（2)截面收缩率：试件拉断后，断口处的截面面积为A1。截面的缩小量与原截面积A之比的百分率，称为材料的截面收缩率，用符号ψ表示。 ??
A?A1?1000A
21. 试比较塑性材料与脆性材料力学性能有何不同？
答：塑性材料的抗拉和抗压强度都很高，拉杆在断裂前变形明显，有屈服、颈缩等报警现象，可及时采取措施加以预防。
脆性材料其特点是抗压强度很高，但抗拉强度很低，脆性材料破坏前毫无预兆，突然断裂，令人措手不及。
22.许用应力的涵义是什么？
答：任何一种构件材料都存在着一个能承受应力的固有极限，称极限应力，用ζ0表示。
为了保证构件能正常地工作，必须使构件工作时产生的实际应力不超过材料的极限应力。由于在实际设计计算时有许多不利因素无法预计，构件使用时又必须留有必要的安全度，因此规定将极限应力ζ0缩小n倍作为衡量材料承载能力的依据，称为许用应力，以符号[ζ]表示：
n为大于l的数，称为安全因数。
23.轴向拉伸（压缩）正应力计算公式是什么？并解释每个量的物理意义。
答：如用A表示杆件的横截面面积，轴力为FN，则杆件横截面上的正应力为 ??
正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
24.轴向拉伸（压缩）杆的最大应力出现在什么截面？
答：当杆件受几个轴向外力作用时，由截面法可求得最大轴力FNmax，对等直杆来讲，杆件的最大正应力算式为：
?max?FNmax
最大轴力所在的横截面称为危险截面，由式4-18算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。
25.简述轴向拉伸(压缩)的强度计算
答：对于轴向拉、压杆件，为了保证杆件安全正常地工作，就必须满足下述条件
上式就是拉、压杆件的强度条件。对于等截面直杆，还可以根据公式(4-18)改为
FNmax????A
26.轴向拉伸（压缩）杆的强度条件可以解决哪三类问题？
答：在不同的工程实际情况下，可根据上述强度条件对拉，压杆件进行以下三方面的计算：
（1）强度校核
如已知杆件截面尺寸、承受的荷载及材料的许用应力，就可以检验杆件是否安全，称为杆件的强度校核。
（2）选择截面尺寸
如已知杆件所承受的荷载和所选用的材料，要求按强度条件确定杆件横截面的面积或尺寸，则可将式(4-20)改为
（3）确定允许荷载
如已知杆件所用的材料和杆件横截面面积，要求按强度条件来确定此杆所能容许的最大轴力，并根据内力和荷载的关系，计算出杆件所允许承受的荷载。则可将公式(4-20)改为
27.平面弯曲的受力特征和变形特征是什么？
答：平面弯曲的受力特征
梁弯曲时，横截面上一般产生两种内力——剪力和弯矩。与剪力对应的应力为切应力，与弯矩对应的应力为正应力。梁的横截面由中性轴将其分为上下两部分，一部分受拉，另一部分受压。
平面弯曲的变形特征
梁的侧面画上与梁轴线平行的水平纵向线和与纵向线垂直的竖直线：
(1) 各竖直线段仍为直线，不过相互间转了一个角度；
(2) 各纵向水平直线变为曲线，但仍与竖直线垂直；
(3) 向下凸一边的纵向线伸长，且越靠近梁下边缘伸长越多；向里凹进的一边的纵向线缩短，且越靠近梁的上边缘的缩短越多。
28. 梁发生纯弯曲变形后，可看到哪些现象？根据上述试验现象，可作出哪些分析和假设
答：梁变形后，可看到下列现象：
(1) 各竖直线段仍为直线，不过相互间转了一个角度；
(2) 各纵向水平直线变为曲线，但仍与竖直线垂直；
(3) 向下凸一边的纵向线伸长，且越靠近梁下边缘伸长越多；向里凹进的一边的纵向线缩短，且越靠近梁的上边缘的缩短越多。
根据上述试验现象，可作出如下分析和假设：
(1) 平面假设：梁的横截面在变形后仍为一个平面，且与变形后的梁轴线垂直，只是转了一个角度；
(2) 单向受力假设：由于梁上部各层纵向纤维缩短，下部各层纵向纤维伸长，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。
29.在推导梁的正应力计算公式时，要从几个方面去考虑？ FNmax?A???
