P?1＝4×0.5?2×0.5?3＝0.125. ? 答：对于甲球队，恰有两个队员连续命中，且其余队员均未命中的概率是0.125. ? （2） P?2＝［?C???0?5×(1-0.5）?5］?2＋［?C???1?5×?0.5×??（1－0.5）?4］?2?＋…＋［?C??5?5×?0.5?5?］?2＝?12??10?［（?C???0?5）?2?＋（?C???1?5）?2＋…＋（?C???5?5）?2］＝?C???5??10?2??10?≈0.246. ? 答：甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率约为0.246. ? 二、 利用概率对比赛的可靠性进行预测? ?例3? 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，于是竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是?? ??.（结果用数值表示） ●解基本事件总数为?C???7??14?，而有效分中没有受贿裁判的评分的事件数为?C???7??12?，所以有效分中没有受贿裁判的评分的概率是?C???7??12??C???7??14?＝313.? 三、 利用概率选择游戏或比赛的规则? ?例4? 第48届世乒赛前夕，为训练队伍，国家队与上海队相约举行对抗赛，从以往的比赛看，国家队队员对抗上海队队员取胜的概率均为0.6.现双方商定，提出了两种比赛方案：?① 双?方各出3人分3组同时对抗；② 双方各出5人分5组同时对抗.两种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利的一方.如果方案由上海队选择，问上海队会选择哪一种方案？ ●分●析只要认识到本题本质上是独立重复试验的概率问题，解题规律也就较容易掌握了. ●解设两种方案中，上海队获胜的概率分别为P?1?和P?2?， 则P?1＝?C???2?3×0.4?2×（1－???0.4）?+?C???3?3×0?4?3＝?0.288+?0?064=0?352，P?2＝?C???3?5×?0.4?3×（1－0.4）?2?+?C???4?5×0?4?4×?（1-0?4）?+?C??5?5×0?4?5＝?0.230?4?+?0?076?8?+?0?010?24?=0.317??44，? 可见P?1＞P?2，即按第一种方案进行比赛上海获胜的概率相对大一些，所以上海队应选择第一种方案.? ●点●评本题所反映的问题是：比赛的场次越少、每局获胜的比分定得越低，水平低的队获胜的概率相对会越大.正因为如此，为了削弱中国乒乓球队在世界乒坛的霸主地位，推动世界各国乒乓球运动的发展，国际乒联在不断地修改比赛规则，其中之一就是将过去的每局21分胜制改成了今天的11分胜制.还有，为了减小弱队暴冷的可能性，?NBA?季后赛每轮的场次从最初的3场，变成后来的5场，直到现在的7场.? 四、 利用概率对游戏或比赛的收益进行预测? ?例5? 美国职业篮球联赛（?NBA?）某赛季的总决赛在湖人队与凯尔特人队之间进行，采用七局四胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜且比赛结束.因为两队实力非常接近，故可假设在每场比赛中两队获胜是等可能的.据以往统计资料显示，每场比赛组织者可获得门票收入300万?美元.?? （1） 两队决出胜负后，组织者在此次决赛中获得的门票收入为1??200万美元的概率是多少？? （2） 两队决出胜负后，组织者在此次决赛中获得的门票收入不低于?1??800?万美元的概率是多少？? （3） 求在湖人队2∶0的领先情况下总冠军被凯尔特人队获得的概率. ●解（1） 设事件A为“决赛中获得的门票收入为?1??200?万美元”，则事件A等价于某队以4∶0结束比赛，所以?P（A）?＝2×12?4=18.? 答：组织者在此次决赛中获得的门票收入为1??200万美元的概率是18.? （2） 设事件B为“决赛中获得的门票收入不低于?1??800?万美元”，则事件B等价于两队要进行6场或7场比赛， 等价于前5场比赛中某队胜3场负2场，故P（B）＝2×????C???3?5?×12?3×1-12?2＝58.? 答：组织者在此次决赛中获得的门票收入不低于?1??800?万美元的概率是58.? （3） 设“在湖人队2∶0的领先情况下总冠军被凯尔特人队获得”为C事件,则事件C等价于此后凯尔特人队4胜0负或4胜1负，故???P（C）?＝12?4+??C???3?412?3×1-12?×12=316.? 答：在湖人队2∶0的领先情况下总冠军被凯尔特人队获得的概率是316.? 五、 一道综合题? 在考查概率部分的知识时，有时还会与高中阶段学习的其他知识点（如数列、函数等）综合起来考查，这就要求能综合运用相关的知识来解决问题. ?例6? 有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正面和反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2?站，…?，第100站.一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若掷出正面，棋子向前跳一站（从第k站到第k＋1站）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从第k站到第k＋2站）.直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率?为P?n.?? （1） 求P?0，P?1，P?2的值；? （2） 求证：P?n－P??n－1?＝－12（P??n－1?