自动控制 根轨迹(极点,零点)_中华文本库
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寻找更多 ""1111???d?0.5d?2d?1?j2d?1；解得：d1??0.41；③与虚轴交点：；D(s)?(s?2)(s?0.5)?K?(s2?；把s=j?代入上方程，令；?2???Re(D(j?))??(1?K)??5；解得：????0；??K?0.2?????1.25；??K?0.75；?根轨迹如图解4-10所示；K?5K?，所以系统稳定的K值范围为1?K?3
1111 ???d?0.5d?2d?1?j2d?1?j2
解得： d1??0.41。
③与虚轴交点：
D(s)?(s?2)(s?0.5)?K?(s2?2s?5)?0
把s=j?代入上方程，令
?2???Re(D(j?))??(1?K)??5K?1?0 ????Im(D(j?))?(1.5?2K)??0
?根轨迹如图解4-10所示。由图解4-10可知系统稳定的K值范围为0.2?K?0.75；又 ?
K?5K?， 所以系统稳定的K值范围为1?K?3.75。
6 试绘出下列多项式方程的根轨迹。
⑴s?2s?3s?Ks?2K?0；
解 ⑴ s?2s?3s?Ks?2K?0
作等效开环传递函数 G(s)?
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ??2,0?
② 渐近线： *3232K(s?2)。 s3?2s2?3s
??1?j2?(?1?j2)?(?2)?a??0??2
???(2k?1)????
③ 起始角：
p?180??54.74??90??125.26??19.48? 1
根轨迹如图解4-11(a)所示。
7 控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。
系统开环传递函数为 K?(s?1) G(s)?3(s?2)
此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：???,?2?,??1,???
② 分离点：
③ 起始角：根据相角条件， 31? d?2d?1
i?1j?1mnj?2k?
?p1?60?，?p2??60?，?p3?180?。
根轨迹如图解4-12所示。
8 设单位反馈系统的开环传递函数为
K?(1?s) G(s)?s(s?2)
试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： ??2,0?,
② 分离点：
??111?? dd?2d?1
解得：d1??0.732 , d2?2.732
将s?d1??0.732, s?d2?2.732代入幅值条件得
?K?d1?0.54, Kd2?7.46
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?s(s?2)?K?(1?s)?0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2???Re(D(j?))????K?0 ????Im(D(j?))?(2?K)??0
???0解得：
?K?0????1.41 ???K?2
根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.54，7.46，产生纯虚根的K为2。
9 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出b?2时系统的闭环传递函数。
（1）G(s)??20 (s?4)(s?b)
30(s?b) s(s?10)
b(s?4) s2?4s?20（2）G(s)?解 （1）做等效开环传递函数 G(s)??① 实轴上的根轨迹：(??,?4]
② 分离点：111?? d?2?j4d?2?j4d?4
解得：d1??0.472(舍去)，d2?8.472
如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。
当b?2时，两个闭环特征根为?1,2??3?j4.24。
此时闭环传递函数为
(s)?20 (s?3?j4.24)(s?3?j4.24)
（2）做等效开环传递函数G(s)=?30b s(s?40)
① 实轴上的根轨迹：??40,?0?
② 分离点：
解得：d??20
根轨迹如图解4-14(b)所示，
11??0 dd?40当b?2时，两个闭环特征根为?1??38.44，?2??1.56
此时闭环传递函数为
?(s)?30(s?2) (s?1.56)(s?38.44)
11 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。 解：G(s)?100 Ts3?s2?20s
作等效开环传递函数
G(s)?*(s2?20s?100)
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(??,?10],??10,0?
② 分离点： 32? dd?10
根据幅值条件，对应的T?0.015。
③ 虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?Ts3?s2?20s?100?0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
(j?))?100???0 ?3??Im(D(j?))?20??T??0
④ 起始角：?p1?60?
参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。
从根轨迹图可以看出，当0?T?0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；0.015?T?0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T?0.2时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。
4-16 实系数特征方程
A(s)?s3?5s2?(6?a)s?a?0
要使其根全为实数，试确定参数a的范围。
解 作等效开环传递函数
G(s)?a(s?1)a(s?1)? 32s?5s?6ss(s?2)(s?3)
?当a?0时，需绘制180根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： ??3,?2?，??1,0?
?2?3?1?????2??a3?1② 渐近线：
(2k?1)???????a?3?12?
③ 分离点：
1111??? dd?2d?3d?1
分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得：
K?d?dd?2d?3
d?1?0.4147
根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由
根轨迹图解4-16(a)可以看出，当0?a?0.4147时，多项式的根全为实数。
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自动控制原理MATLAB仿真实验二(控制系统的根轨迹分析)
MATLAB及仿真实验（控制系统的根轨迹分析）
1．利用计算机完成控制系统的根轨迹作图
2．了解控制系统根轨迹图的一般规律
3．利用根轨迹图进行系统分析
1． G (s )=k g
s s +1s +2要求：
（一）记录根轨迹的起点、终点与根轨迹的条数；
n0=[0 0 0 1];
den=conv(conv([1 0],[1 1]),[1 2]);
rlocus(n0,den);%绘制系统根轨迹
v=[-8 2 -4 4];
运行结果：
起点为（0,0），（-1,0），（-2,0），终点为无穷远；
根轨迹条数为三条
（二）确定临界稳定时的根轨迹增益k gL
p=[0 -1 -2];
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