答：在推导梁的正应力计算公式时，要从几何变形方面；应力与应变的物理关系；静力条件三方面去考虑。
30. 简述梁弯曲时横截面上任意一点的正应力计算公式，并说明其含义。正应力公式的适用条件如何？何谓抗弯刚度？
答：（1）梁弯曲时横截面上任意一点的正应力计算公式：
此式表明：横截面上任意一点的正应力ζ与该截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离量y成正比，与横截面对中性轴的惯性矩Iz成反比。正应力沿截面高度成直线变化，离中性轴愈远正应力愈大，中性轴上的正应力等于零。梁的横截面由中性轴将其分为上下两部分，一部分受拉，另一部分受压。
（2）正应力公式的适用条件：
1）在公式推导过程中运用了虎克定律，因此只有在材料处于弹性范围时该式才适用。
2）在非纯弯曲情况下，即横截面同时存在弯矩和剪力时，由于剪力对正应力的影响很小，因此，对非纯弯曲的情况该式仍可适用。
3）公式虽按矩形截面梁推导出来，但对具有对称轴的其它截面，如T形、工字形、圆形等也都适用。
4）公式是在平面弯曲情况下推导出来的，但非平面弯曲的情况就不适用了。
（3）抗弯刚度：EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。
31.正应力强度条件可以计算哪三类问题？
答：梁的正应力强度计算公式即 ?max?
Mmax????Wz
式中[ζ]——弯曲时材料的许用正应力，可在有关规范中查到。
利用公式的强度条件，可进行以下三个方面的计算：
(1) 强度校核 Mmax????Wz
(2) 选择截面尺寸
(3) 计算允许荷载 Mmax?
Mmax?Wz???
32. 提高梁抗弯强度的途径有哪些？
答：提高梁抗弯强度的途径：
（1）选择合理的截面形状
1)根据抗弯截面模量与截面面积的比值A选择截面。工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理。
2)根据材料特性选择截面
对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如矩形、工字形、圆形等截面，使得上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值，比较合理。
对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，最好选择不对称于中性轴的截面，如T字形、槽形(平放)等截面。使得截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压的许用应力成正比。
（2）合理安排梁的受力状态，以降低弯矩最大值
1)合理布置梁的支座
以简支梁受均布荷载作用为例，若将两端支座各向中间移动0.2l则最大弯矩将减小为前者的1/5，梁的截面尺寸就可大大地减小。
2)适当增加梁的支座
由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，所以适当增加梁的支座，可以减小梁的跨度，从而降低最大弯矩值。
在可能的条件下，将集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩。
（3）采用变截面梁
为了充分利用材料，应当在弯矩较大处采用较大的截面，弯矩较小处采用较小的截面，使梁的各截面不相同。这种横截面沿着轴线变化的梁称为变截面梁。若使每一横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力[ζ]，这样的梁称为等强度梁。等强度梁的Wz和M成正比变化。
33. 简述梁的切应力强度计算公式。
答：梁的切应力强度条件为 ?max?
*FQmax?SzmaxIz?b????
[η]——许用切应力；
Szmax—一截面中性轴以上(或以下)的面积对中性轴的静矩。
34. 在梁的强度计算中，如何考虑正应力和切应力两个强度条件？