－P??n－2?），其中?n∈N?且2≤n≤99；? （3） 求P??99?，P??100?的值. ●解（1） 棋子开始时在第0站，故到达第0站为必然事件，则P?0＝1. ? 当且仅当第一次掷硬币出现正面，则棋子跳到第1站，其概率为12，则P?1＝12.? 棋子跳到第2站的概率应从如下两方面考虑：① 前两次掷硬币都出现正面，其概率为14； ② 第一次掷硬币出现反面，其概率为12. 故P?2＝14＋12＝34.? （2） 棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况有且只有两种：① 棋子先跳到第n－2站，再抛硬币掷出反面，其概率为12P??n－2?；② 棋子先跳到第n－1站，再抛硬币掷出正面，其概率为12P??n－1?. ? 故P?n＝12P??n－2?＋12P??n－1?. 则P?n－P??n－1?＝?－12（P??n－1?－P??n－2?）?.? （3） 由(2)知当1≤n≤99时，数列{P?n－P??n－1?}是首项为P?1－P?0＝－12，公比为???－12?的等比数列.? 则P?1－P?0＝－12，P?2－P?1＝-12?2，P?3－P?2＝-12?3，…，P?n－P??n－1?＝-12?n.? 以上各式相加，得P?n－P?0＝-12＋-12?2＋…＋-12?n，则P?n＝1＋-12＋-12?2＋…＋-12?n＝?231－-12??n＋1??（n＝0，1，2，…，99）.? 则P??99?＝231－12??100?， 而P??100?＝???12P??98??＝12×231－-12??99?＝131＋12??99?. ●点●评概率应用题大都是将概率与排列组合相结合，而此题将概率与数列结合，同时又有游戏背景，趣味性浓.求跳到第100站的概率时要小心隐含的陷阱.? ? 1. 将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组方法数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a，p的值分别为（ ）? ?A?. 105，521 ?B?. 105,421? ?C?. 210，521?D?. 210，421? 2. 已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将8支球队分成A，B两组，每组4支球队.? （1） 求A，B两组中有一组恰有2支弱队的概率；? （2） 求A组中至少有2支弱队的概率.? 3. 甲、乙两人在罚球线处投球命中的概率分别为 ?12与?25?.? （1） 甲、乙两人在罚球线处各投球一次，求这两次投球中恰好命中一次的概率；? （2） 甲、乙两人在罚球线处各投球两次，求这四次投球中至少命中一次的概率.? 4. A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.?
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金融交易的本质就是一场概率游戏，金融交易员所要做的就是抓住占有概率优势的机会重复的做下去，只要能够坚持下来，最终一定能够盈利。所以盈利的关键在于
1：概率上的优势。2：持续做下去，而不被消灭。这两点是所有金融交易员努力的方向。
生活中的概率
率论渗透到现代生活的方方面面.正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说:"对于生活中的大部分,最重要的问题实际上只是概率问题.你可以说几乎我们所掌
握的所有知识都是不确定的,只有一小部分我们能确定地了解.甚至数学科学本身,归纳法,类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上.因此,整
个人类知识系统是与这一理论相联系的……"
概率论与《红楼梦》
作者的考证
看胡适作《红楼梦考证》以来,不少学者以为《红楼梦》前80回是曹雪芹所写,后40回是高鹗所写,但也有人对些提出质疑,《红楼梦》的作者到底是谁
利用概率方法可以解决这个难题.
者写作时,某处用这个字或那个字带有很大的偶然性,即该作家在长期写作生涯中形成的独特文体特征,籍此概率论学者可考证某著作的作者,不少学者对《红楼
梦》做了这方面的工作,如赵冈选出"儿,在,事,的,著"五个字为比较样本,对前80回和后40回进行比较,从平均频率,标准差,变异数等数据来看,五个
字出现的频率相当稳定,虽出于两个人之手,但后40回使用的口语是"过之"而非
"不及".复旦大学数学系的李贤平教授在这方面的成果可谓卓著,他对每回所用的47个虚字(13个文言虚字:之,其,或,亦,方,于……,9个句尾字:
呀,吗,么,呢……,13个白话虚字:了,的,著,一,不……,12个表示转折,程度,比较等意义的虚字:可,便,就,但,再,很……)出现的次数利用计
算机进行统计,再利用多种统计方法如主成分分析,典型相关分析,多维尺度法,广义线性模型与相关系数等来探索所写风格的接近程度,并用三种层次聚类方法对
各回分类,将结果作成正视图与聚类图,由此得出前80回与后40回之间有交叉,全书由曹雪芹根据《石头记》写成,中间插入《风月宝鉴》6到16回和63到
69回情节,借省亲南巡,创造出元春,扩建大观园,全书计划110回,在最后一次增删中,曹雪芹重新安排小说结构,增添神话色彩,并将全书扩展到120
回.可惜曹雪芹早逝,以到前80回残缺,后40回未定稿,后由曹雪芹的亲友将其草稿整理成120回全书.从统计结果可以看出,宝黛故事为一人所写,贾府衰
败情景当为另一人所撰.这些新的考证结果,在红学界产生了不小的震动.下如马克思所说:"一门科学只有在成功的运用数学时,才能达到真正完善的地步."
