http://dx.doi.org/10.-00021
DESENVOLVIMENTO
EM ENSINO DE F&ISICA
discuss&o sobre hidrodin&mica utilizando garrafas PET
A hydrodynamics
discussion using PET bottles
V.L.B. de J
M.A.V. Macedo Junior
Instituto Federal
de Educa&&o, Ci&ncia e Tecnologia do Rio de Janeiro, Nil&polis,
Rio de Janeiro, RJ, Brasil
Utilizando garrafas
PET & poss&vel investigar a hidrodin&mica de fluidos incompress&veis.
Compara&&es utilizando os resultados experimentais da cinem&tica
podem ser feitas. Esta proposta did&tica de baixo custo & aplicada
na parte experimental da disciplina Fluidos e Termodin&mica do curso de
Licenciatura em F&sica do IFRJ - Campus Nil&polis.
Palavras-chave:
ensino de f&sica, laborat&rio did&tico, hidrodin&mica.
It is possible
to investigate the hydrodynamics for incompressible fluids using PET bottles.
Comparisons with experimental results of the kinematics can be done. This didactic
proposal of low cost is applied at the experimental lectures of Fluids and Thermodynamics
of the IFRJ Undergraduate Physics Course - Campus Nil&polis.
physics teaching, didactic laboratory, hydrodynamics.
1. Introdu&&o
Experimentos de
simples montagem e baixo custo que abordem resultados de hidrodin&mica
baseados na equa&&o de Bernoulli seriam uma excelente op&&o
para contribuir na melhora da forma&&o do licenciando em f&sica,
no caso do ensino superior, e um incentivo & pr&tica experimental,
no caso do ensino m&dio. O objetivo deste trabalho & mostrar que
a hidrodin&mica pode ser investigada e tamb&m validada, avaliando
as incertezas do experimento, a partir dos resultados obtidos pela equa&&o
de Bernoulli & luz do princ&pio geral da conserva&&o
da energia. Medi&&es diretas da velocidade do fluxo de &gua
atrav&s de um pequeno orif&cio na parte inferior de uma garrafa
PET de 2 L podem ser feitas e comparadas ao resultado esperado da equa&&o
de Bernoulli. Detalhes desta e de outras experi&ncias s&o descritas
na se&&o 2.
A proposta experimental
descrita neste artigo permite a utiliza&&o de materiais acess&veis
no nosso dia-a-dia, sem grande custo para a institui&&o de ensino.
A discuss&o dos resultados mostra um leque de oportunidades para se abordar
o tema, desde a descri&&o qualitativa do experimento a uma abordagem
mais precisa, baseada na medi&&o e compara&&o dos
resultados obtidos por diferentes m&todos. A hidrodin&mica &
abordada atualmente em muitas escolas do ensino m&dio com muita rapidez,
e em alguns casos negligenciada. O artigo tem tamb&m como objetivo incentivar
o ensino do tema n&o s& do ponto de vista te&rico, mas,
principalmente, da abordagem experimental simples, baseada na observa&&o
cuidadosa e m&todos de medi&&o engenhosos que podem despertar
a curiosidade cient&fica em muitos estudantes.
2. Proposta
experimental e discuss&o dos resultados
A proposta experimental
deste trabalho tem como objetivo discutir e entender a equa&&o
de Bernoulli a partir de duas atividades pr&ticas: atividade 1 que consiste
na medi&&o direta da velocidade de sa&da de um jato d'&gua
em um orif&cio situado na parte inferior de uma garrafa PET de 2 L, utilizando
o conhecimento b&sico da cinem&tica do lan&amento horizontal
e sua compara&&o com o resultado esperado pela equa&&o
de Bernoulli. A atividade 2 discute a din&mica de vaz&o no caso
em que s&o feitos dois orif&cios alinhados horizontalmente na
parte inferior de uma garrafa PET, e no caso em que os orif&cios s&o
alinhados verticalmente. Os orif&cios nas garrafas foram feitos cuidadosamente
com um prego quente de di&metro (2,45 + 0,05) mm.