答：在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和切应力两个强度条件。但在一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此通常先按正应力强度条件选择梁的截面尺寸，然后根据需要作切应力强度条件校核。对于细长梁，按正应力强度条件设计，一般都能满足切应力强度条件要求，就不必再作切应力强度校核。但在以下几种情况下，需作切应力强度校核。
(1) 梁的跨度较小或在支座附近作用着较大荷载时，梁内可能出现弯矩较小而剪力很大的情况。
(2) 某些组合截面梁，当腹板宽度很小，横截面上的切应力数值很大时。
(3) 木梁。在横力弯曲时，横截面中性轴上切应力较大，根据切应力的特点，梁的中性层上也产生相同值的切应力。由于木梁在顺纹方向的抗剪能力较差，有可能使木梁发生顺纹方向的剪切破坏。
35. 组合变形的计算主要利用什么原理？
答：杆件组合变形时的强度计算方法是前面在求内力时曾经介绍过的叠加法。即先将荷载***成只产生基本变形时的荷载，并分别计算各基本变形所产生的应力，然后根据叠加原理将所求截面的应力相应地叠加，最后根据叠加结果建立强度条件。您所在位置： &
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第07章基本变形杆件的强度与刚度.ppt53页
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第7章 基本变形杆件的强度与刚度
（2）求许用荷载F 解：（1）由正应力强度条件确定截面高度
例7-6 工字形截面悬臂梁承受均布荷载如图所示。已知E 2.1×105MPa，许用正应力[σ]
170MPa，许用切应力[τ]＝100MPa，许用最大挠度与梁的跨度比值
，试由强度条件及刚度条件确定工字钢的型号。
工程中拉压杆件的联接部位，起联接作用的部件，称为联接件。
如果搭接接头每块板或对接接头的每块主板中的铆钉超过一个，这种接头就称为铆钉群接头。
如图所示一对接铆接头。每边有3个铆钉，受轴向拉力F 130 kN 作用。已知主板及盖板宽b 110 mm，主板厚δ＝10 mm，盖板厚δ1 7 mm，铆钉直径d 17 mm。材料的许用应力分别为[τ] 120 MPa，[σ] 160 MPa，[σbs] 300 MPa。试校核铆接头的强度。 解：由于主板所受外力F 通过铆钉群中心，故每个铆钉受力相等，均为F/3 。铆钉双剪。
B截面的下边缘各点处产生最大的压应力，上边缘各点处产生最大的拉应力。 ≤[σt] 30×106Pa F≤19.2kN ≤[σc] 90×106Pa F≤36.9kN 综上所得 [F] 19.2kN 7.4.2 梁的刚度计算 梁的刚度条件： wmax—梁的最大挠度 [w]—梁的许用挠度 [w/l]—梁的相对许用挠度 θmax——梁的最大转角
[θ]——梁的许用转角 解：（1）计算危险截面内力 该梁固定端截面内力最大，为危险截面，且 kN·m 40kN·m ≥
（2）由正应力强度条件设计截面 m3 235.3cm3 kN 40kN
查型钢表，选用20a工字钢，其Wz＝237 cm3，Iz＝2370 cm4。
（3）校核切应力强度
20a工字钢 Iz/Sz* 17.2cm，d 7mm，故 Pa
33.2MPa [τ] 100MPa
满足切应力强度要求。
（4）校核刚度
悬臂梁自由端挠度最大，为
满足刚度要求。 7.4.3 提高梁承载能力的措施 1、强度方面 （1）采用合理截面形状
原则：当面积
正在加载中，请稍后...第5章　杆件的应力与强度计算
5.1　内容与要求
5.1.1　本章的基本内容
杆件的应力与强度计算的基本内容包括：
应力的概念，材料的力学性能，轴向拉压杆的应力与强度计算，连接件的应力与剪切实用计算，圆轴扭转时的应力与强度计算，平面弯曲梁的应力与强度计算，组合变形构件的应力分析方法，解析法分析平面应力状态及强度理论的应用。
本章的重点是轴向拉压杆和平面弯曲梁的强度计算，难点是应力状态的分析。
5.1.2　学习本章的基本要求
1.&&&& 理解应力的概念，弄清四种基本变形构件横截面应力的作用形式、分布规律。
