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山东省沂水县第一中学人教A版高中数学选修2-2课件：2-3 数学归纳法（1）.ppt 18页
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数学归纳法（1） 内容： 应用: 1、用数学归纳法证明等式 数学归纳法的原理: （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;【归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.【归纳递推】 2、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 数学归纳法
本课主要学习数学归纳法。以三个小例子引入新课，接着观看视频,思考多米诺骨牌游戏的原理是什么?引出数学归纳法的原理和概念.明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式.注意:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设.
在讲述数学归纳法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1巩固掌握掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题,明确由n=k到n=k+1的增项问题.通过例2和变式2明确:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解数学归纳法的应用。 问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是
问题2: 完全归纳法
不完全归纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象,得到一般结论的推理方法 考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 通过观看视频，大家一起讨论一下:一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么） 多米诺骨牌 有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？ 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
⑴ 第一块骨牌倒下； ⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下 ?两个条件的作用： 条件⑴：奠基；
条件⑵：递推关系
对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题
成立;【归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法叫做 数学归纳法 数学归纳法 【归纳递推】 框图表示 例1.用数学归纳法证明 1.用数学归纳法证明等式
1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n＝1时，左边所得项是
； 当n＝2时，左边所得项是
； 1+2+3 1+2+3+4+5 A、1 B、1+a C、1+a+a2 D、1+a+a2+a3 C 例2 用数学归纳法证明： 证明 （1）当n=1时，等式左边
所以等式成立.
（2）假设 n=k（k ∈ N+）时等式成立，
那么当n=k+1时， 即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意n ∈ N+等式均成立
用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n?1)=n2
证明: (1) 当n=1时 左＝1，右＝12＝1 ∴n=1时，等式成立 (2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k?1)=k2
那么，当n=k+1时 左＝1+3+5+…+(2k?1)＋[2(k+1)-1] =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时命题成立 由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立 递推基础 递推依据 D
2. 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an = a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1, 右边=a1 +（1-1）d=a1,
∴ 当n=1时，结论成立
(2)假设当n=k时结论成立， 即
ak=a1+(k-1)d
则当n=k+1时 ak+1 = ak+d
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。 凑假设 结论 从n=k到n=k+1有什么变化 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:
【归纳奠基】 （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确
（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确
（3）由（1）、（2）得出结论 【归纳递推】 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 布置
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