2.1. Atividade
Um exemplo simples
e did&tico de hidrodin&mica pode ser dado utilizando uma garrafa
PET de 2 L, quando nela & feito um orif&cio de aproximadamente
(2,50 + 0,05) mm de di&metro, , na sua parte inferior. Quando a
garrafa est& cheia e n&o rosqueada, pode-se observar a vaz&o
cont&nua de &gua, como mostra a .
est&o indicadas as alturas H e h , que correspondem,
respectivamente, &s alturas do orif&cio da garrafa (ponto 2) em
rela&&o & bancada e da linha d'&gua (ponto 1) at&
o orif&cio. O alcance mostra o ponto escolhido para se realizar todas
as medidas. Como isto pode ser feito? Rosqueando-se a tampa no momento em que
o jato de &gua tiver o alcance desejado, previamente marcado com uma
barra met&lica (ou uma linha) colocada perpendicularmente & dire&&o
do jato de &gua. A tampa & rosqueada quando a linha d'&gua
atinge a altura h , mantendo-se constante e, assim, podemos realizar
sua medida com tranquilidade e precis&o.
Aqui, antes de prosseguir com o experimento, uma abordagem sobre a raz&o
de o fluxo de &gua ser interrompido & interessante. Deve-se lembrar
ao estudante que a press&o externa & garrafa corresponde ao valor
da press&o atmosf&rica (patm), e a press&o interna
do bols&o de ar (pbols&o de ar) confinado entre a linha
d'&gua e a tampa da garrafa & menor que a press&o atmosf&rica,
e sua diferen&a & dada pela press&o da coluna de &gua.
Aqui vale a pena pedir aos estudantes que calculem o valor desta press&o
em termos de porcentagem da press&o atmosf&rica local. Esta pode
ser obtida simplesmente pela raz&o entre a altura da coluna de &gua
e o valor da coluna de &gua equivalente a press&o atmosf&rica
(patm = 10,4 mHO). Esta raz&o, no caso mostrado na , & de (0,128 m/10,4 m) 100 que corresponde a 1,23 % da press&o
atmosf&rica. Aqui cabe uma observa&&o sobre o limite do
di&metro do orif&cio, no caso de um &nico orif&cio.
Se o di&metro do orif&cio for muito grande teremos vazamento do
l&quido. A tens&o superficial & a respons&vel por
n&o deixar o l&quido vazar.
As medidas de A,
H e h, com suas respectivas incertezas, podem ser encontradas
Valores das medidas
de , e , e de suas respectivas incertezas.
A Eq. (1) &
conhecida como equa&&o de Bernoulli para fluidos incompress&veis,
uma das bases para introdu&&o & hidrodin&mica
Na Eq. (1) representa
a massa espec&fica do l&quido (no caso &gua), , , representam,
respectivamente, a velocidade da &gua, a press&o e a posi&&o
do ponto 1(2). A partir do valor de pode-se calcular a velocidade de sa&da
do jato de &gua utilizando a Eq. (2) deduzida a partir da equa&&o
de Bernoulli (1)
O valor obtido
no caso acima foi de (1,58 0,01) m/s.
A avalia&&o da incerteza foi feita com base na Eq. (3).
Num segundo momento,
utilizando as medidas de H e A , pode-se obter a velocidade de
sa&da do jato de &gua fazendo uso dos conhecimentos de cinem&tica
do lan&amento horizontal
O valor obtido
neste caso foi de (1,41 0,02) m/s. A avalia&&o da incerteza foi
feita com base na Eq. (5)5
& poss&vel comparar os resultados obtidos pelos dois m&todos
e perceber, levando em conta as incertezas dos resultados, que a velocidade
medida via lan&amento horizontal (esquerda) & menor que aquela
prevista pela equa&&o de Bernoulli (direita).
o problema? A discuss&o aqui pode levar o professor de f&sica
a discutir a equa&&o de Bernoulli, que & baseada na conserva&&o
da energia mec&nica, como um caso particular do principio geral da conserva&&o
de energia. Nas proximidades do orif&cio, um grande n&mero de
mol&culas de &gua tenta sair ao mesmo tempo, onde acabam colidindo
umas com as outras, e tamb&m com o orif&cio, ocasionando a perda
de parte da energia [1].
