数学趣闻集锦（上）
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/ 数学趣闻集锦（上）　
上图显示了鹦鹉螺、蛋、蝴蝶翅膀、花斑鲈鱼等动态的对称．①
原注：见“黄金矩形”一节．　　　　　　　　　　　超限数你说在下面的集合里各有多少个元素呢？{a，b，c}？{-1，5，6，4 ， 1}？2{ }？如果你的回答是 3，5 和 0，那么实际上你所给出的就是这些集合的基数． 现在请问在以下集合里有多少个元素：
{1，2，3，4，5，?}？ 如果你回答是一个无限的量，那么你的***是不够明确的，因为存在着各种各样的无限的集合．事实上，上述无限集合的基数是被称为超限数的第 一个数．　　正如名称所暗示的那样，超限数（超越有限）是描述无限数量的一种 “数”，它可以充分地描述一个无限集合．两个集合如果它们元素之间能够 配成一一对应，不多也不少，那么我们就说这两个集合具有同样的基数。例如：{a，b，c，d}| | | |{1，2，3，4}有基数 4，也就是在每个集合中含有 4 个元素． 集合 A={1，2，3，4，5，?，n，?}| | | | | |集合 B={12，22，32，42，52，?，n2，?}　　集合 A 和集合 B 有同样的基数，因为两个集合的元素之间能够如图所示 形成一一对应．这里似乎出现一种自相矛盾的情形，集合 A 中显然含有非完 全平方数，但它在配成一一对应的过程中却没有元素留下来．19 世纪德国数学家康托（George Cantor，）创造了一种适夫——希伯来字母表的第一个字母）作为无限集中元素的“数”．特别地，自然数集={1，2，3，4，5，?，n，?}非负整数集={0，1，2，3，4，5，?，n－1，?} 正整数集={+1，＋2，＋3，＋4，＋5，?，n，?} 负整数集={－1，－2，－3，－4，－5，?，－n，?} 整数集={?，－3，－2，－1，0，1，2，3，?} 有理数集．（以上 n 代表整数）下例显示了自然数集与非负整数集之间的一一对应的方法：{1，2，3，4，5，?，n，?}自然数集| | | | | |{0，1，2，3，4，?， n－1，?}非负整数集 自然数与正有理数之间的对应如下：{1，2，3，4，5，6，7，8，9，?}| | | | | | | | |1 2 1 1 23 4 3
, , , , , , , , ,? }1 1 2 3 21 1 2
3下表显示了在前面集合中有理数的位置顺序：康托还发展了一种完整的超限数算术体系： 他还证明了的点的基数．　　　　　逻辑问题这是一道逻辑问题，其写作年代可追溯到公元 8 世纪． 一个农夫要带他的羊、狼和白菜过河．他的小船只能容下他以及他的羊、狼或白菜三者之一．如果他带狼跟他走，那留下的羊将吃掉白菜．如果他带 白菜走，则留下的狼也将吃掉羊．只有当人在的时候，白菜和羊才能与他们 各自的掠食者安全相处．试问农夫要怎样做才能把每件东西都带过河？（见附录“农夫、狼、羊和白菜”的解答）雪花曲线雪花曲线①因其形状类似雪花而得名，它的产生假定也跟雪花类似．　　由图 1 那样的等边三角形开始．然后把三角形的每条边三等分，并在每 条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图 2 那样去掉与原三角形 叠合的边．接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三 分后的中段，像图 3 那样向外画新的尖形．不断重复这样的过程，便产生了 雪花曲线． 雪花曲线令人惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！ 雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际上其面积等于 原三角形面积的 13 倍5①．①
原注：更多的信息可见“分形——真实还是想象？”一节．①
译者注：这个结论似乎有错．正确的结果应该是原三角形面积的 边数依次为 3，3×4，3×42，3×43，?，3×4n-1，?
样，雪花曲线所包围的面积为零——始于何时何地　　零这个数对于我们数的系统来说是必不可少的．但是，当开始创造数的 系统时，并没有自动包含零．事实上，古埃及人的数的系统就没有零．公元前 1700 年左右，60 进制数的位置系统发展起来．古巴比伦人用它和他们的360 天的日历相协调，并进行复杂的数学运算，但其中就没有设计零的符号， 而是在需要放置零的地方留一个空的位置、大约在公元前 300 年，巴比伦人 开始用作为零的符号．在巴比伦人之后，玛雅人和印度人发展了数的系统， 该系统第一次用一个符号代表零，这个符号既起位置的作用，也起数零的作 用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　帕普斯定理与九币谜题帕普斯定理：如果 A，B，C 为直线 l1 上的点，而 D，E，F 为直线 l2 上的点．则 P，Q和 R 三点共线．应用帕普斯定理解“九币谜题”．九币谜题：　　重新排列以上九枚硬币，使它从原先 8 行每行 3 枚，变为 10 行每行 3 枚．（见附录“九币谜题”的解答）日本的幻圆　　这个日本的幻圆引自关孝和的著作．关孝和是一个 17 世纪的日本数学 家，他以发现微积分的一种形式及解方程组的矩阵算法而享誉数坛．　　在幻圆中，每一条直径上数的和一样．构成该幻圆的方法似乎类似于高 斯求头 100 个自然数和所用的方法．传说高斯在念小学的时候．他的老师给班上的同学出了一道题目，即求头 100 个自然数的和．但见全班同学顿时忙碌起来，用通常人们解这类问题 的办法而一个个地相加．此时的高斯正端坐在自己的座位上思考着．老师以 为他正在做白日梦，于是催促他抓紧．不料高斯回答说，他已经解出了这道 题．老师问他是怎么解的，高斯用下面的图说明了自已的解答．球形圆顶与水的蒸馏　　每一天我们所遇到的或用到的几何形状不可胜数．一个非同寻常的例子 出现在远离希腊的西密岛上，那里有一个半球形状的太阳能蒸馏装置，供应 岛上 4000 个居民每人每天约一加仑的淡水．　　太阳的热量使中心部分供应的海水蒸发．然后淡水凝结在透明的半球形 圆顶的下方，并沿着底面往下流，流到圆顶的边缘收集起来．　　螺旋——数学与遗传学　　螺旋是一种迷人的数学对象，它触及我们生活的许多领域，诸如遗传的 结构，扩张的模型，运动的姿态，等等．可能是自然存在的，也可能是人造 的．　　要了解螺旋，重要的是要看它的构造．让一组全等的矩形形状的砖，依 纵长的方向连接，则会形成一个细长的矩形砖柱．如果对一组有一个面倾斜 的矩形砖施行同样的过程，结果砖柱会弯曲并绕成一个圆．