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很多人都说收益是4.5%，根本不是陆金所说的8.4%，这其实是由于对等额本息还款法还不了解，究竟怎么回事呢？
所谓等额本息还款法，就是指每月以相同的额度还款，还款中包括一部分本金和一部分利息，比如投资1W稳盈安e，每月到手是315.21元，见下图：
等额本息还款表
这315.21元是分成两部分的，一部分是本金，另一部分是利息，图中第一期的本金是245.21元，利息是70元，先看这个70元怎么来的。
原始本金是1W，利率是8.4%，那么一个月的利率是%*1/12=70元。
第二个月的利息是多少？第一个月已经还了本金245.21元，第二个月算利息的本金是，那么利息是（）*8.4%*1/12=68.28元。
第三个月的计息本金是-246.93
第四个月的计息本金是-246.93-248.65
第五个月……
第六个月……
看到这里应该明白等额本息还款发究竟是怎么回事了，虽然每月还款额度一样，但是每一期的本金和利息组成都是不一样的，本金的部分越来越多，利息的部分越来越少。
那我们再来看看4.6%的利率是怎么算出来的，总共36期，每期还款316.19元，那么总共收款315.21*36=11347.56，那么三年的平均利率是（00）/.5%，之所以会被认为只有4.5%的收益，是因为用一次性还本付息的方法来计算的。
如果还不理解可以反过来想，假设房贷还有20W，利率是8.4%，3年还完，那么3年总共还多少钱？是（.4%*3）+400元吗？百度一下“房贷计算器”，算一算就会得出结果是元，为什么会这样呢？因为房贷也是以等额本息的方式还款的。
所以稳盈安e的年化收益率是8.4%是没有错的，只是这里的收益率是等额本息的年化收益率，我们每一分钱都是按照的8.4%的年化收益率产生利息。之所以计算下来利息几乎只有一次性还本付息的利息的一半，是因为等额本息是每个月结算一次利息，我们的本金又是在逐月减少中，因此让人产生了错觉。
那会有人喜欢这种方式吗？实际上等额本息的实用性大于收益性，最起码有两类人非常喜欢，第一种是还贷一族，每月还款用来还房贷还能获得一些利差，第二种就是有大额资金却没有固定工资收入的人，可以用每月还款作为生活费。
另外等额本息还可以有效降低坏账率，借款人如果不还款，平台和担保公司在其逾期的第一个月就能掌握情况，从而能及时采取应对措施，而一次性还本付息需要等到项目到期才能知道，中间这么长的时间足够给存心不还款的人做很多事情了。
总结：虽然陆金所有些地方确实不厚道，但在稳盈安e的收益率上面并没有任何欺骗，没有搞清楚等额本息的同学赶快好好补习补习，只有自己懂得多了，才能防止被忽悠，你说对吗？
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§4.5 极值问题
§4.5 极值问题一、函数极值的定义 二、极值的求法 三、最大值与最小值四、极值的应用问题1一、函数极值的定义yy = f (x)axy1ox2x3 r />x4x5x6bxyox0xox0x2设 数 (x)在 间a, b)内 定 , x0是 函 f 区 ( 有 义 定义 (a, b)内 一 点 的 个 , 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 任 点 , 除 点 0外 f (x) ≤ f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0 )是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 任 点 , 除 点 0外 f (x) ≥ f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0 )是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点3二、函数极值的求法定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设f (x)在 x0 处 有 数 且 点 具 导 , ' x 取 极 , 末 定 在 0处 得 值 那 必 f (x0) = 0. 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫做函数 f ( x ) 的驻点.注意: 注意: (1) 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点,但函数的驻点却不一定 是极值点 .( 2) 导数不存在的点也可能 是极值点.y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如但x = 0不是极值点. 不是极值点4y = x 在 x = 0 不可导，但 x = 0 是极小值点 . 不可导，定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件; (1)如果 (1)如果 x∈(x0 ?δ, x0),有 f ′(x) & 0 而 x∈(x0, x0 +δ ), 处取得极大值. 有 f '(x) & 0，则 f (x)在 x0处取得极大值. ; (2)如果 (2)如果 x∈(x0 ?δ, x0),有 f '(x) & 0 而 x∈(x0, x0 +δ ) 处取得极小值. 