2.&&&& 了解塑性材料和脆性材料在轴向拉压时力学性能的测定和分析方法，掌握这两种不同性质材料的强度特性和破坏特征。
3.&&&& 弄清并掌握强度条件的物理意义及应用强度条件可以解决的强度计算问题。其中，重点掌握轴向拉压杆的强度计算和平面弯曲梁的正应力强度计算方法。
4.&&&& 对于杆件的几种常见截面形状，会确定他们的形心位置，会计算他们对形心主轴(特别是对中性轴)的面积矩和惯性矩。
5.&&&& 对于组合变形问题，掌握其内力和应力分析的基本方法。其中，对于弯压组合和偏心压缩问题，掌握其不出现拉应力的条件。
6.&&&& 了解单元体和应力状态的概念，了解如何用解析法分析平面应力状态。会确定平面弯曲梁的主应力方向及主平面位置，掌握对组合截面梁进行全面强度校核的方法。
5.2　学习与理解
5.2.1　应力与强度
5.2.1.1　应力的概念
应力是构件截面上分布内力在某点的集度，它只与截面上的内力和截面大小有关。在应力分析中，将作用于构件截面上应力用其法向分量和切向分量表示。法向应力分量称为正应力，记为s，且以拉为正压为负；切向应力分量称为剪应力，记为t，以绕截面内侧任意点顺时针转向时为正。
5.2.1.2　四种基本变形杆件横截面的应力分布图
应力分布图——反映杆件横截面上应力分布情况的图形。常见截面形状的拉压杆、扭转轴、平面弯曲梁横截面的应力分布图如图5-1所示。
5.2.1.3　极限应力、工作应力与最大工作应力、许用应力
极限应力是材料丧失承载能力前所能承受的最大应力，记为s°。塑性材料的极限应力是其屈服极限ss,这是因为当材料的应力超过此极限后，会因变形过大而导致构件不能继续使用(或已不能满足刚度要求)；脆性材料的极限应力就是他的强度极限sb，一但超过此应力，构件即产生破坏。
工作应力是构件在荷载作用下产生的实际应力。最大工作应力是指荷载作用下构件中应力危险点的实际应力。许用应力是为保障构件正常工作，构件内的最大应力的允许值。许用正应力记为[s],许用剪应力记为[t]。许用应力与材料性质、构件的使用条件等因素有关。实际选用时可参照相关的工程规范。
构件的最大工作应力、许用应力、极限应力之间的数值关系为
最大工作应力≤许用应力＜极限应力
图5-1　拉(压)、扭、弯的矩形、圆形截面杆件横截面应力分布图
5.2.2　杆件的强度条件及其应用
杆件的强度是指杆件对最大工作应力的承受能力，或者说它是杆件承受最大工作应力能力的量度。不同材质的杆件有不同的强度，强度高承载能力强，强度低则承载能力弱。例如塑性材料的抗拉强度大大高于脆性材料的抗拉强度，而脆性材料的抗压强度又远大于其抗拉强度。这就是为什么受拉杆件必须选用塑性材料，而受压构件宜选用脆性材料的主要原因。
5.2.2.1　杆件中危险点的应力与强度条件
危险点是杆件内应力值最大的点，危险点的应力是杆件中的最大工作应力，他是整个杆件中应力的最大值。最大工作应力计算公式的一般形式为
强度条件是为保证杆件正常工作或使用，对杆件最大工作应力的限制条件。强度条件的一般形式是
最大工作应力≤材料的许用应力
不同受力条件的杆件，其最大工作应力计算公式和强度条件的具体形式是不同的。四种基本变形杆件的危险点位置、最大应力计算公式及强度条件如表5-1所列。
表5-1　四种基本变形杆件的最大应力与强度条件
轴向拉压杆
连接件(剪切件)
平面弯曲梁
危险点位置
FNmax截面上各点
Tmax截面圆周上各点
剪切面上各点
挤压面上各点
Mmax截面上下边缘
FQmax截面中性轴上各点
截面的几何量
WT：抗扭截面系数
A：剪切面面积
Ac：计算挤压面面积
Wz：抗弯截面系数
k：截面形状系数。
A：截面面积
5.2.2.2　强度条件的应用
强度条件的应用，就是利用强度条件解决杆件强度计算中的问题。杆件的强度计算问题，总体上分为三个方面：
(1)　强度校核　已知荷载、截面形状和尺寸、材料性质，对杆件进行强度验算。
(2)　截面设计　已知荷载、截面形状、材料性质，确定截面的几何尺寸。
(3)　确定许可荷载　已知杆件截面形状和尺寸、材料性质，确定杆件能够承受的最大荷载。
【例5-1】　图5-2所示系由两根圆形截面杆件与墙壁用铰接方式组成的构架。已知杆AB为钢杆，其许用应力为[s]=160MPa，杆BC为木杆，许用应力为[s]=10MPa。试求：