但如果将每块矩 形砖都在对角方向切一个面，那么砖柱将绕着它自身形成一个三维的螺旋．去 氧核糖核酸 DNA——遗传染色体，就是像这样的两条三维螺旋构成．DNA 有两 列磷酸盐醣分子，它将不对称的分子个体，像上面讲的修整过的矩形砖那样 连接起来．　　螺旋有着不同的类型．直的矩形柱和圆的柱只是螺旋的特殊情况．螺旋 可能向顺时针方向扭转（右旋）或向逆时针方向扭转（左旋）．一个右旋的 螺旋有如一只螺丝锥一样，而当它反映在一面镜子中时，则显示出左旋．螺旋的不同类型的例子可见于我们这个世界的方方面面．像圆形楼梯、电缆、螺丝钉、自动调温器弹簧、螺母、绳索、冰糖藤等等，它们有的是右 旋的，有的是左旋的．螺旋若是绕着圆锥旋进，则称为圆锥形螺旋．这种螺 旋可见于螺丝钻、弹簧床面、以及纽约博物馆的螺线形的盘道（由 F·L·赖 特设计）．　　在自然界也能找到许多螺旋的形式——羚羊、公羊、角鲸和其他有角哺 乳动物的角；病毒；一些蜗牛和软体动物的壳；植物的茎、梗（如豌豆等）、 花、果、叶等结构．人类的脐带也是一种三重的螺旋，它是由一根静脉管和两根动脉管盘绕着留下来的． 左旋螺旋和右旋螺旋缠绕在一起的现象并不罕见．忍冬（左旋）和常春藤（右旋）　　经常配对生长在一起．在莎士比亚的不朽名著《仲夏夜之梦》里就有一 个地方提到它：蒂塔利娅皇后对波屯说：“就这样睡吧！我将把你搂在我的臂上??就像蛇葡萄（一种普通的常春藤）和甜忍冬那样总是扭缠在一起．” 再看看其他领域里出现的螺旋．例如螺旋的通道可以在以下地方发现：飓风、漩涡、一只松鼠上下树的路线，以及新墨西哥卡尔巴大洞穴中的墨西 哥蝙蝠的飞行线路等等．　　自从螺旋与 DNA 分子之间的联系被发现，在如此众多的领域里呈现出螺 旋的现象也就不足为奇了．在自然界中螺旋以它们不同的形式生长着，这是 受它们遗传密码控制的结果．在遗传基因的控制下，生物能不断地按它们各　　自的图案，自然地生长．幻“直线”　　公元一千九百年，C·F·布拉顿发现幻方能够用来构造艺术上令人喜爱 的图案．他发现，如果将一个幻方中的数依次连接起来，会形成一种有趣的 图案，它就是著名的幻直线．实际上幻直线并非一条直线，而是一个图样， 当把该图样用黑白交错着色时，一些非常珍奇的图案就被创造出来．作为一 名建筑师，布拉顿把幻直线用于建筑装修以及书籍和织品的设计．　　这是洛书的幻直线．洛书是人类已知的最早的幻方，约于公元前 2200 年出自中国．这是公元 1514 年丢勒所作动方的幻直线．数学与建筑　　我们非常熟悉某些用于建筑的数学形式，诸如正方形、矩形、锥形和球 形等等．但有一些建筑结构却以人们知之甚少的形状设计．一个引人注目的 例子便是旧金山圣母玛利亚大教堂所用的双曲抛物面设计．该设计出自 P·A·鲁安、J·李以及罗马的工程顾问 P·L·奈维、马萨诸塞州工程学院的 P·比拉斯奇等人．　　在剪彩仪式上，当人们问到对于该教堂米开朗基罗①会怎么想时，奈维回 答道：“他不可能想到它，这个设计是来自那时尚未证明的几何理论．”建筑物的顶部是一个 2135 立方英尺的双曲抛物面体的顶阁，楼面的上方有 200 英尺上升的围墙，由四根巨大的钢筋混凝土塔支撑着，该塔延伸到 94 英尺的地下．每座塔重达九百万磅．墙由 1680 间钢筋混凝土结构的库房组 成，含有 128 种不同的规格．正方形基础的大小为 255×255 平方英尺．　　一个双曲抛物面是抛物面（一条抛物线绕它的对称轴旋转）和一条三维 的双曲线的结合。双曲抛物面的方程为：y 2 x 2 z? ?b 2 a 2 c(a, b＞0, c ? 0)①
译者注：米开朗基罗（Michelangelo，）是意大利著名的雕刻家、画家、建筑师和诗人．视幻觉的历史19 世纪的下半叶，在视幻觉领域掀起了一阵兴趣的波涛． 这期间将近有二百份由物理学家和心理学家撰写的论文发表，这些论文对视幻觉和它为什么会发生作了细致的描述． 视幻觉是由人们的注意力、眼睛构造、或两者的结合而产生的．我们看到什么并不意味着它总是存在，重要的是要凭实际测量确定，而不是基于感 觉的结论．　　上面是 19 世纪触发视幻觉研究的一张幻觉图．J·佐罗纳（Johann Zollner，），一位天体物理学家和天文学教授（他对彗星、太阳 和行星以及光度计的发明等方面作出了许多贡献）偶然间碰到了一块类似于 上图所画的编织物．其中垂直的线实际上是平行的，但看起来却并非这样．对 这种视幻觉的几种可能的解释是：1）设置在平行线段上不同方向的锐角之间的差异．2）眼睛视网膜的曲率．　　3）有层次的线段使我们的眼睛集中和分散，它造成了平行线段视觉上的 弯曲．人们发现，当斜的线段与平行线段成 45°角时，造成的幻觉尤为强烈．　　这是一张著名的视觉幻影图，由漫画家 W·E·希尔创作，发表于公元 1915 年，它属于振动幻影一类，因为我们的眼睛会在两种形状之间转换──一个 年老的女人和一个年轻的女人。你能使涂黑的面既能变成立方体的顶面，也能变成立方体的底面吗？三分角与等边三角形
几何拥有一笔思想、概念和定理的财富．发现一些性质并把它用于某些 几何对象是极为有趣的．例如，任取一个三角形，三等分它的三个角．然后 研究三等分线所形成的图形．请问你注意到什么了吗？①
原注：能够证明，这些三等分线永远会构成一个等边三角形，不管原三角形的形状如何．木柴、水和谷物问题　　从每座房子各分出三条路，一条通向井，一条通向谷物磨坊，而另一条 通向柴棚，要求这些通路彼此不相交，你能解决这个问题吗？水 木柴 谷物巴贝格——现代计算机的达·芬奇　　现代计算机的达·芬奇——巴贝格（Charles Babage,）是一 位英国数学家、工程师和发明家，除了发明速度计，各种精密机械，以及能 让灯塔定时发出亮光的装置之外，他还花费了大量的时间用于制造一台能够 施行数学运算和计算的机器．　　巴贝格“差分机”的原始模型是用齿轮制作的，这些齿轮固定在轴上， 由一根曲柄转动而带动，它能产生一张 5 位数的平方表．稍后，巴贝格又设 计了更好的机器，包含有 20 位数，而且能将***刻在铜制的盘上．在制作零 件的过程中，他成为一名熟练的专家和技师，发展了更加优良的工具和预示 着现代方法的技巧．他对原有的零件和设计不断地加以完善．他的至善主义 以及那时的技术水准，在他所完成的最后制品中得以充分保留．当他放弃差 分机时又萌生了分析机的想法①——能做任何数学运算，具有 1000 个 50 位数 字的记忆容量，能用自身数据库中的表，能比较***并依据指令进行判断．机 器的执行结果能通过机械转换并打卡输出．虽然巴贝格的想法在当时绝对无 法实现，但他的分析机的逻辑结构则可用于今天的计算机．　　分析机实际上代表了这样的一类机器，它与我们今天的计算机具有同样 的意义．令人惊叹的是，巴贝格不仅开拓这一现代的思想，设计了机器，发 展了构造它的工具，策划了它的各个阶段，而且还发展了程序设计方面所需 要的数学．这真是一——上图是巴贝格差分机的一部分．该机造于 1823 年，并于 1842 年废弃．