似于《红楼梦》,概率学者对《静静的顿河》的作者也进行了考证,该书出版时署名作者为著名作家肖洛霍夫,出版后不久就有人说这本书是从哥萨克作家克留柯春
那里抄袭而来,为了弄清谁是真正的作者,捷泽等学者采用计算风格学的方法进行考证,从句子的平均长度,词的选用,结构分析,用词频率等进行统计,分析,最
后确认作者为肖洛霍夫.
婴儿出生时的男女比例
一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1:1,可事实并非如此.
公 元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace
)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男
婴和女婴出生数的比值是22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计整整四十年间巴黎
男婴出生率时,却得到了另一个比是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯感到困惑不解,他深信
自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人"重女轻男",有抛弃男婴的陋俗,以至于歪曲
了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.一名优秀数学家=10个师在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.
1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的"潜艇战"搞得盟军焦头烂额.
此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后分析,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规
律性.一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大.
美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.
什么是概率天气预报概
率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小,它所提供的不是某种天气现象的\"有\"或\"无\",某种气象要素值的\"大\"或\"小\",而是
天气现象出现的可能性有多大.如对降水的预报,传统的天气预报一般预报有雨或无雨,而概率预报则给出可能出现降水的百分数,百分数越大,出现降水的可能性
越大.一般来讲,概率值小于或等于30%,可认为基本不会降水;概率值在30%-60%,降水可能发生,但可能性较小;概率在60%-70%,降水可能性
很大;概率值大于70%,有降水发生.概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面,又反映了天气变化的不确定性和不确定程度.在许多情况下,这种预报形式
更能适应经济活动和军事活动中决策的需要.生命中的危险概率生活就是一场冒险.日常生活中出现一些危险是难免的,问题是遭遇某种危险的概率有多大.一般说来,如果遭遇某种危险的概率低于十万分之一,我们还能坦然视之;但如果危险概率提高到万分之一,我们就得小心了.每年都可能遇到的危险机会有:
受伤:危险概率是1/3
难产(行将生育的妇女):危险概率是1/6
车祸:危险概率是1/12
心脏病突然发作(如果您已超过35岁):危险概率是1/77
在家中受伤:危险概率是1/80
受到致命武器的攻击:危险概率是1/260
死于心脏病:危险慨率是1/340
家中成员死于突发事件:危险概率是1/700
死于突发事件:危险概率是1/2900
死于车祸:危险概率是1/5000
染上爱滋病:危险概率是1/5700
被谋杀:危险概率是1/1110
死于怀孕或生产(女性):危险概率是1/4000
自杀:危险概率分别是1/20000(女性)和1/5000
因坠落摔死:危险率是1/20000
死于工伤:危险概率是1/26000
走路时被汽车撞死:危险概率是1/40000
死于火灾:危险概率是1/50000
溺水而死:危险概率是1/50000
如果您自己不吸烟,而您的配偶吸烟,那么您可能受二手烟污染而死于肺癌: 危险概率是1/60000
被刺伤致死:危险概率是1/60000
死于手术并发证:危险概率是1/80000
因中毒而死(不包括自杀):危险概率是1/86000
骑自行车时死于车祸:危险概率是1/130000
吃东西时噎死:危险概率是1/160000
被空中坠落的物体砸死:危险概率是1/290000
触电而死:危险概率是1/350000
死于浴缸中:危险概率是1/1000000
坠落床下而死:危险概率是1/2000000
被龙卷风刮走摔死:危险极率是l/2000000
被冻死:危险概率是1/3000000
一生中可能道遇到的危险有:
死于心脏病:危险概率是1/3
死于癌症:危险概率是1/5
遭到强奸(女性):危险概率是1/11
死于中风:危险概率是1/14
死于车祸:危险概率是1/45
自杀:危险概率是1/39
死于爱滋病:危险概率是1/97
死于飞机失事:危险概率是1/4000
死于狂犬病:危险概率是1/700000
艾滋病的传染概率有多大
艾 滋病传染概率有多大
据地坛医院性传播疾病防治中心徐克沂主任介绍,艾滋病是通过3种传播途径传染给他人的,即:血液传播,性传播,母婴传播.如果一个正常人输进了HIV(艾
滋病病毒)阳性感染者或艾滋病病人的血液其感染的概率是95%,而一个HIV阳性感染者或已经发病的病人与一个正常人发生性关系的感染概率和性别有一定关
系,男传给女的概率是0.2%,女传给男的概率是0.l%,男传男的概率要比以上两种方式大得多.如果母亲是一个HIV阳性或艾滋病的病人,其感染给胎儿
的概率是25%,但是如果母亲经过AZT的抗病毒治疗,其胎儿的感染概率下降到8%;经过联合疗法(鸡尾酒疗法)治疗胎儿的感染概率可能下降为2%
艾滋病病毒是一种十分脆弱的病毒,它对热和干燥十分敏感.在干燥的环境中,艾滋病毒10分钟死亡,在60摄氏度的环境中30分钟灭活.如果一支刚接触病人身体带有血液的注射器,马上刺入正常人体内,其感染的概率小于0.3%.蚊虫叮咬不会传染艾滋病就是因为这个原因.
