实验与探究
（1）在图1、图2、图3中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标，写出图1、图2、图3中的顶点C的坐标，它们分别是（5，2）、（e+c，d），（e+c-a，d）．
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1、图2、图3、图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C坐标为（m，n）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为m=c+e-a；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为n=d+f-b（不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有双曲线和三个点，H（2c，0）（其中c＞0）．问当c为何值时，该双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．
解：（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，
得出图1、图2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．
故***为：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，
分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．
在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵BB1∥CC1，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．
∴AE=DF=a-g，BE=CF=d-b．
设C（x，y）．
由e-x=a-g，得x=e+g-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+g-a，f+d-b）．
（此问解法多种，可参照评分）
（3）m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f．
（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）．
要使P1在双曲线上，
则有-14c2=-14，
∴c1=-1（根据其中c＞0，舍去），c2=1．此时P1（-2，7）．
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），
同理可得c=1，此时P2（3，2）不在双曲线上．
若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此时P3（1，-2）不在双曲线上．
综上所述，当c=1时，双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形．
符合条件的点有P1（-2，7）．
（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又∵BB1∥CC1，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a-g，BE=CF=d-b．设C（x，y）．由e-x=a-g，得x=e+g-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．继而推出点C的坐标．
（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C点的坐标为（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）．要使P1在双曲线上，则有-14c2=-14，求出c的实际取值以及P1的坐标，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），同理可得c=1，此时P2（3，2）；若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，-2c），同理可得c=1，此时P3（1，-2）；故综上所述可得解．当前位置：&>&&>&
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如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足&ECD=&ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
∴﹣8a=4，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；
（2）如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E&，
连接CE&，过E&作E&F&&CD，垂足为F&，
由（1）知，OC=4，
∵&ACO=&E&CF&，
∴tan&ACO=tan&E&CF&，
∴=，
设线段E&F&=h，则CF&=2h，
∴点E&（2h，h+4）
∵点E&在抛物线上，
∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=
∴E&（1，），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E（3，），
点E的坐标为（1，），（3，）
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P&，过点
P&作P&N&∥y轴，交BC于N&，过点P&作P&M&∥BC，
交y轴于M&，
∴四边形CM&P&N&是平行四边形，
∵四边形CM&P&N&是菱形，
∴P&M&=P&N&，
过点P&作P&Q&&y轴，垂足为Q&，
∵OC=OB，&BOC=90&，
∴&OCB=45&，
∴&P&M&C=45&，
设点P&（m，﹣&m2+m+4），
在Rt△P&M&Q&中，P&Q&=m，P&M&=m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∵P&N&∥y轴，
∴N&（m，﹣m+4），
∴P&N&=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，
∴m=﹣m2+2m，
∴m=0（舍）或m=4﹣2，
菱形CM&P&N&的边长为（4﹣2）=4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ&CM，&PCQ=&NCQ，
∵&OCB=45&，
∴&NCQ=45&，
∴&PCQ=45&，
∴&CPQ=&PCQ=45&，
∴PQ=CQ，
设点P（n，﹣&n2+n+4），
∴CQ=n，OQ=n+2，
∴n+4=﹣n2+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4﹣4．
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