项非凡的工作！为了表示对 C·巴贝格的敬意，IBM 公司专门建造了一台 分析机的工作模型，以资纪念．①
原注：艾达·洛弗拉斯（L·拜伦的女儿）鼓励并引发了巴贝格在分析机方面的工作．除了在经济上对巴贝格的工作予以资助外，她在数学方面的丰富知识和敏锐的眼力，对于分析机的程序设计具有无比的价 值．同等重要的是，她为了他的事业而倾注了自己的全部热情．数学与穆斯林艺术　　自从人类身体的画像为伊斯兰教徒们所戒禁以来，他们的艺术形式便导 入了其他领域，局限于装饰和镶嵌①，并集中于几何的图案．结果在他们的艺 术与数学之间产生了一定的联系．他们所创造的丰富的图样显示出：●对称●镶嵌、反射、旋转、几何形状的转换●黑白图样间的对等
上图表现出镶嵌、反射、旋转和对称．而黑白形状之间的对等也是该图 案最为精彩的部分．①
原注：平面“镶嵌”是指用一种特殊形状的平板砖来铺盖平面，使得既无缝隙也无重叠．一个中国的幻方　　下图所示的是中国的幻方，它已有近四百年的历史．这个幻方译成阿拉 伯数字是：27 29 2 4 13 369 11 20 22 31 1832 25 7 3 21 2314 16 34 30 12 528 6 15 17 26 191 24 33 35 8 10无穷与极限　　下图是这样的：在圆外面作外切正多边形，又在正多边形外面作外接圆， 再作外切正多边形，又再作外接圆，如此等等．正多边形的边数连续增加， 似乎你会感到这种圆的半径会无限增大，但事实上半径的增大接近于一个极 限，极限值大约等于初始圆半径的 12 倍．　　***谜题　　有十堆银币，每堆十枚．已知一枚真币的重量，也知道每个***比真币 重量多 1 克，而且你还知道这里有一堆全是***，你可以用一架台式盘秤来 称克数．试问最少需要称几次才能确定出***？　　巴特农神殿——一种视觉与数学的设计　　公元前 5 世纪的古希腊建筑师们是运用视幻觉和黄金分割的能手．这些 建筑师们发现，一个完全直的建筑结构，在我们眼睛看起来未必显得是直的． 这种歪斜是由于我们的视网膜的曲率所造成的，当一条直线落在特殊角 的范围内而我们用眼睛看它时，便显示出曲的．巴特农神殿就是其中最为著 名的例子，它说明古代的建筑师们怎样对那些由于我们眼睛造成的歪斜进行 补偿．巴特农神殿成排的圆形柱子实际上是向外弯曲的，神殿的矩形基座的边也是这样做的．　　下图 1 说明如果建筑师们不加以调整的话，巴特农神殿将会显现出怎样 的情形．　　然而，由于进行了上面所说的补偿，整个神殿建筑和圆柱便显得笔直而 令人赏心悦目．
古希腊的建筑师和艺术家们也发觉，黄金分割和黄金矩形①会使建筑物和 雕塑增添美感．那时他们已经具有黄金均值的知识，诸如怎样构造它，怎样 近似它，以及怎样应用它作黄金矩形等等．巴特农神殿说明，该建筑物应用 了黄金矩形．下图 2 显示神殿的尺寸与黄金矩形几乎精确地吻合．①
原注：更多的信息请见“黄金矩形”一节．概率与帕斯卡三角形　　以下由六角砖构成的三角形，有一种独特的产生帕斯卡三角形的方式．球 从顶部的贮罐下落，并通过六角形的障碍物抵达下方而收集起来．对于每个 六角形，球向左或向右滚落有着相同的机会．如图所示，球滚落的机会是按 帕斯卡三角形的数分配的．在底部收集到的球会呈示一种钟形的正态分布曲 线．这种曲线可以用于诸如保险公司的比率设置，分子行为的科学研究，以 及人口分布的宏观探索，等等．
拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，）把概率定义为：一个 事件的发生数与该事件所有可能的总数的比．因此，当我们掷一枚硬币的时 候，得到正面的概率为：　　帕斯卡三角形可以用来计算不同的组合数和所有可能组合的总数．例 如，在空中投掷四枚硬币，正反面可能的组合如下：4 个正面——正正正正=13 个正面与 1 个反面——正正正反、正正反正、正反正正、反正正正=4　　2 个正面与 2 个反面——正正反反、正反正反、反正正反、正反反正、 反正反正、反反正正=61 个正面与 3 个反面——正反反反、反正反反、反反正反、反反反正=44 个反面——反反反反=1 在帕斯卡三角形中，从顶上往下数第四行所指的正是这些可能的结果——1，4，6，4，1．这些数的和即表示可能结果的总数=1＋4＋6＋4＋1＝16．于是，掷出 3 正 1 反的概率便是：
对于更大的组合，就帕斯卡三角形而言，只是一种乏味的延伸，但它却 能应用于牛顿二项展开式．帕斯卡三角形包含了二项展开式（a＋b）n 的系 数．例如，要找出（a＋b）3 的系数，只要看帕斯卡三角形从顶行起的第 3 行（顶行作为零行，即（a＋b）0＝1）．在该行人们可以找到 1，3，3，1， 它正是我们要找的系数：（a＋b）3＝1a3＋3a2b＋3ab2＋1b3一般的 n 次二项展开式可用帕斯卡三角形的第 n 行．二项展开式（a + b） n= a n
+ na n-1 b + 1 n（n - 1）a n -2 b 2
+ ? + b n2第r项系数为：n！（r - 1）！（n - r + 1）！从 n 个物体中一次取出 r 个的组合数是：r n！n r！（n - r）！如 10 件物体一次取 3 个的组合数为10！310 3！（10 - 3）！10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=
3·2·1·7·6·5·4·3·2·1= 120.　　也就是说，10 件物体每次取 3 个有 120 种可能的组合，这可与帕斯卡三 角形的第 10 行加以比较核实．　　渐开线　　把一根绳子缠卷在另一条曲线上（这里是一个圆），然后逐渐把卷曲的 部分展开，其端点会描出一条曲线，它便是渐开线．在自然界里有许多渐开 线的例子，例如一张悬挂着的棕榈叶的梢部，一只鹰的嘴，一条鲨鱼的背鳍， 等等．　　五边形、五角星形与黄金三角形　　由一个正五边形开始，画它的对角线，便会产生一个五角星形、在五角 星形中存在着许多黄金三角形，这些黄金三角形分五角星形的边成黄金比．　　黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为 36°，每个底角为 72°.它 的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比①，并 形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角 形可用于产生螺旋形曲线．　　平分新的黄金三角形的底角并继续这样的过程，会产生一系列黄金三角 形，并形成一条等角螺线①．　　|AB|| BC|? 黄金比? ?(1?25)? 1.6180339?①