(1)　若两杆的直径分别为AAB=10mm，AAC=100mm,则能够作用于结点A上荷载F的最大值为多少？
(2)　若作用于结点A上的荷载F=15kN,则杆AB、AC的最小直径分别为多少？
〖解〗　(1)　杆件的受力分析。
由于图5-2所示构架中的两根杆件均为二力杆，此二杆所受的力与作用在结点A上的荷载F构成一个平面汇交力系。在强度计算中，无论要解决哪一方面的问题，都必须建立杆件内力与荷载之间的关系。为此，通过截面m-m取包括结点A在内部分构架为研究对象，作其受力图及建立的坐标系如图5-2b所示。力系的平衡方程式为
由图中的几何关系有
代入平衡方程式中解得
(2)　由二杆的强度条件共同确定可作用于结点A上集中力F的最大值。
由杆AB的强度条件
代入(b)式得
再由AC杆的强度条件
代入(a)式得
作用于结点A的荷载必须同时使杆AB、AC都满足强度条件，因此，能够作用于结点A的集中力F的最大值不得大于20.93kN,取[F]=20kN作为能够作用于结点A的最大荷载值。
(3)　当F=15kN时，由强度条件为二杆选择截面的最小直径。
由AB杆的强度条件
取dAB=10mm(因没有9mm直径的圆钢)。
再由AC杆的强度条件
取dAC=50mm。
通过以上计算，确定AB、AC杆的最小直径分别为10mm、50mm。
【例5-2】　如图5-3所示钢板的对接构造，已知钢板和铆钉材料的许用应力均为[s]=160MPa，[sc]=240MPa，[t]=100MPa。若作用于钢板上的轴向拉力F=100kN，铆钉的直径d=20mm，试分别对铆钉和钢板进行强度校核。
〖解〗(1)　铆钉的剪切强度校核。
在图5-3所示的连接中，每块主板上有4个铆钉，且每个铆钉有两个剪切面，则每个铆钉所承受的剪应力为
因　t=39.81MPa＜[t]=100MPa，故满足剪切强度要求。
(2)　铆钉和钢板的挤压强度校核。
因铆钉和钢板的材料相同，计算挤压面积及挤压力也相同，故只要铆钉满足挤压强度条件，则钢板也满足挤压强度条件。每个铆钉所承受的挤压应力为
sc=208.33MPa＜[sc]=240MPa，所以铆钉和钢板均满足挤压强度要求。
(3)　钢板的抗拉强度校核
钢板中铆钉孔直径平面(1-1截面)上的拉应力为
因1-1截面上的拉应力s=208.33MPa＞[s]=160MPa,故钢板不满足强度要求。
【例5-3】　圆环形截面传动轴，已知其内径d=30mm，外径D=40mm，材料的许用剪应力为[t]=80MPa。在正常工作状态下，轴的转速n=380r/min，求该轴能够承受的最大输入功率。
〖解〗　依题意，要在已知材料和截面形状与尺寸的条件下求扭转轴的输入功率。这种问题的解决办法是：先由强度条件计算出该轴能够承受的最大扭矩，并由扭矩与外力偶矩的平衡关系算出作用于轴上的最大外力偶矩，再由外力偶矩与功率之间的关系计算出轴能够承受的最大输入功率。
(1)　由扭转强度条件计算转动轴能够承受的最大扭矩和外力偶矩。
按扭转强度条件
故能够作用于轴上的最大外力偶矩为
m=Tmax=343.44N.m
(2)　计算传动轴能够承受的最大输入功率。
取P　=13kW为该轴能够承受的最大输入功率。
【例5-4】　T形截面外伸梁如图5-4所示，其截面尺寸为h=180mm,　b=150mm,　t=40mm。试计算（1）梁的最大正应力和最大剪应力，（2）求k点的正应力和剪应力。
(1）计算梁的支座约束力，并作出其弯矩图和剪力图如图5-4b、d所示。由内力图显然可见，梁的最大弯矩和最大剪力都出现在B截面上，且Mzmax=MB=12kN×m（上拉），FQmax=　=8kN。
（2）计算截面的几何量
确定中性轴位置：
中性轴距下纤维的距离为y1=220-80=140mm，中性轴到k点的距离为yk=40mm。
计算截面对中性轴的惯性矩：
计算Szmax和Szk：
取中性轴以下部分面积(即A2)计算Szmax
取k点以上部分面积(即A1)计算SZk
（3）应力计算
最大正应力和k点的正应力：
最大剪应力和k点的剪应力：