医学史上人类经历了霍乱,鼠疫,黄热病和天花等多种流行病的侵害,而人类最终还是战胜了它们.如今面对艾滋病,有关遏制艾滋的医学研究也正在紧锣密鼓开
展,例如用传统医学方法研制的艾滋疫苗;用中医药技术研发的艾滋抗体及从计划生育角度转而提倡运用的"避孕套",这些都让我们看到人类克服艾滋病的曙光.
彩票中奖概率话你知"36选7""26选5"概率
有关专家介绍,广东省目前发行的体彩"36选7",南粤风采"36选7",南粤风采"26选5"均属于数字组合型玩法,其中奖概率的计算方式也是相同的,
其中"36选7"玩法的头奖命中概率为1/选5"玩法的头奖命中概率为1/65780;目前体彩"36选7"二次开奖的中奖概率仍
为1/8347680,南粤风采"36选7"全省特别奖(中8个号码)的中奖概率为1/,南粤风采"36选7"南粤福星奖(中9个号码)
的中奖概率为1/,南粤风采"26选5"幸运奖(中7个号码)的中奖概率为1/657800.
excel函数可计算中奖概率
对类似"36选7"的数字组合型玩法,数学专家还向记者推荐了一种利用excel表格软件函数计算的简单方法,打开电脑中的excel软件,在"粘贴函
数"栏内选择"数学与三角函数"中的"combin"函数,填入相关数据就可以计算出相应的中奖概率,如"36选7"的概率计算公式为:combin
(36,7),南粤风采"36选7"全省特别奖和南粤福星奖的计算公式分别为:com-bin(36,8),combin
(36,9),彩民朋友可以根据公式自行计算"&选&"型彩票玩法的头奖中奖概率.幸运七星及足彩中奖概率体彩"幸运七星"则属于数字型玩法,即从万个号码中任选一个七位数号码组成,每个号码均从0~9共10个数字中开出,"幸运七星"头奖的理论中奖概率为1/.
前最受彩民欢迎的足彩实际上也是一种数字组合型玩法,不过计算方法相对比较简单,13场比赛均选"3,1,0"可组合出3的13次方1594323注单式
号码,一等奖的中奖概率为1/1594323,换句话说,每销售320万元的足彩,平均就可能诞生一个一等奖.而如果将足彩竞猜的场次增加到14场,足彩
的头奖中奖概率则降低为1/4782969,难度增加了3倍.
吸烟危及生命概率:50%戒烟等于自救1987
年11月,世界卫生组织(WHO)在日本东京举行的第6届吸烟与健康国际会议上,建议把日,也就是世界卫生组织成立40周年纪念日,作
为"世界无烟日",提出"要吸烟还是要健康"的口号.1989年,世界卫生组织又把这一天改定在每年的5月31日.
今年5月31日,我们将迎来第17个世界无烟日,但目前我国吸烟现状却不容乐观:烟民人数不断增加,达3.2亿人,烟民平均年龄在降低,女烟民及青少年吸烟的数量在不断增加.
我国烟草生产和消费还居八个"世界第一":烤烟种植面积世界第一;烤烟产量世界第一:烤烟增长速度世界第一;卷烟产销量世界第一;卷烟增长速度世界第一;吸烟人数世界第一;吸烟人数增加数量世界第一;烟税增长速度世界第一.
吸烟有害健康,这句话人人会讲,但是,你可知道,吸烟危及生命的概率究竟达到了何种程度吗&
概率:直觉易出错 在
社会和自然界中,我们可以把事件发生的情况分为三大类:在一定条件下必然发生的事件,叫做必然事件;在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一
定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.在数学上,我们把随机事件产生的可能性称为概率.严格说来,概率就是在同一条件下,发生某种事情可能
性的大小.概率在英文中的名称为probability,意为可能性,或然性,因此,概率有时也称为或然率.