原注：更多的信息可见第 33 页有关黄金比的脚注．①
原注：请见“黄金矩形”一节有关等角螺线的信息．三人面墙问题　　三个人位于垂直墙的一直线上，并将眼睛蒙起．然后从装有三顶茶色帽 子和两顶黑色帽子的箱中取出三顶让他们三人戴上．并将以上信息告知他 们．接着把他们眼睛上的蒙布拿掉，并要求每人确定各自所戴帽子的颜色．　　离墙最远的那个，他看到了前面两人帽子的颜色后说：“我不知道我所 戴帽子的颜色．”离墙第二远的那个人听到了上面的回答，又看到了前面一 个人戴的帽色，也回答自己不知道．而第三个人，虽然他看到的只是墙，但 他听到了前面两人的回答，却说：“我知道自己所戴帽子的颜色．”试问，他所戴的帽子是什么颜色？又是怎样确定的呢？（见附录“三人面墙问题”的解答）几何的谬误与斐波那契数列　　如果一个正方形的边长是由两个连续的斐波那契数的和构成，那么它将 使我们想起一个有趣的几何谬误．例如：1）用连续的两个斐波那契数 5 和 8．2）构成一个 13×13 正方形．　　3）如上图左剪开，并如上图右拼合．现在计算正方形与矩形的面积，会 发现正方形面积要比矩形面积大 1 个单位．　　4）对斐波那契数 21 和 34 进行同样的步骤．这种情形下矩形面积要比正 方形面积大 1 个单位．　　这一个单位的盈缺，将在正方形面积与矩形面积之间交错出现，是盈或 是缺有赖于我们所用的是哪两个连续的斐波那契数．①　　迷宫　　迷宫在今天只是一种供人消遣的谜题，但早期的迷宫却使人感到神秘、 危险和惶惑．人们的确会在迷宫那错综迂回的通道上迷失去处，或者还担心 会突然遭遇那隐匿于迷宫内部的巨型怪兽．在古代，人们常常构筑迷宫以保 卫要塞，入侵者将被迫在迷宫中行进一段很长的距离，这样便容易暴露并遭 受攻击．迷宫出现于世界上各个不同的地区，遍及于几乎所有的国家：●爱尔兰石谷中的石雕——约公元前 2000 年．●克利特岛上的迈诺斯迷宫——约公元前 1600 年．●意大利的阿尔卑斯山、庞贝古城、斯堪的那维亚半岛．●威尔士和英格兰的草地迷宫．●在欧洲的教堂地板上的摩西迷宫．●非洲人的织物迷宫．●亚利桑那的印第安人的石雕． 今天，迷宫是心理学和计算机设计感兴趣的一个领域．心理学家用迷宫对人类和动物的学习行为研究了几十年．计算机专家在设计机器人时，第一 步就是要先解决迷宫问题．　　拓扑学是一个数学的领域，迷宫的研究则属于网络的一个分支（用图示 的方法解题）．一条若当曲线经常被误认为迷宫．在拓扑学中我们知道，若 当曲线是由一个圆经扭转、弯曲和环绕（但不自交）而得，它具有一个内部 和外部，就像一个圆而不像一个迷宫．要从若当曲线的内部走到外部，无论 如何必须跨越曲线．自从机器人被用于解迷宫，解迷宫问题的系统方法便被设计出来．解迷宫的方法：　　1）对一个简单的迷宫，只要遮掉你所见到的小路和环圈，留下的路将会 通达终点，接下来只要选择最直接的通路就可以了．如果迷宫比较复杂，那 么这种方法用起来就比较困难．2）永远保持贴着墙的一边（左或是右）走过迷宫．这个方法很容易，但并非对所有的迷宫都能这样做．例外的情形有： a）该迷宫有两个入口，而且有一条不通过终点的路线连接它们； b）迷宫的路中带有环绕终点的圈．　　3）法国数学家 M·特马克设计了一种解任意迷宫的一般性方法．程序如 下：a）在你走过的迷宫路的右侧画一条线； b）当你走到一个新交叉点时，你可以选取任意一条你想走的路； c）如果你在新的路上又回到旧的交叉点或死胡同，那你便转回头； d）如果你在旧路上走到一个旧的交叉点，那你就取任意一条新路（假如有一条的话），否则就取一条旧路； e）决不进入一条两侧都做了记号的路． 以上方法虽然简单，但却要花费不少时间．　　无论从生活实际还是用手上的铅笔，迷宫都依然是一种挑战，或提供娱 乐，或激发思想．　　以上伦敦的迷宫出现在 1908 年 4 月号的《斯特兰德杂志》上（斯特兰德 是伦敦的一条重要市街，位于上图左端——译者）．原图附有以下说明：“旅 游者可以想象由滑铁卢路进入，而他的目的地是到达保罗大教堂．假定他没 有跨过任何设想的、因整修道路而设置的栏栅．”　　中国的计算板　　图中所示的一块方格板，是中国人用来计算的计算板．在历史上中国人 最早发展了一种系统，该系统设置了若干法则用以解联立方程组．　　他们在方格板上放置了一些备用的算筹，然后应用相当于矩阵的规则来 解决问题．　　圆锥截线　　有不少人对此感到迷惑不解，为什么数学对一个问题或一种想法的执着 追求，仅仅是因为它有趣或珍奇．回顾一下古希腊的思想家，我们发现他们 所研究的内容，并不注重于直接的应用，而是缘于兴趣、刺激或挑战．圆锥 曲线的研究就是一个例子。　　对于圆锥曲线，他们当初的主要兴趣在于，用它来帮助解决古代的三大 作图问题——即化圆为方、倍立方和三等分角问题．这些问题在当时没有什 么实际的价值，只是人们感到数学思想受到挑战和刺激而已．许多想法在很 长的年代里都无法显示出它们自身的价值．圆锥曲线产生于公元前 3 世纪， 然而直至 17 世纪数学家们才为它奠定了理论基础并加以公式化．例如，开普 勒用椭圆描述行星的轨道，而枷利略发现抛物线吻合于地球上弹道的轨线， 等等．　　下图表明，当一个平面与两个圆锥体相交时会产生：圆、椭圆、抛物线 和双曲线．　　问题：一个平面要怎样与圆锥相交才能产生一条直线、两条相交直线、 或一个点？在宇宙中有许多构成圆锥曲线的例子．当代最为令人鼓舞的例子之一就是哈雷彗星．公元 1704 年，哈雷在研究不同彗星轨道资料的有效性时得出结论：， 等年份出现的是同一个彗星，它沿椭圆形的轨道绕 太阳运转，每运转一周约76年．他成功地预言了这颗彗星将于1758年回归．从 而使这颗后来以哈雷名字命名的彗星，因之而举世闻名．新近的探索还表明， 早在公元前 240 年，中国人就已记录到了哈雷彗星．在宇宙中圆锥曲线的例子抛物线——●喷水的弧线　　●闪光灯反射面的形状 椭圆——●某些行星和某些彗星的轨道双曲线——　　●某些彗星和另一些天体的轨道 圆——●水塘中激起的波纹●圆形的轨道●轮子●自然界中的物体阿基米德螺旋装置　　当我们把阿基米德螺旋装置浸入水中并旋转摇柄时，它能把水抽上来．现 在世界上有不少地方仍然将它用于灌溉．　　阿基米德（Archimedes，公元前 287—公元前 212 年）是一位希腊的数 学家和发明家．他发现了杠杆原理和滑轮原理．他的发现导致了起重机械（能 够容易移动重物）的发明．