Levando-se em considera&&o
a perda de energia, a equa&&o da velocidade de Bernoulli (2) pode
ser reescrita como
conhecido como coeficiente de velocidade dado pela raz&o da velocidade
m&dia real (velocidade obtida via lan&amento horizontal) pela
velocidade m&dia ideal (velocidade obtida via equa&&o de
Bernoulli) que ocorreria se n&o houvesse perda de energia por atrito
[1]
A avalia&&o
da incerteza foi feita com base na Eq.&(8)
A Eq. (6) passa
a representar a velocidade real de sa&da do jato d'&gua pelo orif&cio.
Assim, a equa&&o de Bernoulli (1) pode ser reescrita como
onde o termo
representa a perda de carga em orif&cios, tubos, bocais e medidores Venturi
[2].
Com o valor da
velocidade de sa&da do jato obtido diretamente pela cinem&tica
pode-se pedir uma estimativa da vaz&o. Uma vez com o valor da vaz&o
em m&os, uma pergunta pode ser feita aos estudantes: este & um
valor fixo ou vari&vel? Aqui caber& a discuss&o do volume
total de &gua, que & muito pequeno e, certamente, seria constante
se fosse feito o mesmo experimento com uma caixa d'&gua cil&ndrica
de di&metro muito maior que aquele da garrafa PET em quest&o. A
medida poderia ser feita tamb&m com tranquilidade e precis&o,
mas o experimento seria um pouco mais complicado de ser feito. Aqui, o fato
de podermos parar o fluxo de &gua quando a tampa da garrafa &
rosqueada, em certo instante de tempo escolhido, permite fazer o experimento
similar, sem as dificuldades experimentais impostas pela proposta da utiliza&&o
da caixa d'&gua.
Para responder
a pergunta proposta aos estudantes sobre o valor fixo ou vari&vel da
vaz&o, um gr&fico de em fun&&o t de pode
ser feito, utilizando para isso um cron&metro e uma r&gua. A
mostra os valores obtidos para as medidas de h e de t.
A representa&&o
gr&fica de h em fun&&o de t pode ser vista
na . Os pontos experimentais s&o representados
por quadrados. Somente o lado do quadrado paralelo & altura (h)
possui a mesma ordem de grandeza da incerteza de medi&&o (δh).
que representa a varia&&o de h em fun&&o
de t pode ser encontrada da seguinte maneira: considere a vaz&o
decrescente Q= Aodth/dt= -aov2, sendo A?=πD2/4
a &rea da se&&o reta da garrafa PET,ao=πd2/4
a &rea do orif&cio e a velocidade de sa&da do jato no ponto
2. Sabendo que
(Eq. (6)) podemos
escrever a integral
& dada por
Na equa&&o
acima ho ,d e D representam, respectivamente,
a altura inicial da coluna d'&gua (quando t = 0), o di&metro
do orif&cio e o di&metro da se&&o reta da garrafa.
A Eq. (10) pode ser vista como uma equa&&o polinomial de grau
2:h(t)= ho -At + Bt2. A compara&&o
entre as duas equa&&es resulta para ho ,A e
B, e suas respectivas incertezas δ
ho, δ
A e δ
B, os valores mostrados na .
Podemos estimar
o valor do di&metro do orif&cio, d, atrav&s da raz&o
entre B e A
Isolando d
na equa&&o acima, temos
O valor de D
foi obtido atrav&s da medida do per&metro (C) da se&&o
reta da garrafa, que neste caso, foi de (31,1 + 0,1) cm. Esta
medida pode ser feita passando-se um peda&o de barbante fino, ou linha,
ao redor da garrafa, e depois, comparando-o com a escala de uma r&gua
graduada em cent&metros. Assim, a equa&&o acima se torna
Substituindo as
vari&veis acima por seus respectivos valores, o valor de d encontrado
& de: (2,09 + 0,03) mm. A avalia&&o da incerteza
foi feita com base nas Eqs. (14) e (15)
Podemos observar
que o valor do di&metro obtido a partir do ajuste polinomial (2,09 +
0,03 mm) & menor que aquele medido diretamente, (2,50 +
A menor medida
da &rea da se&&o reta de um jato, geralmente localizada
pr&xima do orif&cio, & conhecida como veia contra&da
[3]. Pela introdu&&o do coeficiente cv na Eq.