【例5-5】　试为如图5-5所示矩形截面简支木梁选定截面尺寸。已知材料的许用应力分别为[s]=15.6MPa，[t]=1.7MPa，截面的高宽比为h:b=4:3。
〖解〗　(1)　确定梁的最大内力值
由梁上荷载的作用情况可知，其最大弯矩和最大剪力分别为
Mmax=49×0.2=9.8kN.m，　FQmax=49kN
(2)　由梁的正应力强度条件设计截面尺寸
由表(5-1)所示平面弯曲梁的正应力强度条件
因此可得　
取　b=130mm，h=180mm作为该矩形截面梁的截面尺寸。
(3)　按照剪应力强度条件进行强度校核
不满足剪应力强度要求，故必须再根据剪应力强度条件重新确定截面尺寸。
最后确定图示矩形截面木梁的横截面尺寸为b=180mm，h=240mm。
5.2.3　组合变形杆件的应力分析方法
前面讨论的是四种基本变形杆件的应力与强度计算问题，但工程实际问题中的杆件多数是同时发生两种以上基本变形，这种情况叫做组合变形。在材料服从胡克定律和杆件变形很小的情况下，各种基本变形在杆件内引起的应力和杆件的变形可以进行叠加，称为力作用的独立性原理或叠加原理。
分析和计算组合变形问题的方法是先分后合。分，就是将同时作用的几种载荷或杆件同时发生的几种变形，***成若干种基本载荷与基本变形，再分别计算杆件的应力。合，则是将各种基本变形引起的应力进行叠加。
对于工程中的常见情况，如斜弯曲、拉(压)与弯曲组合、偏心拉伸(压缩)以及弯扭组合等，在分与合的过程中发现了一些概念性的或规律性的东西，对这类问题必需概念清楚，应当适当记忆。
5.2.3.1　斜弯曲*
要理解斜弯曲，首先就要对梁在什么情况下发生平面弯曲这个问题搞清楚。平面弯曲的条件是：当梁有纵向对称平面时，所有外载荷(包括支座约束力)都作用在纵向对称平面内，若梁没有纵向对称平面，所有横向力必须作用在通过弯曲中心的主惯性平面内。关于弯曲中心的概念和开口薄壁截面弯曲中心的计算问题，本教材未进行讨论，若需要，可参阅其他专蓍。
平面弯曲时，梁的挠曲线是荷载作用平面内的一条曲线，故称为平面弯曲。斜弯曲时，粱的挠曲线不在荷载平面内，所以称为斜弯曲。在斜弯曲时，有几个角度间的关系要搞清楚，现以图5-6所示矩形截面为例来说明这种关系。外载荷平面与截面z轴间的夹角记为j，则截面上的正应力为
若以y0和z0表示中性轴h　点的坐标，则由中性轴上各点的应力应为零的这个条件，将y0和z0代入上式可得到中性轴的方程式
设中性轴与z轴的夹角为a，则有　
因为j＜p/2，ctanj为正，故tana为负，所以中性轴必在第2、4象限内，若Iz=Iy(圆形或正偶数多边形)则tana·tanj=-1，这时中性轴与外力平面垂直。对于矩形或其他Iz≠Iy，的截面则不垂直。还有一个角度b，他是挠曲线平面与铅垂平面的夹角，有如下关系
式中当Iz≠Iy，时，b≠j，这是斜弯曲情形；Iz=Iy时，b=j，这时不会产生斜弯曲。
5.2.3.2　拉(压)与弯曲的组合、偏心压缩
拉伸(或压缩)与弯曲的组合变形杆件和偏心压缩杆件，由于截面上有均匀分布的拉伸或压缩应力，当他与线性变化的弯曲应力叠加后，中性轴就不再通过形心了，于是截面上就有拉应力区和压应力区之别。
对于偏心拉压问题，有时要求截面上只有一种应力，例如建筑中的砖柱、石柱、混凝土柱，均要求截面上不出现拉应力。这时压力载荷的作用中心与截面形心不能差得太远，只能作用在一个很小的范围内，这个范围称为截面核心。例如矩形截面和圆形截面的截面核心，如图5-7所示。
5.2.4　平面应力状态的主应力与梁的强度校核
5.2.4.1　平面应力状态的主应力和最大剪应力
主应力是受力杆件内一点所有截平面上正应力中的最大(最小)值。某点主应力的大小、方向及所在平面的位置，与杆件的受力状态和该点在杆件中的相对位置有关。最大剪应力是引起杆件产生剪切破坏的主要原因。轴向拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁的主应力、最大剪应力及其作用平面的位置如表5-2所列。
5.2.4.2　材料的极限应力和强度理论