有 f '(x) & 0，则 f (x)在 x0处取得极小值. (3)如果当 (3)如果当 x∈(x0 ?δ, x0)及 x∈(x0, x0 +δ )时, f '(x) 符号相同,则 f (x)在 x0处无极值. 符号相同, 处无极值.y y+ ? ox0?x+x0ox(是极值点情形 是极值点情形) 是极值点情形5y+ +y? ?ox0xox0x (不是极值点情形 不是极值点情形) 不是极值点情形求极值的步骤: 求极值的步骤:(1) 求 f ′( x )＝0和使 f ′( x )不存在的点 x1 , x2 ,L( 2) 检查 f ′( x ) 在各xi ( i = 1,L, n) 左右的正负号;( 3 ) 由第一充分条件判断 x i 是否是极值点，并求极 值 . 是否是极值点，6例1 求出函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 ? 9 x + 5 的极值 . 解f ′( x ) = 3 x 2 ? 6 x ? 9 = 3( x + 1)( x ? 3)令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = ?1, x2 = 3. 列表讨论x( ?∞ ,?1) ? 1+(?1,3) ??3 0极 小 值( 3,+∞ )+f ′( x ) f ( x)0极 大 值↑↓↑极 值 f (?1) = 10, ?极 值 f ( 3) = ?22.7f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 ? 9 x + 5图形如下Mm8例2 解求出函数 f ( x ) = 1 ? ( x ? 2) 的极值 .? 2 f ′( x ) = ? ( x ? 2 ) 3 3 12 3( x ≠ 2)当x = 2时, f ′( x )不存在 . 但函数 f ( x )在该点连续 .当x & 2时， f ′( x ) & 0; 当x & 2时， f ′( x ) & 0.M∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .9定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件) 设 f (x)在 x0处具有二阶导数, 3(第二充分条件 处具有二阶导数, 且 f '(x0) = 0, f ''(x0) ≠ 0, 那末 '' (1)当 处取得极大值; (1)当 f (x0) & 0时, 函数 f (x)在 x0处取得极大值; (2)当 处取得极小值. (2)当 f ''(x0) & 0时, 函数 f (x)在 x0处取得极小值.f ′( x 0 + ? x ) ? f ′( x 0 ) 证 (1) Q f ′′( x0 ) = lim & 0,?x → 0?x异号， 故f ′( x0 + ?x ) ? f ′( x0 )与?x异号，当?x & 0时， 有f ′( x0 + ?x ) & f ′( x0 ) = 0, 当?x & 0时， 有f ′( x0 + ?x ) & f ′( x0 ) = 0,所以,函数 处取得极大值. 所以 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值同理可证( 2).101 例3 求函数 f ( x ) = cos x + cos( 2 x )的极值 . 2 解 f ′( x ) = ? sin x ? sin( 2 x ) = ? sin x (1 + 2 cos x ) = 0 2π ( k = 0,1,L) ? 驻点x = kπ , 或x = 2kπ ± 3 f ′′( x ) = ? cos x ? 2 cos( 2 x )f ′′( kπ ) = ( ?1) k +1 ? 2 & 01 ∴ 在x = kπ处，f ( x )有极大值 f ( kπ ) = ( ?1) + 2 2π 1 3 f ′′( 2kπ ± ) = ＋1 = & 0 3 2 2 2π 2π 3 )=? ∴ 在x = 2kπ ± 处，f ( x )有极大值 f ( 2kπ ± 11 3 3 4k1 cos ( x) + cos ( 2x) 21050510x12例4 求出函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 ? 24 x ? 20 的极值 . 解f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x ? 24 = 3( x + 4)( x ? 2)x 2 = 2.令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = ?4,Q f ′′( x ) = 6 x + 6,Q f ′′( ?4) = ? 18 & 0,f ′′( 2) = 18 & 0,故极大值 f (?4) = 60, ? 故极小值 f ( 2) = ?48.f ( x ) = x 3 + 3 x 2 ? 24 x ? 20 图形如下13Mm注意: f ′′( x0 ) = 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 , 注意:仍用定理 2.14小结极值是函数的局部性概念: 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 极小值可能大于极大值. 