(13), o di&metro d torna-se o di&metro real do jato d'&gua,
ou mais precisamente, o di&metro da veia contra&da (dc).
A raz&o entre a &rea da veia contra&da Ac
e a &rea do orif&cio (Ac) , ou entre o quadrado
de seus di&metros dc e (A), d& origem
a um coeficiente conhecido como coeficiente de contra&&o
(Cc) [3]
Este coeficiente
depende da forma e tamanho do orif&cio (veja o orif&cio ampliado
10 e 60 vezes na ), bem como da altura
entre a superf&cie livre da &gua e o orif&cio. O valor
do coeficiente de contra&&o varia entre 0,60 e 1, sendo 1, representativo
de um orif&cio perfeitamente circular. Para as nossas medidas, o valor
encontrado para o coeficiente de contra&&o & de (0,699
+ 0,021). A avalia&&o da incerteza foi feita com
base na Eq. (17)
Uma observa&&o
interessante pode ser feita quando se enche uma garrafa com orif&cio
e outra intacta. Se no momento em que ambas estiverem cheias, forem simultaneamente
colocadas de ponta cabe&a e esvaziadas na vertical, ser& observada
naquela sem orif&cio a forma&&o de bolhas que seguem para
a parte superior onde se encontra um bols&o de ar, alternando com pequenos
volumes de &gua que saem da garrafa. J& na garrafa com um orif&cio
no fundo, a &gua fluir& para baixo continuamente sem forma&&o
de bolhas. Neste momento seria interessante questionar os alunos sobre a raz&o
dos diferentes comportamentos. Uma explica&&o qualitativa baseada
na diferen&a de press&o interna e externa no primeiro caso e exatamente
o oposto no segundo ser& algo motivador para a discuss&o da press&o
atmosf&rica e sua influ&ncia no dia-a-dia. Aqui a liga&&o
deste experimento com o motivo de se fazer dois orif&cios opostos na
lata de azeite e duas pequenas aberturas em caixas de leite, ser& muito
interessante para o estudante. Aqui pode ser mostrada a conex&o da hidrodin&mica
com o seu dia-a-dia.
2.2. Atividade
Nesta atividade
discutimos a vaz&o caso em que s&o feitos dois orif&cios
alinhados horizontalmente na parte inferior de uma garrafa PET de 2 L, como
mostra a , e no caso em que os dois
orif&cios est&o alinhados verticalmente, como mostra a .
& mostrada uma garrafa PET de 2&L que possui dois orif&cios
alinhados horizontalmente. Quando se tem a garrafa cheia com &gua e a
tampa n&o est& rosqueada, observa-se que a &gua sai pelos
dois orif&cios continuamente e com alcances similares (
- foto & esquerda). Esta observa&&o remete ao fato de as
dist&ncias da linha d'&gua at& os orif&cios serem
id&nticas. Quando a tampa & fechada, observa-se que o fluxo de
&gua em ambos os orif&cios & interrompido (
- foto & direita). Aqui cabe mais uma vez questionar tal fato. A explica&&o
ser& a mesma dada na se&&o 2.1 para um &nico orif&cio,
j& que ambos os orif&cios est&o a uma mesma altura, h,
da linha d'&gua.
& mostrada uma garrafa PET de 2 L que possui dois orif&cios
alinhados verticalmente. Quando a garrafa est& cheia de &gua e
a tampa n&o est& rosqueada, observa-se que a &gua sai pelos
dois orif&cios com alcances distintos ( - foto & esquerda) que pode ser remetido ao fato de cada orif&cio
estar a uma dist&ncia diferente da linha d'&gua. Para uma discuss&o
detalhada sobre os diferentes alcances ver Ref. [4]. Quando a tampa
& fechada, observa-se que o fluxo de &gua em ambos os orif&cios
n&o & interrompido ( - foto
& direita). Aqui cabe mais uma vez questionar tal fato. O fen&meno
observado pode ser explicado da seguinte maneira: tomemos uma garrafa PET de
2 L com dois orif&cios alinhados verticalmente. Tampemos inicialmente
com uma fita adesiva, ou mesmo com o dedo, o orif&cio superior da garrafa.
