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跨音速翼型气动优化设计方法
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跨音速翼型气动优化设计方法
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　跨音速翼型气动优化设计方法的核心是解翼型跨音速流场方法的精度和效率以及数值优化
算法的鲁棒性和有效性。在本文介绍的气动优化设计方法中，采用了欧拉方程的数值解法［1］
提供翼型的流场解，与传统上采用的全速势方程的数值解法相比，它能较好地模拟流场中的激
波以及相关的流动特点，从而可提高流场解的精度。对于带约束优化中的直接法，本文采用的
是Rosenbrock-Powell方法［2］；而间接法采用的罚函数法［3，4］。分别把上述数值优化算法与
翼型的流场解法耦合则构成气动优化设计方法与计算程序。
1　翼型气动优化设计步骤T是独立的设计变量，n是设计变量的个数。Z∈Rn，Rn表示n维实欧氏空间。设计约束条件为gi(Z)≥0，i=1，2，…，m。m表示约束条件的个数。翼型气动优化设计问题，数学上可表达如下
　　满足条件
　　假设翼型气动优化设计的目标函数是f(Z)，其中Z=［z1　z2　…　zn］
其中：D表示由m个约束条件所规定的可行域。
　　由于采用的流场解是欧拉方程的数值解，未计及粘性效应，翼型气动优化设计的目标函数选择了翼型的激波阻力系数CDw或CDw与升力系数CL之比。
　　在来流马赫数Ma和翼型迎角α保持一定的情况下，凡能影响翼型的CDw或CDw/CL大小的参数都可被选为优化设计中的设计变量Z。本文取描述翼型外形的翼面坐标作为优化设计中的设计变量。改变翼面坐标有多种方法，如可采用解析形状函数法［5，6］和多项式拟合函数法［7］。
　　优化设计开始时翼型的翼面坐标如用b()表示，表示弦向的相对坐标,=x/c，表示翼面到弦线的垂直距离(相对值),=y/c。在解析形状函数法中，为了改变翼型的外形，在选择好的处分别叠加上一组光滑的解析形状函数Fi()，即
图1　解析形状函数
图1给出了Fi()的图形，ai表示待定的系数，即设计变量。
　　在多项式拟合函数法中翼型的翼面坐标可用一个多项式函数来表示，如
式中：a1～a5为5个待定的系数，其中任意4个可被选为设计变量，另1个系数由满足式(3)来确定，以保证后缘封闭。
　　优化过程中需要某些约束条件，以保证优化计算结果具有实用价值。如从减小激波阻力系数CDw来看，翼型相对厚度应越小越好，翼型升力系数CL应越大越好，显然这样的优化结果没有实用意义。所以，附加一些几何约束条件和气动性能约束条件是完全必要的。
　　算例1　要求在Ma∞=0.72，α=2.44°时优化原始翼型NACA0012。选择目标函数为f=CDw，取设计变量数n=10，采用解析形状函数法，允许上、下翼面均变化。优化算法采用
表1　算例1计算结果(Ma∞=0.72，α=2.44°)
2　数值优化设计算例与讨论
相对变化量/%
间接法，约束条件为CL≥0.45， A≥A0, ΔCp≥0。 其中：A代表翼型的横截面积； A0代表原始翼型的A； ΔCp=Cpl-Cpu代表沿弦向各点处上、下翼面压力系数的增量。计算结果表明，优化过程中要求ΔCp≥0将保证沿翼面的Cp分布光滑，乃至翼面光滑。计算结果见表1。
图2　翼型外形的比较(Ma∞=0.72，α=2.44°)
　　由表1可见，优化解与原始翼型在几乎相同的CL下，CDw下降59%，升阻比CL/CDw上升143%，达到104.756, 效果是相当明显的。图2给出了翼型外形的比较，图3给出了相应的表面压强分布的比较，图4给出了NACA0012翼型和优化解翼型的CDw～Ma∞(包括非设计点下的数据)的变化曲线。优化解获得的增益都是由上翼面局部激波的减弱带来的效果［8］。
图3　翼面压强系数Cp分布的比较
图4　CDw-Ma∞变化的比较
　　算例2　要求在Ma∞=0.75，α=2.57°时优化原始翼型NACA0012。选择目标函数为f1=1/CL， f2=CDw/CL， 设计变量数n=5。采用解析形状函数法，允许改变翼型的弯度分布，但要求厚度分布不变。优化算法采用直接法，约束条件为CL≥0.8，A=A0，ΔCp≥0。计算结果见表2。计算中先选择f1=1/CL作为目标函数，用改变弯度增加CL至满足约束条件，再以f2=CDw/CL为目标函数继续优化。表2所列为两步优化的最终结果。
表2　算例2计算结果(Ma∞=0.75，α=2.57°)
相对变化量/%
　　算例结果表明，可通过优化设计改变低速对称翼型NACA0012的弯度分布使之成为跨音速高升力翼型。在CL&0.8的情况下，CL/CDw可达38.138, 相对于原始翼型增大了71%。
　　算例3　要求在Ma∞=0.8， α=0°时优化NACA0012，选择目标函数为f=CDw，设计变量数n=4。采用多项式拟合函数法，允许上、下翼面都变化，但始终保持上下对称、即只改变厚度分布。优化算法采用直接法，约束条件为翼型最大相对厚度≥0.12。计算结果见表3。
表3　算例3计算结果(Ma∞=0.8，α=0.0°)
相对变化量/%
可见，CDw下降了约78%，效果显著。
　　直接法和间接法两种优化方法用于同一算例的计算表明［8］，直接法(Rosenbrock-Powell方法)的有效性高于间接法(Simples方法)， 但当设计变量个数较少时，或原始翼型与优化解翼型外形变化不大时，间接法的收敛速度也相当快，而且其鲁棒性比较好。
　　本文介绍了一种跨音速翼型气动优化设计方法，适用于不同的原始翼型。算例表明优化解翼型的跨音速气动特性都获得了很大改善。根据不同的优化设计要求，可选择不同的几何外形摄动变化方法和约束条件来进行优化计算，设计变量数也可以任意选择，因此本方法有较大的灵活性，很适合于翼型的改型设计及新翼型设计。
收到，收到修改稿
航空科学基金资助课题
3　结束语参　考　文　献
1　Sickonen T, Hoffren J. FINFLO: A finite volume based computer program for two-dimensional and axisymmetrical compressible flow. Report No. B-19, Finland Helsinki University of Technology, 1989
2　Heinrich G Jacob. Rechnergesttzte optimierung statischer and dgnamischer system\|beispiele mit FORTRAN-programmen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York, 1982
3　Himmelblau D M. Applied nonlinear programming. McGraw-Hill Book Company, 1972
4　Sliwa S W, Arbuckle P D. OPDOT:A computer program for the optimum prelimingary design of a transport airplane. NASA TM-
5　Taylor C, Gresho P, Sam R L, et al. Numerical methods in laminar and turbulent flow. Proceedings of the Six International Conference,1989
6　Hager J O, Eyi S, Lee K D. Multi-point design of transonic airfoils using optimization. AIAA paper 92-
7　Vinh H, van Dam C P, Dwyer H A. Shape optimization for aerodynamic efficiency and low observability. AIAA paper 93-
8　Zubair Islam. Improvement in the transonic/supersoinc aerodynamic characteristics, and radar cross section minimization of a given airfoil at various aerodynamic, RCS and geometric constraints through shape optimization:［学位论文］.北京:北京航空大学，1997
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