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>>>已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,..
已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)不等式f(2x)-k2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的范围; (Ⅲ)方程有三个不同的实数解,求实数k的范围.
题型:解答题难度:偏难来源:期末题
解:(Ⅰ)(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a当a>0时,g(x)在[2,3]上为增函数故当a<0时,g(x)在[2,3]上为减函数故∵b<1∴a=1,b=0(Ⅱ)由(Ⅰ)即g(x)=x2-2x+1..方程f(2x)-k2x≥0化为,令,k≤t2-2t+1∵x∈[-1,1]∴记φ(t)=t2-2t+1∴φ(t)min=0∴k≤0(Ⅲ)方程化为|2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,|2x-1|≠0令|2x-1|=t,则方程化为t2-(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0)∵方程有三个不同的实数解,∴由t=|2x-1|的图象知,t2-(2+3k)t+(1+2k)=0有两个根t1、t2,且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1记Φ(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k)则或∴k>0.
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据魔方格专家权威分析,试题“已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系,函数的单调性、最值,基本不等式及其应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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因为篇幅有限,只列出部分考点,详细请访问。
函数的零点与方程根的联系函数的单调性、最值基本不等式及其应用
函数零点的定义:
一般地,如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=o,则a叫做这个函数的零点,有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标,也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质:
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的,则有:(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变为正.(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,方程的根与函数的零点的联系:
方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点 单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间&&3、最值的定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小; ④根据定义作出结论。(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。基本不等式:
(当且仅当a=b时取“=”号); 变式:①,(当且仅当a=b时取“=”号),即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②;③;④; 对基本不等式的理解:
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的,即,即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等,其中的算术平均数,的几何平均数,本定理也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件.均值不等式中:①当a=b时取等号,即 对于两个正数x,y,若已知xy,x+y,中的某一个为定值,可求出其余各个的最值:如:(1)当xy=P(定值),那么当x=y时,和x+y有最小值2,; (2)x+y=S(定值),那么当x=y时,积xy有最大值,; (3)已知x2+y2=p,则x+y有最大值为,。
应用基本的不等式解题时:
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件,即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小:
(1)注意均值不等式的前提条件.(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式.(3)注意“1”的代换.(4)灵活变换基本不等式的形式,并注重其变形形式的运用.重要不等式的形式可以是,也可以是,还可以是等,不仅要掌握原来的形式,还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等,以便应用.(5)合理配组,反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式:
发现相似题
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参考资料

 

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