Quando a garrafa est& cheia e fechada, observa-se que n&o h&
sa&da de &gua pelo orif&cio inferior, como explicado na
se&&o 2.1. Os orif&cios verticais s&o separados
por uma dist&ncia Z (). Antes
de retirarmos a fita adesiva do orif&cio superior da garrafa, devemos
determinar a press&o inicial (po) para este ponto e para o bols&o
de ar confinado entre a linha d'&gua e a tampa da garrafa. A press&o
da &gua na altura do orif&cio superior (ainda fechado) &
dada pela Eq. (18) e a press&o inicial do bols&o de ar pela Eq.
(19), onde z representa a dist&ncia do orif&cio superior
at& a superf&cie da linha d'&gua
Uma vez retirada
a fita adesiva, a press&o externa para esse orif&cio tamb&m
ser& a press&o atmosf&rica (patm). O valor da
press&o encontrado pela Eq. (18) & menor que a patm
e, por este motivo, as bolhas de ar entram pelo orif&cio e dirigem-se
at& a superf&cie da linha d'&gua, como mostra a
(foto & direita). A diferen&a entre as press&es externa
e interna no orif&cio superior & dada por pgZ. Como o acr&scimo
de press&o & aplicado em todos os pontos do fluido (princ&pio
de Pascal), a press&o na linha d'&gua passa a ser
come&a fluir pelo orif&cio inferior. Utilizando a equa&&o
de Bernoulli (1) para os pontos 1, localizado na linha d'&gua, e 2, localizado
no orif&cio inferior, pode-se mostrar que a velocidade m&xima
de sa&da do jato de &gua depende somente da dist&ncia Z
entre os dois orif&cios
Observa-se assim
uma pequena oscila&&o do alcance. Isso se deve ao fato de o n&vel
de &gua descer e a press&o interna ao n&vel do orif&cio
superior tornar-se novamente menor que a press&o atmosf&rica externa.
Neste instante, as press&es interna e externa do orif&cio inferior
voltam a se igualar, e o fluxo de &gua & interrompido. Apesar
disso, temos a impress&o de sa&da cont&nua de &gua,
e n&o se observa uma interrup&&o do fluxo! Onde est&
o problema? Na verdade n&o existe problema. O fluxo de &gua &
realmente interrompido no orif&cio. A quest&o & que no
momento da interrup&&o do fluxo de &gua, j& existia
determinada quantidade de &gua, expelida da garrafa, na forma de jato.
A parte inicial desse jato d'&gua atinge seu alcance m&ximo, que
por sinal, & id&ntico ao seu alcance no momento em que o fluxo
& interrompido. Com o passar do tempo, o alcance do jato vai diminuindo,
por n&o haver realimenta&&o do fluxo de &gua, at&
o momento em que definimos um alcance m&nimo, que ocorre quando todas
as partes do fluido sofrem novamente acr&scimo de press&o pela
diferen&a entre as press&es interna e externa no orif&cio
superior. Assim, como a press&o interna no orif&cio inferior torna-se
novamente maior que a press&o externa atmosf&rica, o fluxo de
&gua & normalizado, voltando a ter o alcance inicial. Todo esse
processo & um ciclo que se repete somente enquanto o n&vel de
&gua estiver acima do orif&cio superior. Quando o n&vel
de &gua e o orif&cio superior estiverem & mesma altura,
a velocidade de sa&da do jato de &gua passa a ser descrita como
o problema da se&&o 2.1. Algo similar acontece com o experimento
conhecido como "Garrafa de Mariotte" [5] onde, ao inv&s de utilizarmos
dois orif&cios na vertical, utiliza-se um canudo fixo introduzido na
tampa da garrafa, ligando-se um determinado n&vel do fluido &
parte externa da garrafa. O canudo & imerso no fluido at& obter-se
uma dist&ncia Z do orif&cio inferior. Neste caso n&o
h& oscila&&o do alcance do jato de &gua j&
que a press&o em Z ser& sempre a press&o atmosf&rica
gra&as ao canudo.