他还发现了：将物体浸入水中而比较体积的方法， 流体静力学，浮力原理，微积分思想的应用；发明了：***炮，用镜子将太阳 光线聚焦的方法，等等．　　光渗视幻觉　　视幻觉是由于人们的注意力和眼睛的构造两者造成的．当我们观察一个 具有明暗对象的区域时，不固定的东西在我们眼睛中是不完全清楚的，光线 进入位于我们眼后的视网膜时扩散了．结果明亮的光线或亮的区域便溢出， 并渗入到视网膜上影像的暗区．这样一来，亮的区域就显得比同等大小的暗 的区域要大一些，就像下图所示的那样．这也解释了为什么穿暗色的衣服， 特别是黑的，比起你穿亮丽的衣服或同等式样的白色衣服，会使你显得更为 瘦长．这种幻觉称为光渗，它是由 19 世纪德国的物理学家和生理学家赫尔姆 霍兹（ Herman L. F. von Hellmholtz，）发现的．　　毕达哥拉斯定理与伽菲尔德总统　　伽菲尔德（James AbramGarfield，）是美国第 20 任总统， 他对数学怀有浓厚的兴趣．公元 1876 年，当他还是一名众议员的时候，他就 发现了毕达哥拉斯定理①的一种有趣的证明．该证明发表在《新英格兰教育杂 志》上．证明是用两种方法计算同一个梯形的面积：方法（1）：梯形面积 =
1 （上底 + 下底）×高 .2　　方法（2）：把梯形分为 3 个直角三角形，并计算这三个直角三角形的面 积．证 明　　作梯形 ABCD，使 AB∥DC 且∠C 和∠B 为直角，并用 a，b，c 表示有关 的长度（见图）．用上列的两种方法计算梯形面积：方法（1）面积=方法（2）面积，1 1 1 1(a ? b)(a ? b) ? ab ? ab ? c2 ,2 2 2 2即证得(a ? b) 2
? ab ? ab ? c2 ,a 2
? 2ab ? b2
? 2ab ? c2 ,a 2
原注：见“毕达哥拉斯定理”一节.亚里士多德的轮子悖论　　在轮子上有两个同心圆．轮子滚动一周，从 A 点移动到 B 点，这时｜AB｜ 相当于大圆的周长．此时小圆也正好转动一周，并走过了长为｜AB｜的距 离．这不是表明小圆的周长也是｜AB｜吗？伽利略对亚里士多德轮子悖论的解析：　　伽利略是通过正方形“轮子”进行分析的，他考虑的是两个同心的正方 形．当大正方形翻动 4 次（横贯正方形轮子的周长｜AB｜）时，我们注意到 小正方形被带着跳过了 3 段空隙．这说明小圆是怎样被带着走了长为｜AB｜ 的距离，所以｜AB｜不能代表它的周长．　　史前巨石柱　　在英格兰的索尔斯堡大平原上，伫立着令人生畏的石头建筑，它就是闻 名于世的史前巨石柱．这些石柱始建于公元前 2700 年，共分三个阶段，最后 约于公元前 2000 年完成．　　建造这些巨石柱是出于什么目的？居然有那样多不同的人群使用和发展 它，这又意味着什么呢？莫非它是：●一座宗教的寺庙？　　●一座月亮和太阳的观测台，用来观察冬至太阳的下落和夏至太阳的升 起？●一种阴历？●一台预测日食或月食的原始计算机？ 然而所有这些，巨石柱的建设者和使用者们都没有写成文字留下来，以致于到今天人们仍无法知道它的真正目的．零碎的证据使所有的论断都处于 推测之中．然而有一点却是可以肯定的，那就是建筑者们已经有了关于几何 图形和度量方面的知识．有多少维？　　艺术是多种多样的，像早期的山洞壁画，拜占庭时期的偶像画，文艺复 兴时期的油画，以及印象派艺术家的描写画，等等，它们的存在要么是二维 的，要么是三维的．然而艺术家、科学家。数学家和建筑师们，他们都发展 了各自的手法，使一些对象显现为四维．其中一个例子就是称为超立方体的 立方体四维画，它是建筑师 C·布莱顿于 1913 年创造的．布莱顿将他的超立 方体画和其他的四维图案汇集在自己的作品中．其中他设计的罗契斯特（在 美国纽约州）的商会建筑就是一个例子．　　超过三维的其他维的存在，总是引人注目．在一个数学家看来，高维的 出现只是遵循思维逻辑发展的一种必然结果．　　例如，从一个零维物体，即一个点开始，现在将该点向左或向右移动一 个单位，这便形成一条线段，这线段就是一维的物体．现在将线段向上或向 下移动一个单位，便会形成一个正方形，这正方形就是二维物体．按同样的 方式进行，把正方形向里或者向外移动一个单位，便会形成一个立方体，它 就是一个三维物体．下一步要设法并想象移动这个立方体，使其朝第四维的 方向运动一个单位，以产生一个超立方体，也称作立方镶嵌体．用同样的方 式，人们可以得到超球，即四维球体．但数学并没有停止在四维，而是进一 步考虑 n 维．令人惊异的数学图案表现出不同维数物体所涉及的顶点数、边 数和面数，有关的资料已被汇编成集．　　第四维的可能存在使许多人感到兴趣．艺术家和数学家们试图想象并描 画一种物体使其显示出第四维．立方镶嵌体和超立方体都是立方体的四维标 本．一个立方体画在纸上其本身也只是一个透视图象（它暗示着三维的特 征）．这样一来，一个立方镶嵌体画在纸上，便是一种透视的透视．　　计算机与维数　　人类是三维生物，所以最容易想象和理解的首先也是三维物体．虽然就 数学而言，存在超过 3 的维数，然而对于无法看到或想象的一些东西，人们 还是难于接受的．计算机则可用来帮助我们想象高维物体．例如，T·本车夫（一位数学家）和 C·斯特劳斯（一位计算机科学家）在布劳恩大学用一台 计算机产生一个超立方体迁入和迁出三维空间的运动图．由此人们可以从不 同的角度去捕捉超立方体在三维世界中的各种不同图象．它类似于一个立方 体（三维物体）从不同的角度穿过一个平面（二维世界）．把它在平面上的 截痕记录并搜集起来，则有助于给出一个三维物体较为完美的二维形象．　　现在我们已经有了三维物体的二维全息图．这种全息图现在已用于商品 的广告和图示．或许在将来，三维的全息图也将发展并用于四维物体的图象． 你是否考虑过你最要好的朋友是一个四维生物，但他却以三维生物的形象呈现在你的面前？“双层”莫比乌斯带　　拓扑学是研究物体在扭曲变形（拉伸或皱缩）下保持不变的那些性质．与 欧几里得几何不同，拓扑学不涉及大小、形状和刚体，它研究的是弹性对象， 这就是为什么人们说它是橡皮膜上的几何学．莫比乌斯带是 17 世纪德国数学家 A·莫比乌斯创造的，它是拓扑学研究的对象之一．取一张纸条，把它扭 转半圈并将端头胶接在一起，一个莫比乌斯带便做成了．它是令人迷惑的， 因为它只有一个面，我们能用一根铅笔笔不离纸地描遍整个表面．　　下面让我们考虑“双层”的莫比乌斯带．取两张叠在一起的纸条，把它 们同时扭转半圈，然后把端头胶结在一起．整个看起来像是两条紧贴在一起 的莫比乌斯带．然而果真是这样吗？　　请做一个像上图那样的模型并检验一下：把你的手指放进两条带的中间 隔层并让它移动，看会发生什么情形？再拿一支铅笔沿其中一条描画直至到 达你出发点的背面，看又会发生什么情形？如果你试着不让它们紧贴，又会发生什么呢？