值,极小值可能大于极大值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点 函数的极值必在临界点取得. 函数的极值必在临界点取得 临界点取得 第一充分条件; 第一充分条件 判别法 第二充分条件; 第二充分条件 (注意使用条件 注意使用条件) 注意使用条件15思考题下命题正确吗？ 下命题正确吗？的极小值点， 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点，那么必存在 的某邻域，在此邻域内， x 0 的某邻域，在此邻域内， f ( x ) 在 x 0 的左侧 下降， 的右侧上升. 下降，而在 x 0 的右侧上升16思考题解答不正确． 不正确．1 ? 2 ? 2 + x ( 2 + sin ), x ≠ 0 例 f ( x) = ? x ? 2, x=0 ? 1 2 当 x ≠ 0时， f ( x ) ? f ( 0) = x ( 2 + sin ) & 0 x于是 x = 0为 f ( x ) 的极小值点17当 x ≠ 0时，1 1 f ′( x ) = 2 x ( 2 + sin ) ? cos x x 当 x → 0 时，1 1 2 x ( 2 + sin ) → 0, cos 在–1和1之间振荡 和 之间振荡 x x的两侧都不单调. 因而 f ( x ) 在 x = 0 的两侧都不单调故命题不成立． 故命题不成立．18练习题一、填空题： 填空题： ________性质 性质. 1、极值反映的是函数的 ________性质. 可导， 2、若函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 可导，则它在点 x 0 处到 得极值的必要条件中为___________. 得极值的必要条件中为___________. 3、函 数 y = 2 ? ( x ? 1) 的 极 值 点 为 ________ ；2 3 1 3y = 3 ? 2( x + 1) 的极值为__________. 的极值为__________. ? x 3x , x & 0 4、已知函数 f ( x ) = ? 当 x = _______ 时 ， ? x + 1, x ≤ 0 y = ________ 为极 小 值 ； 当 x = ________ 时 ， y = ________ 为极 大值. 大值.19二、求下列函数的极值： 求下列函数的极值： 1 、 y = e x cos x ； 2、 y = x ； x2 y 3 、方程e + y = 0 所确定的函数 y = f ( x ) ； ? x12 ? 4 、 y = ?e , x ≠ 0 . ? 0, x = 0 ? 证明题： 三 、证明题： 1 、如果 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 满 足条 b 2 ? 3ac & 0 ， 则函数无极值. 则函数无极值. 2、 2 、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ′′( x ) ≠ 0 ， 的极值点. 则 x = 0 为 f ( x ) 的极值点.201 x练习题***2、 2、 f ′( x 0 ) = 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无 4、 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1; e e π 2 4 + 2 kπ π e 二、1、极大值 y( + 2kπ ) = ,极小值 4 2 π 2 4 + ( 2 k +1) π π y( + ( 2k + 1)π ) = ? e ( k = 0,±1,±2,L) ； 4 2 局部； 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) = e ； 3、极小值 y(0) = ?1； 4、极小值 y(0) = 0 .211 e三、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题则其最值只能 在极值点 端点 极值点或端点 极值点 端点处达到 . 求函数最值的方法: 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值M =m { ax最小值f (a), f (b)}22特别: 特别 ?当 在 内只有一个极值可疑点时, 内只有一个极值可疑点时若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . 小 小 ?当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 上单调时 最值必在端点处达到? 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .23例1 求函数 y = 2 x 3 + 3 x 2 ? 12 x + 14 的在[?3,4]上的最大值与最小值 .解 Q f ′( x ) = 6( x + 2)( x ? 