实验与探究
(1)在图1、图2、图3中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标,写出图1、图2、图3中的顶点C的坐标,它们分别是(5,2)、(e+c,d),(e+c-a,d).
(2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);
归纳与发现
(3)通过对图1、图2、图3、图4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点C坐标为(m,n)(如图4)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为m=c+e-a;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为n=d+f-b(不必证明);
运用与推广
(4)在同一直角坐标系中有双曲线和三个点,H(2c,0)(其中c>0).问当c为何值时,该双曲线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.
解:(1)利用平行四边形的性质:对边平行且相等,
得出图1、图2,3中顶点C的坐标分别是:(5,2)、(e+c,d),(c+e-a,d).
故***为:(5,2)、(e+c,d),(c+e-a,d).
(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,
分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.
在平行四边形ABCD中,CD=BA,
又∵BB1∥CC1,
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度.
∴∠EBA=∠FCD.
又∵∠BEA=∠CFD=90°,
∴△BEA≌△CFD.
∴AE=DF=a-g,BE=CF=d-b.
设C(x,y).
由e-x=a-g,得x=e+g-a.
由y-f=d-b,得y=f+d-b.
∴C(e+g-a,f+d-b).
(此问解法多种,可参照评分)
(3)m=c+e-a,n=d+f-b或m+a=c+e,n+b=d+f.
(4)若GS为平行四边形的对角线,由(3)可得P1(-2c,7c).
要使P1在双曲线上,
则有-14c2=-14,
∴c1=-1(根据其中c>0,舍去),c2=1.此时P1(-2,7).
若SH为平行四边形的对角线,由(3)可得P2(3c,2c),
同理可得c=1,此时P2(3,2)不在双曲线上.
若GH为平行四边形的对角线,由(3)可得(c,-2c),
同理可得c=1,此时P3(1,-2)不在双曲线上.
综上所述,当c=1时,双曲线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形.
符合条件的点有P1(-2,7).
(1)根据平行四边形的性质:对边平行且相等,得出图2,3中顶点C的坐标分别是(e+c,d),(c+e-a,d);
(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.在平行四边形ABCD中,CD=BA,根据内角和定理,又∵BB1∥CC1,可推出∠EBA=∠FCD,△BEA≌△CFD.依题意得出AF=DF=a-g,BE=CF=d-b.设C(x,y).由e-x=a-g,得x=e+g-a.由y-f=d-b,得y=f+d-b.继而推出点C的坐标.
(3)在平行四边形ABCD中,CD=BA,同理证明△BEA≌△CFD(同(2)证明).然后推出AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.又已知C点的坐标为(m,n),e-m=a-c,故m=e+c-a.由n-f=d-b,得出n=f+d-b.
(4)若GS为平行四边形的对角线,由(3)可得P1(-2c,7c).要使P1在双曲线上,则有-14c2=-14,求出c的实际取值以及P1的坐标,若SH为平行四边形的对角线,由(3)可得P2(3c,2c),同理可得c=1,此时P2(3,2);若GH为平行四边形的对角线,由(3)可得(c,-2c),同理可得c=1,此时P3(1,-2);故综上所述可得解.当前位置:&>&&>&
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如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
25.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足&ECD=&ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.
(2)分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;
(3)分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算;
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如图1,
①点E在直线CD上方的抛物线上,记E&,
连接CE&,过E&作E&F&&CD,垂足为F&,
由(1)知,OC=4,
∵&ACO=&E&CF&,
∴tan&ACO=tan&E&CF&,
∴=,
设线段E&F&=h,则CF&=2h,
∴点E&(2h,h+4)
∵点E&在抛物线上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E&(1,),
②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,
同①的方法得,E(3,),
点E的坐标为(1,),(3,)
(3)①CM为菱形的边,如图2,
在第一象限内取点P&,过点
P&作P&N&∥y轴,交BC于N&,过点P&作P&M&∥BC,
交y轴于M&,
∴四边形CM&P&N&是平行四边形,
∵四边形CM&P&N&是菱形,
∴P&M&=P&N&,
过点P&作P&Q&&y轴,垂足为Q&,
∵OC=OB,&BOC=90&,
∴&OCB=45&,
∴&P&M&C=45&,
设点P&(m,﹣&m2+m+4),
在Rt△P&M&Q&中,P&Q&=m,P&M&=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,
∵P&N&∥y轴,
∴N&(m,﹣m+4),
∴P&N&=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM&P&N&的边长为(4﹣2)=4﹣4.
②CM为菱形的对角线,如图3,
在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,
交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,
∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,
∵四边形CPMN是菱形,
∴PQ&CM,&PCQ=&NCQ,
∵&OCB=45&,
∴&NCQ=45&,
∴&PCQ=45&,
∴&CPQ=&PCQ=45&,
∴PQ=CQ,
设点P(n,﹣&n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此种情况不存在.
∴菱形的边长为4﹣4.
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