似非而是的曲线——充满空间的曲线　　曲线通常是作为一维考虑的，它是由零维的点构成．从这个意义上讲， 说一条曲线能够充满空间似乎是与上述矛盾的．欧几里得曲线是平薄而无大 小的．那个时代的数学家还没有想到曲线可以通过以下自我产生的方式构造．　　上述例子显示了曲线充满空间的步骤，它由图示的特殊方式连续地自我 产生，并逐渐包容了整个立方体空间．　　算盘　　算盘是一种最为古老的用于计算的发明，也被人称为古代的计算机．这 种古代的计算工具最先在中国和其他亚洲国家使用，可用来作加、减、乘、 除及求平方根和立方根等计算．算盘有不同的类型，如阿拉伯算盘，在每根 金属线上有十个球，没有中隔．历史显示，古希腊和古罗马人也曾用过算盘． 中国人的算盘一般含有十三档算珠，当中由一根横木隔开．每档在横木 下方有五个算珠，在横木的上方有两个算珠．每档的一个上珠，等于五个同档的下珠．例如，在十位档上的一个上珠，其值为 5×10 即 50．　　　　　　　　　　　　数学与编织数学的对象会怎样出现在编织物中呢？ 让我们用数学的观点有意地去分析一些织物的图案．研究以下一些织物的断片，人们会在其中发现许多数学概念●对称的线条●镶嵌●几何的形状●成比例的对象●反射图样　　在这些织物图案中你能发现上面所列的数学概念吗？你还能从中发现其 他的数学思想吗？　　默森的数　　在 17 世纪，一个具有 69 位数字的数被法国数学家 M·默森推测为素 数.1984 年 2 月，一批数学家成功地用计算机解决了这个历经三个世纪的古 老谜题．在经过 32 小时又 12 分钟之后，这一默森的数所包含的三个因子（下 表列出）终于被发现．　　数的***的技术使应用密码的人感到担忧，因为现代的许多密码系统， 为了保持密码的可靠性而选用了一些位数很大而又难于***的数作为设密的 工具．　　***一个数是指把数分为较小素数的乘积．这项工作对于较小的数可用 小于它的素数来试除，因而比较简单．但对于较大的数，则需要其他办法．这 是因为随着数的增大，前述方法的计算量将指数般地增加．对于一个有 60 位的数，即使用每秒运行 10 亿次的计算机，也要花上几千年．　　 年，R·西韦门和 P·曼特哥美利发展了一种既快又廉价的方 法．该法用在微电脑上与用在大型计算机上效果相当．他们新近完成了一个81 位数的因子***，用了八台微电脑，每台运行 150 小时．　　　　　　　　七巧板谜题用一副七巧板的七块板，如何拼出下面的图形？无限对应有限下图显示如何使半圆上的点与一直线上的点一一对应．这里半圆的周长5π是一个有限的长度，而切于半圆的直线却有无限的长度．由半圆中心 P 发出的射线与直线和半圆分别相交，两个交点之间形成一一对应．当射线沿 半圆移动并逼近射线 PQ 时，它与直线的交点变得越来越远．当射线变为 PQ 时①会发生什么情况呢？①
原注：此时射线平行于直线．三角形数、正方形数与五边形数　　人们对给出的数予以许多不同的称呼，其中有些名称是来自它们构成的 几何对象的形状．
下面我们看到，奇数①构成三角形的形状，因而也称三角形数．完全平方 数，即 12＝1，22＝4，32＝9，??构成正方形的形状，每一组数都跟一种 图样相联系．试构成其他数的序列，使其联系于某几何对象，并确定其特殊 的图样．①
译者注：这里把 1，3，6，10，?等数说成“奇数”（oddnumbers）似乎有误.埃拉托斯散测量地球　　公元前 200 年，埃拉托斯散设计了一种测量绕地球一周距离的巧妙的办 法．为测出绕地球一周的长度，埃拉托斯散运用了几何知识和以下定理： 两平行直线为另一条直线所截，则所形成的内错角相等． 他知道在塞恩（埃及城市）每当夏至中午时分，直立的杆没有影子，而此时 500 英里外的亚历山大里亚直立的杆，其影子却偏离垂直方向 7°12′ 角．根据这一信息他算出了绕地球一周的长度．计算结果与实际值的误差小于 2％．程序：　　由于光线是平行照射的，所以上图中内错角∠CAB 与∠B 相等．这样，在 塞恩和亚历山大里亚之间的距离，便是绕地球一周距离的若干分之一．这个比的分数为 7?12? =
1 . 因此绕地球一周的距离便是500英里X50＝25000英里.360? 50投影几何与线性规划　　运用投影几何和解方程组的技巧，一位贝尔实验室的数学家 N·卡马克 发现了一种快刀斩乱麻的方法．这种方法可以用来解决非常繁杂的线性规划 问题，这类问题经常出现在卫星通讯的时间分配，大队飞机的起降编排，以 及数百万部长途***的发送，等等．　　直至新近，数学家 G·B·丹齐克所发展的单纯形法①（1947）仍然有用．不 过，对于巨型问题，即使使用大型计算机也要花费很多时间，因而显得不够 实用．数学家们把这类问题想象成一个复杂的几何体，这个几何体有千千万 万个的面，每个面上的每一个角顶都表示一种可能的解．算法的任务就是在 不去计算每一个解的情况下求出最佳的解答．丹齐克的单纯形法则是沿着体 的棱，逐一检验顶点，以求取得最佳解．在大多数问题中，只要未知量不多于 15000 至 20000 个，用这种方法处理都足够有效． 卡马克算法①总的思路是，通过体的中央取一条捷径．在选定任一内点之后，通过算法使内部的结构变形，也就是说形成了新的问题，在新问题中所 选的点准确地成为中心．下一步是在最佳解的方向上找一个新的点，然后再 次变形结构，使新的点此时成为中心．除非变形已经结束，否则都要继续同 样的步骤，每次都往最好的方向改进．这种一再施行的变换是基于投影几何 的概念，它能迅捷地导出最佳的解答．①
译者注：单纯形法最早是前苏联数学家康多罗维奇于 1939 年提出的．康多罗维奇还因在运筹学上的贡献而获得了 1975 年诺贝尔经济学奖．文中所提到的 N·卡马克算法，数学界普遍把这一成就归属于前苏联青 年数学家哈奇扬．哈奇扬的算法也称‘椭圆算法”（1979）．①
