如图1.已知抛物线y=ax2+bx+c.B(4.0)两点.与y轴交于点C(0.2).点P是抛物线上的一个动点.过点P作PQ⊥x轴.垂足为Q.交直线BC于点D．(1)求该抛物线的函数表达式,(2)若以P.D.O.C为顶点的四边形是平行四边形.求点Q的坐标,(3)如图2.当点P位于直线BC上方的抛物线上时.过点P作PE⊥BC于点E.设△PDE的面积为S.求当S取得最大值时点P的坐标.并 题目和参考***——精英家教网——
暑假天气热？在家里学北京名师课程，
& 题目详情
如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
考点：二次函数综合题
分析：（1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式；（2）可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出PD的长，由条件可得PD=OC=2，可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；（3）可设出P的坐标，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，则可表示出S，再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标．
解答：解：（1）∵二次函数与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），∴代入二次函数解析式可得a-b+c=016a+4b+c=0c=2，解得a=-12b=32c=2，∴二次函数表达式为y=-12x2+32x+2；（2）设直线BC解析式为y=kx+b，∵B（4，0），C（0，2），∴代入可得4k+b=0b=2，解得k=-12b=2，∴直线BC解析式为y=-12x+2，设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，-12m+2），又∵P点在抛物线上，∴P点坐标为（m，-12m2+32m+2），当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，即|-12m2+32m+2-（-12m+2）|=2，即|-12m2+2m|=2，当-12m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），当-12m2+2m=-2时，解得m=2±22，则Q坐标为（2+2，0）或（2-2，0），综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+22，0）或（2-22，0）；（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，-12n+2），P点坐标为（n，-12n2+32n+2），∴PD=-12n2+2n=12n（4-n），DQ=-12n+2，又∵OB=4，∴BQ=4-n，在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=25，∵OQ∥OC，∴BDBC=BQOB，即BD25=4-n4，解得BD=5(4-n)2，∵PE⊥BC，PQ⊥QB，∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，∴△PED∽△BQD，∴PEBQ=DEDQ=PDBD=12n(4-n)5(4-n)2=n5，即PE4-n=DE-12n+2=n5，解得PE=n(4-n)5，DE=12n（4-n），∴S=12PE•DE=12×n(4-n)5×n(4-n)2=520（-n2+4n）2，令t=-n2+4n=-（n-2）2+4，∵P在直线BC上方，∴0＜n＜4，∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，此时P点坐标为（2，3），∴当t=4时，Smax=520×42=455，综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=455．
点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质．在（1）中注意待定系数法应用的关键是点的坐标，在（2）中用Q的坐标表示出PD的长度，得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用Q点的坐标表示出PE、DE的长度是解题的关键．本题知识点多，计算量大，难度较大．
科目：初中数学
如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为-2和8．（1）求线段AB的长；（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A，B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．（3）在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，PN的长度等于PM的长度的2倍？求出此时点P所表示的数．
科目：初中数学
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（-1，2），（3，2），点B在x轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB=S△ABC时，求点P的坐标；（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．
科目：初中数学
“a的4倍与b的平方的差”用代数式表示为．
科目：初中数学
如图，已知?ABCD中，点E为BC延长线上的点，若S?ABCD=20cm2，S△CEF=9cm2，则S△ADF=．
科目：初中数学
如图所示的是一个棱长为3cm的正方体，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行到右侧面的B点，最少要花几秒钟？（精确到0.1s）
科目：初中数学
在下午的2点36分，时针与分针的夹角为度．
科目：初中数学
如图，在菱形ABCD中，AB=BD=2，点E，F分别在边CD，BC上，且BF=CE．连接BE，DF相交于点H，连接AH，BD相交于点G．若BF：FC=2：1，则AH=．
科目：初中数学
已知△ABC中，AB=9cm，AC=7cm，则第三条BC边上的中线AD的取值范围是．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对***更方便，扫描上方二维码立刻***！
请输入姓名
请输入手机号