1)解方程 f ′( x ) = 0, 得x1 = ?2, x2 = 1.f ( ?2) = 34; f (4) = 142;计算 f ( ?3) = 23;f (1) = 7;比较得 最大值 f (4) = 142， 最小值 f (1) = 7.24y = 2x3 +3x2 ?12x+14最大值 f (4) = 142， 最小值 f (1) = 7.25例2 求 f ( x ) = ( x ? 1 ) ?3x 2 的在 [ ? 1, 1] 上的最大值与最小值 .解 Q f ( x ) ∈ C[ ?1,1] , 上有最大值和最小值。 ∴ f ( x ) 在 [ ? 1, 1] 上有最大值和最小值。5x ? 2 2 1 不存在的点为 0 ， 又 Q f ′( x ) = 3 在 ( ?1，) 的零点为 ， 5 3? x2 3 3 4 f ( ? 1 ) = ? 2 , f (1 ) = 0 , f ( 0 ) = 0 , f ( ) = ? ? 5 5 25 2 ∴ max f ( x ) = max{ f ( ? 1 ), f ( 1 ), f ( 0), f ( ) } = 0 x ∈[ ? 1 , 1] 5 2 min f ( x ) = min{ f ( ? 1 ), f ( 1 ), f ( 0 ), f ( ) } = ? 2 x ∈[ ? 1 , 1] 5260.5 1301( x?1) ? x21?2 ?12 x 127四、极值的应用问题实际问题求最值的方法: 实际问题求最值的方法:(1)建立目标函数 建立目标函数; 建立目标函数 (2)求最值 求最值; 求最值若目标函数只有唯一驻 点，则该点的 函数值即为所求的最 (或最小)值．28例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 Ax D B 100 20 D 点应如何选取? C D= x (km , 则 C = 202 + x2 , 总运费 ) 解: 设 A Dy′ =k(令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .′ y′ =5 ) ) ( ?3 , k 为某一常数 k 2 2 32 400+ x (400+ x ) 所以 x =15为唯一的 又295x400例2. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 观察者的眼睛 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角 最大) 清楚 视角θ 最大 ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则1.4θ1.8x 1.4+1.8 1.8 ) ?arctan , x∈(0,+∞ θ = arctan x x ?3.2 1.8 ?1.4(x2 ?5.76) + 2 = 2 θ′ = 2 2 2 x +3.2 x +1.8 (x +3.22)(x2 +1.82) 令 θ′ =0, 得驻点 x =2.4∈(0,+∞ )根据问题的实际意义, 根据问题的实际意义 观察者最佳站位存在 , 驻点又 唯一, 唯一 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 30内容小结1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 正 负 由负变正 负 正 为极大值 为极小值 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广31(3) 第二充分条件? +2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习f (x) ? f (a) ( =?1, 则在点 a 处( 1. 设 lim 2 x→ a (x ?a )B).(A f (x) 的导数存在 , 且f ′(a) ≠0； ) (B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;(D f (x)的导数不存在. )提示: 提示 利用极限的保号性 .322. 设 f (x)在 x =0 的某邻域内连续, 且 f (0) =0, f (x) lim =2, 则在点 x =0 处 f (x) ( D ). x→ 1?cos x 0 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 f ′(0) ≠0; (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 提示 利用极限的保号性 .333. 设′ y= f (x) 是方程 y′ ?2y′ +4y =0 的一个解,若 f (x0) &0, 且 f ′(x0) =0, 则 f (x) 在 x0 ( (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: 提示A)′ f ′(x0) =?4f (x0) &0341 备用题 1. 试问 a为何值时, f (x) = asin x + sin3x 3 2 在 x = π 时取得极值 , 求出该极值, 并指出它是极大 3 还是极小. 解: Q f ′(x) = 由题意应有 2 2 2 f ′( π) = acos( π) +cos3 π) ( 3 3 3 ∴ a =2′ 又 Q f ′(x) =?2sinx?3sin3x,∴ f (x) 取得极大值为 f (2π) = 3 335[ ] 的 试求 f (x)在0,1 上 2. 