彩票是否中奖就是个典型的概率事
件,但概率不仅仅出现在类似买彩票这样的赌博或游戏中,在日常生活中,我们时时刻刻都要接触概率事件.比如,天气有可能是晴,阴,下雨或刮风,天气预报其
实是一种概率大小的预报;又如,今天某条高速公路上有可能发生车祸,也有可能不发生车祸;今天出门坐公交车,车上有可能有小偷,也有可能没有小偷.这些都
是无法确定的概率事件.
由于在日常生活中经常碰到概率问题,所以即使人们不懂得如何计算概率,经验和直觉也能帮助他们作出判断.但在某些情况
下,如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算,人们的结论可能会错得离谱.举一个有趣的小例子:给你一张美女照片,让你猜猜她是模特还是售货员
很多人都会猜前者.实际上,模特的数量比售货员的数量要少得多,所以,从概率上说这种判断是不明智的.
其实,上面所说的彩票问题也反映了人们对
概率自以为是的直觉是多么靠不住.人们在购买彩票时总是只看到那些中了大奖的故事,而不愿去考虑中大奖其实是个最典型的小概率事件,其概率低到根本不值得
去买.数学专家认为,概率低于1/1000,就可以忽略不计了,而大英帝国彩票中特等奖的概率只有一千四百万分之一,即使是选号范围小一些的彩票,中到特
等奖的概率一般也要五百万分之一,这样小的概率居然还有这么多人趋之若鹜.有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票,因为他们知道,在买彩票的路上被汽车撞
死的概率远高于中大奖的概率.
人们在直觉上常犯的概率错误还有对飞机失事事件.也许出于对在天上飞的飞机本能的恐惧心理,也许是媒体对飞机失事
的过多渲染,人们对飞机的安全性总是多一份担心.但是,据统计,飞机旅行是目前世界上最安全的交通工具,它绝少发生重大事故,造成多人伤亡的事故率约为三
百万分之一.假如你每天坐一次飞机,这样飞上8200年,你才有可能会不幸遇到一次飞行事故,三百万分之一的事故概率,说明飞机这种交通工具是最安全的,
它甚至比走路和骑自行车都要安全.
事实也证明了在目前的交通工具中飞机失事的概率最低.1998年,全世界的航空公司共飞行1800万个喷气机
航班,共运送约13亿人,而失事仅10次.而仅仅美国一个国家,在半年内其公路死亡人数就曾达到21000名,约为自40年前有喷气客机以来全世界所有喷
气机事故死亡人数的总和.虽然人们在坐飞机时总有些恐惧感,而坐汽车时却非常安心,但从统计概率的角度来讲,最需要防患于未然的,却恰恰是我们信赖的汽
车. 随意的估算也不准 不断地抛一枚硬币,当它落到
地上时,出现正,反面次数相同的概率是多少
很多人都会以为随着抛硬币次数的增加,正,反面出现次数相同的概率也在递增,但这个想法错了.恰恰相反,其概率随着抛硬币次数的增加在递减.抛2次时出现
正反两面各1次的概率是50%,抛6次时出现正反两面各3次的概率是31.25%,抛10次时出现正反两面各5次的概率是24.61%,抛100次时出现
正反两面各50次的概率只有大约8%(当然,随着抛的次数增加,正,反面出现的次数非常接近,就是难以做到完全相同).这说明,面对一个貌似简单的概率问
题时,我们如果随意估算,轻易下结论,可能与实际情况恰好南辕北辙.
生日概率问题
我们来看一个经典 的生日概率问题.以1年365天计(不考虑闰年因素),你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同,那么需要多少人
大家不难得到结果,366人,只要人数超过365人,必然会有人生日相同.但如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少
你可能想,大概20%～30%,错,有97%的可能!
它的计算方式是这样的:
a,50个人可能的生日组合是365&365&365&……&365(共50个)个;
b,50个人生日都不重复的组合是365&364&363&……&316(共50个)个;
c,50个人生日有重复的概率是1-b/a.
这里,50个人生日全不相同的概率是b/a=0.03,因此50个人生日有重复的概率是1-0.03=0.97,即97%.
根据概率公式计算,只要有23人在一起,其中两人生日相同的概率就达到51%!
但是,如果换一个角度,要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%,你最少要遇到253人才成.
再来看一个常见的抽奖例子.参加抽奖,当然人人都会想得奖,这时候该先抽奖还是后抽,才能让中奖机率提高呢
怕很多人都会在这个问题上犯糊涂,让我们用科学方法解决这个问题吧.假设有二个酸苹果,一个甜苹果,甲乙丙依次从箱中摸出一个,谁最有机会吃到甜苹果呢
首先,甲的机会是三摸一,所以甲摸到甜苹果的概率是1/3.乙的机会如何呢
甲没有摸到的概率是2/3,然后在这个概率中计算乙摸到的概率:(2/3)&(1/2)(只剩2个苹果让乙摸)=1/3,所以乙摸到甜苹果的机率是1
丙只有在甲,乙都没有摸到的情况下才可能摸到甜苹果,所以扣掉甲,乙摸中的概率,就是丙的机会大小了,其概率是1-(1/3)-(1/3)=1/3.