原注：算法是一种达到解答的计算步骤．例如，长除法的过程和步骤就是一种算法．在长除法中，我们 需要靠智力在算的过程中取一个捷径．如我们用 29 去除 658，人们会想 29 接近 30，那么在 65 中有几个 30 呢？这比算出在 658 中有多少个 29 便捷得多，几乎可以立即得出***．卡马克算法也是一种特有的捷径， 它是建立在变换和变形的基础上的．蜘蛛与苍蝇问题　　H·E·杜登尼是 19 世纪英国知名的谜题创作者．在今天大多数的谜题书 上都有他的杰作，只是他常常没有得到他应有的赞誉．公元 1890 年，他与美 国著名的谜题专家山姆·洛依德合作发表了一系列谜题文章．　　杜登尼的第一本书《坎特伯雷谜题集》出版于 1907 年，此后又陆续出版 了五本，它们为数学智力问题留下了一笔财富．　　“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在 1903 年的英国报纸上，它是杜登尼最有 名的谜题之一：　　在一个 30′X 12′ X 12′的长方体房间，一只蜘蛛在一面墙的中间离 天花板 1 英尺的地方.　　苍蝇则在对墙的中间离地板 1 英尺的地方．苍蝇是如此害怕，以至于无 法动弹．试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短的距离是多少？（提示：它少于42′）（见附录“蜘蛛与苍蝇”的解答）数学与肥皂泡　　哪一类数学概念与肥皂泡相联系呢？肥皂泡膜的形状是受表面张力的控 制．表面张力总是使表面积尽可能地小．由于每个肥皂泡里都包封住了一定 量的空气，结果由于这一定量的空气，使得表面积的减少有了一个最低的限 度．这就解释了为什么单个的肥皂泡总是变成球状的，而一大堆肥皂泡集在 一起便有不同的造形．在肥皂泡沫中，肥皂泡的边缘之间交成 120°，这称 为三部接合．在一个三部接合点，有三条线段相会，各各交成 120°角．许 多自然现象（一些例子如鱼的鳞、香蕉的内部、玉米仁的构造、海龟壳等等） 也都遵从三部接合的规律，接合点则为自然界的均衡点．　　硬币悖论　　顶上的硬币绕下方的硬币移动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一 样，然而滚过圆周的一半，人们原以为结果图案会是朝下的！拿来两枚硬币并试照着移动．你能解释为什么不会出现朝下的情形吗？六阶米诺六阶米诺片是一种扁平的物体，它由六个正方形单位构成．取一个体积为 1 立方单位的立方体，沿着它 12 条棱中的 7 条将它切开，然后把它摊平．其 结果的图形就是一种六阶米诺片．由于沿着棱切开可以有多种方式，所以得 到的六阶米诺片就会有许多不同的形状，下面画的就是其中几种．那么究竟有多少种不同形状的六阶米诺片呢？斐波那契数列与自然　　斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然 的．　　a）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫 瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花．　　b）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯 菊、雏菊．斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3???百合和蝴蝶花5???蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8????翠雀花13????金盏草21????紫宛34， 55， 84?雏菊　　C）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现．例如，在树木 的枝干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数叶子（假定没有折损）， 直至到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数．叶子 从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回．叶子在一个循回中旋转的 圈数也是斐波那契数．在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源 自希腊词，意即叶子的排列）比．多数的叶序比呈现为斐波那契数的比．　　d）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的 左和右的两种螺旋形走向的数目之中．这种情况在向日葵的种子盘中也会看 到．此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数①吗？　　e）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物．对于菠萝，我们可以去数 一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数．斐波那契数列与黄金比值 相继的斐波那契数的比的数列1
5 Fn1,2,1.5,1.6,1.6,1.625,1.? 它们交错地或大于或小于黄金比φ的值．该数列的极限为φ．这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，①
原注：鲁卡斯数构成一个类斐波那契数列，它起于数 1 和 3，其后继数可由前两个数相加得到．这样，鲁卡斯数列便是 1，3，4，7，11，?．这个名字是 19 世纪数学家后来命名的，他们在研究斐波那契再生 数列时，给鲁卡斯数列命了名．鲁卡斯数列还可以直接从它与斐波那契数列之间的关系得出．那里也就会出现斐波那契数，反之亦然．猴子与椰子　　三名水手和他们的一只猴子因船舶失事而流落在一个岛上，在那里他们 发现仅有的食物是椰子．他们为收集椰子而劳累了一天，于是决定大家先去 睡觉，等第二天起来后再分配．　　夜间，一个水手醒来，决定拿走属于他的那份椰子而不想等到早上．他 把椰子分为相等的三堆，但发现多出了一个椰子，于是把这个多出的给了他 们的猴子．接着他藏好了自己那份椰子又去睡觉了．不久，另一个水手也醒 来，他做了与第一个水手同样的事，也把此时正好多出来的一个椰子给了猴 子.而最后第三个水手醒来，他也跟前两个水手一样做法分了椰子，并把此时 多出的一个给了猴子．早晨，当三名水手起来时，他们决定为猴子留下一个 椰子后把其余的椰子平分为三堆．试问，水手们收集到的椰子最少的数目是多少？ 试将同样的问题推广到四个和五个水手． 用于解这个问题的方程称为丢番图方程．希腊数学家丢番图最早把这种类型的方程用于解特定类型的问题．（见附录“猴子与椰子”的解答）蜘蛛与螺线四只蜘蛛从一只 6×6（单位米）正方形的四个角开始爬． 每只蜘蛛都以每秒 1 厘米的速度朝它右边的一个蜘蛛爬．结果它们都以一定的速率朝中心移动．四只蜘蛛总是位于一正方形的四个顶点． 多少分钟后它们会在中心相遇？蜘蛛所走的路线形成等角螺线①．试对其他形状的正多边形思考同样的问题．（见附录“蜘蛛与螺线”的解答）附录：解答·***·说明●第 9 页——三角形变为正方形：●第 17 页——麦粒与棋盘：1＋2＋22＋23＋24＋?＋2631＋2＋4＋8＋16＋?