设f (x) = nx( ? x)n, n∈N， 1lim 最 值M(n)及 M(n). 大解: Q f ′(x) = n( ? x)n?nx? n( ? x)n?1 1 1n→ ∞= n( ?x) 1n? 1[ ?(n+1 x] 1 )令f ′(x) =0,x = n11 +易 别 通 此 时f (x)由 变 , 故所求最大值为 判 x 过 点 增 减 n n+1 1 ) M(n) = f ( ) =( n+1 n+1 1 n+1 ?1 ∴ lim M(n) = lim(1? ) =e n→ ∞ n→ ∞ n+136小结注意最值与极值的区别. 注意最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念. 最值是整体概念而极值是局部概念 实际问题求最值的步骤. 实际问题求最值的步骤37思考题若 f (a ) 是 f ( x ) 在[a , b ] 上的最大值或最 小值，且 f ′(a ) 存在，是否一定有 f ′( a ) = 0 ？ 存在， 小值，38思考题解答结论不成立. 结论不成立 例 因为最值点不一定是内点. 因为最值点不一定是内点.y = f ( x) = xx ∈ [0,1]有最小值， 在 x = 0 有最小值，但 f ′( 0) = 1 ≠ 039练习题填空题： 一、填空题： 最值可_____________处取得. _____________处取得 1、最值可_____________处取得. 的最大值为____ 2、函数 y = 2 x 3 ? 3 x 2 ( ? 1 ≤ x ≤ 4 )的最大值为____ _____；最小值为__________. _____；最小值为__________. [0,8]上的最大值为 上的最大值为______ 3 、 函数 y = 100 ? x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. ______；最小值为___________. 的物体，置于水平面上， 4 、 设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力 f 的作用而开始移动， =0.25， 的作用而开始移动，摩擦系数? =0.25，问力 f 与 _____时 水平线的交角α 为_____时，才可使力 f 的大小为 最小，则此问题的目标函数为______________ ______________， 最小，则此问题的目标函数为______________ ， 讨论区间为_____________. 讨论区间为_____________.405 、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ _________时 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ 时，做 成的漏斗 的容积 为最大 ？ 此问 题的目 标 函数为 ________________考察区间为 考察区间为_______________. ________________考察区间为_______________. 54 2 二、求函数 y = x ? ( x & 0 )的最值 . x ? n 10 ? 三、求数列 ? n ? 的最大项 . ?2 ? 要造一圆柱形油灌， 四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与 等于多少时，才能使表面积最小？ 高的比是多少？ 高的比是多少？41五、由 y = x 2 , y = 0 , x = a ( a & 0 )围成一曲边三角形 上求一点， OAB ，在曲线弧OB 上求一点，使得过此点所作曲 线 y = x 2 的切线与OA ， 围成的三角形面积最大. OB 围成的三角形面积最大.42练习题***区间端点及极值点； 一、1、区间端点及极值点； 2、最大值 y(4) = 80 , 最小值 y( ?1) = ?5 ； ?p π 10,6； 4、 ,[0, ) ； 3、10,6； 4、arctan ? , f = cos α + ? sin α 2 8 R3 5、 π , V = 4 π 2 ? 4 ? ? 6 , ( 0, 2 π ) . 3 24π 2 二、 x = ?3 时函数有最小值 27. 三、14. v v 3 3 , h=2 ; d : h = 1 : 1. 四、 r = 2π 2π 2 4 2 五、( a , a ) . 3 943例3 敌人乘汽车从河的北岸 处以 千米 分钟 敌人乘汽车从河的北岸A处以 千米/分钟 处以1千米 的速度向正北逃窜， 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击 处向正东追击， 南岸 处向正东追击， 速度为2千米 分钟． 速度为 千米/分钟． 千米 分钟 问我军摩托车何 时射击最好（ 时射击最好（相 距最近射击最好）？ 距最近射击最好）？点击图片任意处播放\暂停 点击图片任意处播放 暂停44建立敌我相距函数关系 解 (1)建立敌我相距函数关系设 t 为我军从 B处发起 追击至射击的时间 (分). 分 敌我相距函数 s(t)0.5 里 公s(t)?As(t) = (0.5+t)2 +(4?2t)2B?4 里 公( 2) 求s = s( t )的最小值点. 