材料破坏有流动和断裂这两种类型，在常温和荷条件下，塑性材料发生流动破坏，脆性材料发生断裂破坏。在单向拉伸或压缩的情况下，材料破坏时的极限应力可以直接通过试验测定。对于塑性材料，其极限应力就是屈服极限，对于脆性材料则以强度极限作为极限应力。
在复杂应力状态下，由于各主应力有无穷多种的组合情况，所以不可能象单向应力状态那样直接通过试验建立强度条件，只能根据变形现象加以推理和判断，提出关于材料破坏的假说，这种假说就称为强度理论。常用的强度理论有四种，他们各自的内容见《教材》。强度条件写成统一形式是
表5-2　平面应力状态的主应力、最大剪应力及其作用平面位置
最大剪应力
主应力公式
主平面位置
最大剪应力公式
作用平面位置
轴向拉压杆
45°斜截面
平面弯曲梁
与主平面的夹角为45°
在通常情况下，第一、二强度理论的强度条件适用于脆性材料的受力杆件，第三、四强度理论的强度条件适合于塑性材料的受力杆件。但这不是绝对的，要根据具体情况分析。因此在复习这部分内容时，特别要弄清各种理论的论点、论据、以及能适用的情况。另外，要记住四种理论的相当应力的计算公式。
对复杂应力状态下的受力杆件进行强度校核时，除了进行危险截面(一般指具有最大内力的横截面)上危险点应力的校核外，还要根据强度理论的进行相当应力强度的强度校核。例如对T形、工字形等组合截面的梁，即使其最大正应力和最大剪应力都能满足强度要求，其翼缘与腹板的结合部位，由于正应力和剪应力的值都比较大，往往会出现较大的主应力，故必须对这种位置的点进行相当应力强度的强度校核。
5.3　习题选解
〖解题5-3〗
(1)　求出桥墩底部截面上的内力。
该桥墩底部受到自重W和外部轴向压力F的共同作用，已知轴向压力为F=1000kN，自重为
桥墩底部受到的轴向总压力(轴力)为
FN=(F+W)=(1+2.1)×103=3.1×103　kN
(2)　计算墩身底部横截面上的压应力。
由式(5-19)算得墩身底部横截面上的压应力为
〖解题5-8〗
这是一个连接件的强度计算问题，已知主板上受到的拉力、铆钉的直径和许用应力，应用强度条件求连接件上的铆钉总个数。
由题5-6图可知，每个铆钉有两个剪切面(即双剪)，则可由式(5-28)
计算每块主板上所需要的铆钉个数
因铆钉的个数不可能出现小数，故取n=5。故整个连接件上总共需要10个铆钉。
〖解题5-10〗
这实际上是一个由内力计算外力的问题。
(1)　先根据式(5-31)算出圆轴横截面上的扭矩，并由内外力关系求出外力偶矩：
由于该轴的扭矩在数值在等于外力偶矩，故外力偶矩。
(2)　由式(2-8)计算出该圆轴所传输的功率：
〖解题5-12〗
(1)　求图5-8所示钻杆单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mq
设钻杆在外力偶矩和土壤对钻杆的阻力偶矩的共同作用下处于转动平衡状态，则沿钻杆长度均匀分布的阻力偶矩的大小为
(2)　作钻杆的扭矩图如图5-8　b所示，并进行强度校核。
由钻杆扭矩图可见，钻杆中的最大内力为T=392.22N.m，因而其最大剪应力为
满足剪切强度条件。
图5-8　图5-9
〖解题5-13〗　
求当钢尺被弯成如图5-9所示的60°圆心角时横截面上的最大正应力，假定钢尺
的变形仍处于弹性范围，则可直接利用弯曲变形的物理关系计算：
〖解题5-17〗
(1)　作图5-10所示梁的弯矩图如图5-10b所示，得出危险截面的弯矩值为　
(2)　由梁的正应力强度条件确定梁的截面尺寸。
由式(5-47)
对于矩形截面梁，其抗弯截面系数
〖解题5-18〗
作图5-11所示梁的内力图如图5-11b、c所示，最大剪力和最大弯矩都出现在
C截面上，内力的最大值分别为
(2)　计算截面的几何量
(3)　计算最大应力并进行校核：
由此可知，梁的正应力和剪应力均满足强度条件。
〖解题5-20〗
(1)&& 作图5-12所示梁的剪力图和弯矩图如图5-12b、c所示,由此得到梁的最大内力值分别为
(2)正应力强度条件选择工字钢型号
由式(5-47)得到
查附录表3，工20a的Wx=237cm3，Ix=2370cm4，Sx=138cm3，d=7mm。
(3)　由式(5-46)对所选定的工字钢型号进行强度校核
满足剪应力强度要求。因此选定工20a作为所选择的工字钢型号。