●第 36 页——T 问题：●第 38 页——无穷旅店： 他决定将每个房间的居住者搬到房号是他现有房号两倍的房间里去．即第一号房间的客人去第二号房间，第二号房间的客人去第***房间，第三号 房间的客人去第六号房间，等等．这样一来，他空出了所有奇数房号的房间， 留给无限公共汽车运载来的旅客．●第 48 页——山姆·洛依德谜题：从中心开始依以下所指的方向移动到相应的方格： 南西、南西、北东、北东、北东、南西、南西、南西、北西．●第 52 页——斐波那契的秘诀：如果 a 和 b 表示头两项，则接下去的项为 a＋ b；a＋2b；2a＋3b；3a＋5b；5a＋8b；8a＋13b；13a＋21b；21a＋34b．易知，头十项的和为 55a＋88b， 它是第 7 项 5a＋8b 的 11 倍．●第 57 页——十个历史日期：1879——爱因斯坦诞生；1066——哈斯丁斯战争；476——罗马的陷落；1215——英国大宪章通过；1455——古腾堡《圣经》印制；563——浮屠佛出生；1770——贝多芬诞生；1969——人类登上月球；1948——甘地被暗杀；1776——美国独立宣言发表．●第 60 页——枕边问题之八： 卡洛尔的解析——m=人数，　　　k=最后一个人（最穷的人）身上的先令数． 在一轮之后，每人都比原来少了一个先令，而移下去的一堆则有 m 个先令．k 轮之后，每个人少了 k 先令，此时最后一个人身上已无先令，他转下 去的一堆含有 mk 先令．上述过程在以下情况下结束，即当最后一个人收到转 来的这堆共含有（mk+m-1）先令．此时最后一个人的前一个人身上已无先令， 第一个人则有（m－2）先令．　　第一个人与最后一个人是仅有的两个，其拥有先令数的比可能为 4：1 的相邻的人．这样，要么 mk＋m-1＝4（m-2）， 要么 4（mk＋m－1）＝m－2．第一个方程给出mk = 3m－7 ，即k＝3 -
，它除m = 7 和k＝2之外没有m其他整数解．第二个方程给出 4mk＝2－3m，它没有正整数解． 于是，问题的***是：7 个人；最后一人开初有 2 先令．●第 70 页——令人惊奇的跑道： 证明跑道的面积是——πR2-πr2．这是大圆面积与小圆面积的差．从69页图知，弦的长度为2
? r 2 ．以此弦为直径的圆的面积为；π（R 2 －r 2 ），此即πR 2 －πr 2●第 71 页——波斯人的马： 两匹水平放置的马，腹部对腹部；两匹垂直放置的马，背部对背部．●第 72 页——山姆·洛依德的驴：●第 120 页——阿基里斯与乌龟：阿基里斯在111 1 米时赶上乌龟．如果比赛的路程比这短, 则乌龟胜; 如9果恰好等于上述的距离，则双方平分秋色；否则阿基里斯就要超过乌龟．●第 127 页——丢番图之谜： 设 n 代表丢番图活的岁数，则：n n n n? ? ? 5 ? ? 4 ? n化简得：6 12 73282n ? 9,●第 140 页——棋盘问题：n ? 84(岁)不可能用多米诺牌覆盖题中差缺的棋盘． 一个多米诺牌必须占据一个白色和一个黑色的方格．由于两角拿掉的是同一种颜色的方格，这样必然会有白色或黑色的方格留下来．●第 144 页——1=2 的证明：第 6 步出现除以零的情形．这是因为数零隐藏于表示式 b-a 之中，当 a＝b 时表示式 b-a 等于零．●第 151 页——预料不到的考试的悖论： 考试不可能在星期五，因为它是可能举行考试的最后一天，如果在星期四还没有举行考试的话，那你就能推出星期五要考．但老师说过，在当天早 上八点之前不可能知道考试日期，因此在星期五考试是不可能的．但这样一 来星期四便成为可能举行考试的最后日期．然而考试也不可能在星期四．因 为如果星期三没有考试的话，我们就知道考试将在星期四或星期五举行．但从前面的论述可知道，星期五可以排除，这就意味着在星期三就已知道在星 期四要进行考试，这是不可能的．现在星期三便成为最后可能考试的日子．但 星期三也要排除，因为如果你在星期二还没有考试的话，便能断定在星期三 要考．如此等等，根据同样的理由，全周的每一天都被排除．●第 163 页——农夫、狼、羊和白菜： 农夫首先将羊带过河，然后返回带狼过河．过河后把狼留下，而将羊带回到原先出发的地方．然后再把羊留在原地而把白菜带过河．再把白菜留在 狼那边，自己返回．最后又一次把羊带过河，带到狼和白莱等着的地方．●第 168 页——九币谜题：●第 180 页——木柴、水和谷物问题： 木柴、水和谷物问题在欧几里得平面是无解的（不管路多长），但女果把房子盖在环面或油煎圈饼表面上（如图所示），那么解答将是很简单的．●第 187 页——***谜题： 只要称一次！　　从第一堆银币中取一枚放在秤盘上，从第二堆银币中拿两枚放在秤盘 上，从第三堆银币中拿三枚放在秤盘上，从第四堆银币中拿四枚放在秤盘上， 如此等等．如果其中没有***，你能算出秤盘上的银币该有多重．因此，如 果你发现秤盘上重了多少，就能确定哪一堆是***，因为堆的序数与拿出的 币数是一样的．例如，秤盘上比正常重了 4 克，那么第 4 堆必为***，因为 你从这一堆中取出了 4 个银币放在秤盘上．●第 196 页——三人面墙问题：　　离墙最远的那个人必然看到了两顶茶色的帽，或者一顶茶色的帽一顶黑 色的帽．因为如果他看到的是两顶黑色的帽，便能知道自己戴的是茶色的帽． 中间那个人看到的必然是茶色的帽．因为如果他看到的是黑色的帽，他 就能从第一个人的回答中知道自己必然戴着茶色的帽.因此面对墙的最前面的那个人便能推出自己只能戴着中间那个人看到的茶色的帽．●第 224 页——蜘蛛与苍蝇：●第 232 页——猴子与椰子：79 个椰子．令 n 代表原先椰子的数量．给猴子的数 每个水手自己藏起的数 堆中留下的数n ? 1132n ? 513? 3 ?2n ? 592n ? 232(2n ? 5)?94n ? 1094n ? 19148n ? 65127? 3 ?? 3 ?4n ? 19278n ? 65812(4n ? 19)?2708n ? 3827回想起n = 原先椰子的总数, 而 8 n ? 65 ? f是第二天早上每个水手分到的81椰子数．让 f 从 1 开始连续地取整数值，可知要使 n 为整数的最小的 f 值为f＝7．此时 n＝79，●第 234 页——蜘蛛与螺线： 注意到蜘蛛移动后所形成的正方形尺寸不断缩小，但它永远留在原正方形内．由于每个蜘蛛走的路都与它右边的蜘蛛走的路相垂直，因而一个蜘蛛 到达它右边的蜘蛛所花的时间，与右边的蜘蛛不动时该蜘蛛爬到的时间是一 样的．这表明每只蜘蛛都爬行了 6 米，即 600 厘米．蜘蛛爬这段路需要 600 秒，即 10 分钟．
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