5t ? 7.5 . 令 s′ ( t ) = 0 , s′(t ) = 2 2 ( 0.5 + t ) + (4 ? 2t )得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B 故得我军从 处发起追击后 1.5 分钟射击最好 .45某房地产公司有50套公寓要出租 套公寓要出租， 例4 某房地产公司有 套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 为每月 元时，公寓会全部租出去． 元时 金每月增加10元时 就有一套公寓租不出去， 元时， 金每月增加 元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 而租出去的房子每月需花费 元的整修维护 试问房租定为多少可获得最大收入？ 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x元，? x ? 180 ? 套， 租出去的房子有 50 ? ? ? ? 10 ?每月总收入为x ?180? ? R ) =(x?20) ?50? (x ? 10 ? ?46x? ? R( x ) = ( x ? 20)? 68 ? ? 10 ? ? x? ? ? 1 ? = 70 ? x R′( x ) = ? 68 ? ? + ( x ? 20)? ? ? 5 10 ? ? ? 10 ?R′( x ) = 0?唯一驻点） x = 350 （唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。 故每月每套租金为 元时收入最高。 元时收入最高350 ? ? 最大收入为 R( x ) = ( 350 ? 20)? 68 ? ? 10 ? ? = 10890 (元 )47例5 由直线 y = 0，x = 8 及抛物线 y = x 围2成一个曲边三角形， 上求一点， 成一个曲边三角形，在 曲边 y = x 2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y=0及 x =8 所围成的三角 形面积最大． 形面积最大．点击图片任意处播放\暂停 点击图片任意处播放 暂停48解如图, 如图设所求切点为 P ( x0 , y0 ),yTB则切线PT 则切线 为y ? y0 = 2 x0 ( x ? x0 ),2oAPCx2 2 Q y0 = x0 , ∴ A( 1 x0 , 0), C (8, 0), B(8, 16 x0 ? x0 )1 1 2 ∴S?ABC = (8? x0)(16x0 ? x0 ) 2 2(0 ≤ x0 ≤ 8)491 2 令 S ′ = ( 3 x0 ? 64 x0 + 16 × 16) = 0, 4 16 解得 x0 = , x0 = 16 (舍去 ). 316 Q s′′( ) = ?8 & 0. 3 16 4096 ∴ s( ) = 为极大值 . 3 21716 4096 故 s( ) = 为所有三角形中面积的 最大者 . 3 2750
4极值原理与最大模估计_理学_高等教育_教育专区。数理方程热传导 ...( Q ) 是问题(4.5)的解,则 (4.5) max u ≤ FT + B , Q (4.6) ...令 k ? 4 ,解约束极值问题: f 4 (s4 ) ? Max{17y4 ? 15x4 } 0 ?...e r2T e ? e r2T §4.5 最优控制理论基本问题 B: Max 满足 V ? ? F...(4)极值法:用二次函数配方求极值,追赶问题用得多。 (5)逆向思维法:如匀...4.5=9m/s 【例 6】一物体由斜面顶端由静止开始匀加速下滑,最初的 3 秒内...§2.6 动态平衡、平衡中的临界和极值问题 【考点自清】 一、平衡物体的动态问题 (1)动态平衡: 指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。 在这个过程中...实际问题求最值应注意: 实际问题求最值应注意 (1)建立目标函数 建立目标函数;...复习函数的极值与最大值... 10页 免费 ch3.3-4.5.6.7函数的极值... 暂无...§2.6 动态平衡、平衡中的临界和极值问题 【考点自清】 一、平衡物体的动态问题 (1)动态平衡: 指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。 在这个过程中...第六章 无约束极值问题本章研究无约束极值问题的解法。这种问题可表述为 Min f ( X ), X ∈ En (6.1) 一种最为容易的情况是,f (X) 的解析表达式比较...L' Hospital 法则计算极限, 熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题. ...4.4 . 4.5 . 4.6 . 4.7 . 4.8 . 4.9 . 教学要求:理解法曲率,主方向与...具 体可以运用到一元函数极值,多元函数 极值,拉格朗日乘数法等一些求极值方法。而极值的概念来自数学中的最大(小)问题,故函数极值问题的探讨也具有了其重要意义。...
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