3. Conclus&es
A proposta experimental
sugerida neste artigo permite mostrar a diversidade de t&picos que podem
ser abordados sobre hidrodin&mica, desde uma descri&&o mais
qualitativa do experimento, encontrada na se&&o 2.2, at&
uma descri&&o mais precisa, baseada na medi&&o cuidadosa
e compara&&o dos resultados obtidos por diferentes m&todos,
encontrada na se&&o 2.1. &E poss&vel obter dados
experimentais de qualidade utilizando experimentos de baixo custo.
Os autores acreditam
que uma abordagem mais profunda do tema em cursos de licenciatura em f&sica
pode contribuir para melhorar a forma&&o dos futuros professores,
no caso do ensino superior, e um incentivo & pr&tica experimental
no caso do ensino m&dio. O artigo tamb&m d& a oportunidade
dos estudantes vivenciarem as dificuldades e min&cias inerentes &
investiga&&o cient&fica, objetivando a busca por resultados
confi&veis.
Agradecimentos
O autor V.L.B.
de Jesus & Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Inicia&&o
& Doc&ncia - PIBID, da CAPES - Brasil. O autor M.A.V. Macedo Junior
agradece ao IFRJ pelo suporte financeiro (bolsa de monitoria no laborat&rio
de f&sica do IFRJ). Os autores gostariam de agradecer ao apoio do projeto
FINEP - Ci&ncias para Todos (2006), cujos recursos ajudaram a divulgar
a ci&ncia em nossa Institui&&o.
Refer&ncias
[1] R.V.
Giles, Mec&nica dos Fluidos e Hidr&ulica (McGraw-Hill, S&o
Paulo, 1972), 401 p.
&&&&&&&&[  ]
[2] H.M.
Nussenzveig, Curso de F&sica B&sica (Edgard Blucher, S&o
Paulo, 2002), 4? ed. rev., v. 2.
&&&&&&&&[  ]
[3] I.H.
Shames, Mechanics of Fluids (McGraw-Hill, New York, 1962).
&&&&&&&&[  ]
[4] J.B.G.
Canalle, Caderno Catarinense de Ensino de F&sica 16, 101 (1999).
&&&&&&&&[  ]
[5] J.A.
Maroto and J. Dios, American Association of Physics Teachers 70, 698
&&&&&&&&[  ]
Recebido em 12/2/2010;
Aceito em 28/8/2010; Publicado em 28/3/2011
A tampa n&o deve ser retirada
da parte superior da garrafa. Ela deve permanecer encaixada, por&m totalmente
aberta, at& o momento em que se queira interromper o fluxo de &gua
para um determinado valor do alcance.
Uma mol&cula no interior de
um l&quido est& solicitada por for&as que a atraem em todas
as dire&&es, e o vetor resultante destas for&as &
nulo. Mas uma mol&cula & superf&cie de um l&quido
& solicitada para o interior do l&quido, por uma for&a
resultante de coes&o que & perpendicular & superf&cie
do mesmo. Por isso & necess&rio certo trabalho para deslocar as
mol&culas superficiais contra esta for&a oposta [1].
A massa espec&fica de um l&quido
varia geralmente muito pouco quando submetido a press&es consider&veis.
A massa espec&fica da &gua, por exemplo, s& aumenta de
~ 0,5% quando a press&o varia de 1 atm a 100 atm, & temperatura
ambiente. Para esses fluidos, onde a massa espec&fica & constante,
d&-se o nome de fluidos incompress&veis [2].
O valor da acelera&&o
da gravidade local ( ao n&vel da bancada & de (9,,0000002)
m/s2 medido pelo INMETRO.
A incerteza de foi desprezada nas
Eqs. (3) e (5) por ser muito pequena quando comparada &s incertezas de
h, e H, respectivamente.
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