明白了吗 不管先摸也好,后摸也罢,每个人摸到甜苹果的机会其实都是一样的.
从赌博中发展的概率理论
既然一个事件的概率凭感觉随便估计总是容易出错,而概率又与人类生活息息相关,那人们就得严肃对待概率问题了.
率问题的历史可以追溯到遥远的过去,很早以前,人们就用抽签,抓阄的方法解决彼此间的争端,这可能是概率最早的应用.而真正研究随机现象的概率论出现在
15世纪之后,当时的保险业已在欧洲蓬勃发展起来,不过,当时的保险业非常不成熟,只是一种完全靠估计形势而出现的赌博性事业,保险公司要承担很大的不确
定性风险,保险业的发展渴望能有指导保险的计算工具的出现.
这一渴望戏剧性地因15世纪末赌博现象的大量出现而得到解决.当时的主要赌博形式有
玩纸牌,掷骰子,转铜币等.参加赌博的人,特别是那些专门从事以赢利为生的职业赌徒,鏖战赌场,天长日久就逐渐悟出了一个道理:在少数几次赌博中无法预料
到输赢的结果,如果多次进行下去,就可能有所预料,这并不是完全的碰巧.这无意中就给学者们提供了一个比较简单而又非常典型的概率研究模型.
年,有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题:梅勒和他的一个朋友每人出30个金币,两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注.在游戏进行了一会儿后,梅勒赢了
2局,他的朋友赢了1局.这时候,梅勒由于一个紧急事情必须离开,游戏不得不停止.他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢
梅勒的朋友认为,既然他接下来赢的机会是梅勒的一半,那么他该拿到梅勒所得的一半,即他拿20个金币,梅勒拿40个金币.然而梅勒争执道:再掷一次骰子,
即使他输了,游戏是平局,他最少也能得到全部赌注的一半----30个金币;但如果他赢了,并可拿走全部的60个金币.在下一次掷骰子之前,他实际上已经拥有
了30个金币,他还有50%的机会赢得另外30个金币,所以,他应分得45个金币.
赌本究竟如何分配才合理呢
后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡,这居然也难住了帕斯卡,因为当时并没有相关知识来解决此类问题,而且两人说的似乎都有道理.帕斯卡
又写信告诉了另一个著名的数学家费马,于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信,在通信中,他们最终正确地解决了这个问题.他们设
想:如果继续赌下去,梅勒(设为甲)和他朋友(设为乙)最终获胜的机会如何呢
他们俩至多再赌2局即可分出胜负,这2局有4种可能结果:甲甲,甲乙,乙甲,乙乙.前3种情况都是甲最后取胜,只有最后一种情况才是乙取胜,所以赌注应按
3:1的比例分配,即甲得45个金币,乙15个.虽然梅勒的计算方式不一样,但他的分配方法是对的.
三年后,也就是1657年,荷兰著名的天
文,物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下,试图总结出更一般的规律,结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书,这就是最早的概率论著作.正是
他们把这一类问题提高到了理论的高度,并总结出了其中的一般规律.同时,他们的研究还吸引了许多学者,由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶,逐渐建立
起一些重要概念及运算法则,从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支.
由赌徒的问题引起,概率逐渐演变成一门严谨的科学.
相同的概率,不同的结论 有
时,面对同一个概率事件,随着问题的着眼点不同,我们得出的结论可能截然相反.这一点会使一般人感到迷惑不解,我们在这里打一个通俗的比喻:某人是嫌疑
犯,也找到了一些他的犯罪证据,但不是决定性的,若我们要求"只有找到了更重要的犯罪证据才能判他有罪",则他将被判为无罪;反之,若要求"只有找到了证
明他没有犯罪的重要证据才能判他无罪",则他将被判有罪,在这里,着眼点的不同决定了不同的判罚.
这方面的著名事例是辛普森杀妻案.
年6月12日深夜,美国洛杉矶西部一个豪华住宅区里,一只小狗在不停地狂吠,引起了邻居家的注意.当人们随着狗吠声来到一住宅门前时,赫然发现两具血淋淋
的尸体!***接到报警后迅速赶到现场,发现两名死者是美国黑人橄榄球明星辛普森的妻子和一个餐馆服务员,而这所豪宅就是辛普森的家.
警方在经过
大量艰苦细致的调查后,搜集到了大量证据都表明辛普森有重大杀人嫌疑:他的汽车上染有死者血迹,车道上也发现血迹,案发现场还有染血手套和其它证据;还有
证人作证说在辛普森妻子死亡的时间段内看到了辛普森就在其豪华住宅附近;历年报警记录还显示辛普森曾多次暴力虐妻.这些证据都对辛普森极为不利,检察官据
此向法院控告辛普森犯有一级谋杀罪.遗憾的是,控方所提供的证据中有小一部分因不符合法定程序而不被法庭采信.即便如此,在这起案件中,辛普森杀人的概率
也有95%以上.
然而,最后的审判结果却让全世界大吃一惊:辛普森被无罪释放!
原来,美国的刑事法律是建立在无罪推定的基础上的,尤其是对于杀人案这样重大的案件,要最后给被告定罪,控方所提供的证据要近乎100%令人信服才行,稍有疑问就不得被判有罪.95%以上的概率不足以使辛普森被判有罪.
具戏剧性的是,当辛普森前妻的娘家在向法院提起民事诉讼时,法院却判决辛普森输,赔偿原告3350万美元.之所以有如此结果,是因为刑事审判与民事审判的
证据采用规则有差别,在民事诉讼中,只要原告提供的证据只要比被告的有说服力就可以赢.用数学概率来表示,刑事诉讼中控方需要近乎100%的证明,民事诉
讼中原告只要证明有51%以上的可能性即可.在这起案件中,95%以上的概率足以使辛普森赔得倾家荡产.
统计开辟概率新天地 早
期人们对概率的研究,都局限于我们日常接触到的有限事件的组合,例如玩牌,赌博中的计算问题,彩票的中奖问题,体育比赛时的抽签问题,等等,这些都是古典
概率问题.古典概率只能处理诸如赌博中有限事物的组合,有非常大的局限性.而自然与社会中有许多事件是非常复杂的,如人口统计,男女出生统计,消费统计,
各种民意调查等等,无法用简单的古典概率穷尽.经过几代数学家的努力,大约用了200年的时间,概率论发生了质的飞跃,具备了与统计结合的条件,出现了统
19世纪初,由于生产力的迅猛发展,统计事业开始走向昌盛.比利时学者A?凯特勒率先把统计方法从自然科学领域推广到社会科学领域,从而为人们认识社会发展规律的客观性打开了一扇窗口.
凯特勒认为,规律躲避着我们的理智,因为我们观察到的只是单个人的行为,大量偶然性的,个体特征我们无法记录下它们.因此,需要一种崭新的,方法来反映社会的整体风貌和趋向.他把统计理论和概率理论结合起来,开创了统计概率应用的先河.
特勒仔细研究了当时法国,比利时和英国的司法刑事机关报的汇编,惊讶地发现,这些国家每年犯罪的次数大体不变,不仅如此,各种类型的犯罪也有惊人的重复
性.凯特勒本人都为这些惊人的发现所震动,他感叹道:"这是人类多么可悲的性质啊!监狱,铁链和断头台的命运对人类来说就像国家的收入一样,可以以某种概
率被预先决定.我们甚至能预先计算出来,下一年会有多少人将用和自己一样的血弄脏自己的手,有多少人将是伪造者,多少人是投毒者,这一切就像能够确定出生
与死亡的数量一样."凯特勒还分析了人的"自由意志"的其他表现,如结婚,自杀等,也得到同样的结果.在我们以为完全是由个人的自由意志决定的地方,仍然
有客观规律在起作用,这真是冥冥之中无法逃脱的宿命.
凯特勒的报告引起了当时社会的轰动.从此,统计走出了原来的杂乱无章的状况.把概率应用到
统计中凯特勒是第一人,科学史上将凯特勒开创性的工作看作是现代统计学的起点,凯特勒也被誉为"现代统计学之父".从那以后,统计概率在社会中的应用得到
了蓬勃发展,当时的各种社会调查,如犯罪调查,贫民调查,工业调查,城市调查等都得到了广泛开展.这些调查使得人类首次能够从数学的角度审视自身行为,并
把它们置于概率论模型下进行研究.
用概率来统计的社会
统计概率对人们的观念的影响是深远的,自从
十九世纪二三十年代凯特勒开创了统计概率以来,人们对统计数据规律性的信任超过了以往的任何一个时代.国家以各种报表来了解工业,农业,国防,人口,消
费,犯罪等方面的资料.制定银行利息的高低需要消费指数和通货膨胀率,如果通货膨胀率高,消费指数低,银行就会考虑提高利率,反之亦然.国家举行重大活动
需要了解几百年甚至上千年的天气资料,以避免遭遇恶劣天气的影响.例如,1990年北京亚运会的举办时间为8月21日至9月6日,就是因为根据统计资料显
示,北京这期间遭遇恶劣天气的概率非常低.
今天,统计概率已经渗透到社会科学,自然科学的方方面面,特别是计算机的广泛运用,使社会统计工作得
以全面展开.我们耳熟能详的食品检测报告,人口统计,犯罪统计,国民生产总值的统计,国家和公司为了了解民意所进行的民意调查,市场调查,无一不涉及统计
概率.同时,概率统计已经变成现代人理念与信念体系中的一部分.比如,对于美国大选,可以通过民意调查,用概率统计的方式计算某个候选人的受欢迎程度.而
反过来,这种数据又一定程度左右人们的好恶,致使民意倾向变化,而影响到实际的选举过程.这说明概率统计的观念也影响到每一个人的行为和生活方式.
总之,从概率的思想走出机会性(博彩)游戏的范围,到应用的不断深化,这一过程中人类的思想观念发生了巨大的转变,这就是概率带来的革命.
率不仅出现在人类社会生活中,在大自然的精心安排之下,生命的繁殖,进化也莫不服从于概率论的神奇安排.早在1843年,捷克修道士孟德尔首先为世人揭示
了大自然的奥秘.醉心于自然科学的孟德尔,在闲暇研究植物的遗传规律,他选择了豌豆作为实验材料.豌豆是一种严格自花传粉的植物,它的雄蕊被花瓣包围,将
外来的花粉拒之门外;同时,具有一些如高茎对矮茎,圆形对皱形,黄子叶对绿子叶,灰种皮对白种皮等具有明显差异的性状.孟德尔发现,当把不同品种的豌豆的
这些性状在遗传到下一代时,总是遵循着大约3:1的统计概率:高茎的与矮茎的植株比例为2.84比1;圆形的与皱形的植株比例为2.96比1;黄子叶与绿
子叶的植株比例为3.01比1;灰种皮的与白种皮的植株比例为3.15为1.
现在,人们在教科书中称这个奇妙的比例为孟德尔第一定律,这个比例
产生的原因是由于两种遗传基因在进入下一代的种细胞时,彼此分离,互不干扰,最后在生物传粉过程中随机组合,所以这个规律又称"分离定律".后来孟德尔经
过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行时,不同对的遗传基因自由组合,而且机会均等.这就是孟德尔第二定律,也称"自由组合定律".孟德尔发现的分
离规律和自由组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程的体现.
生命起源进化的高概率事件:统计(生物)化学
摘要:生命的起源和自然进化有他自己的生命动力学--非线性动力学,他是有较高概率或较高条件概率的易发生事件,是信息进化,统计生物化学的结果,它有别于传统进化论的低概事件.
&&&&&从生物和非生物事件发生概率的角度看,传统的生物起源和进化观点都认为,生命的出现或创生是与无生命的物
理事件雷同的等概率或低概率事件[1],P→0,或P=0,即生命的起源或进化是自然界中无数可能发生的事件(或组合)中极少或根本不可能发生的极低概
率事件(或组合),P≈0?但从物理、化学(无机化学、有机化学)生物化学、生物等系统的发生、发展、演化的过程(进程)看,其各系统中特有事件发生的
概率是逐渐增高的,并且有极高的专一性、特异性.从最初的经典物理--热力学、分子物理学的等概(均匀、均衡、一种几率、能量均分原理)事件,到量子物理
的量子化(间断,分立)的概率分布----高低概率事件的混合;从统计物理学的"全同粒子的不可分辨性原理",到化学、生化、生物系统中实际存在的"非全
同粒子的可分辨性(原理)"----"统计化学、统计生物化学、统计生物学",与非线性动力学--混沌学、分形学的间断、不连续、不等概率事件才是生物
从无序、无生命的"东西(死物)"进化为有序、有生命的生物,及丰富的自然生物种群的机制!它是达尔文进化论的拓展,也是"信息进化"的新途径和轨迹.
化学、生化、生物系统及统计(生物)化学是大大有别于物理系统或统计物理的,常有特殊高概率事件(化学反应,化学变化,Pch--&→0,即
Pch≠0,Pch→a)发生的非物理、非等概事件的系统.(平庸的)物理变化、物理性反应中的质点或粒子常是(假设)无差别的.各粒子间的相互作用也
是等同、无优先次序、无选择性的等概、同级、遍历或各态历经、"无智能"的均匀系统:无特殊事件--各事件都是均等的无差异共性事件(非线性有序物理过
程除外).而化学、生化、生物界确到处充满了特殊事件(有差异事件)--个性事件"化学反应".生化、生物系统中的"质点、粒子"是有差别、不等同、
有优先次序、有选择、有识别、非等概、多级、多层次、间断、跳跃、"有智能"、"不均匀"的系统或事件元、组的集合.
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