& 二次函数综合题知识点 & “如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4...”习题详情
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如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-427x2+223交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2012-义乌市
分析与解答
习题“如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4/27x2+22/3交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合）...”的分析与解答如下所示：
（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即QMQN=QHQG=QHOH=tan∠AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=a，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=-15a2+3√55a（0＜a＜3√5），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，a的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．
解：（1）把点A（3，6）代入y=kx&得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．（2分）OA=√32+62=3√5．…（3分）（2）QMQN是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时QMQN=QHQG=QHOH=tan∠AOM=2；②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，∴∠MQH=∠GQN，又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN…（5分），∴QMQN=QHQG=QHOH=tan∠AOM=2，当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QMQN=2．&…（7分）①①（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=12OA=32√5∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴OFOC=AOOR=3√53=√5，∴OF=32√5×√5=152，∴点F（152，0），设点B（x，-427x2+223），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，∴BKFR=AKAR，即x-37.5-3=6-(-427x2+223)6，解得x1=6，x2=3（舍去），∴点B（6，2），∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，∴AB=5&&&&&&&&&…（8分）；（求AB也可采用下面的方法）设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（152，0）代入得k=-43，b=10，∴y=-43x+10，∴{y=-43x+10y=-427x2+223，∴{x1=3y1=6（舍去），{x2=6y2=2，∴B（6，2），∴AB=5…（8分）（其它方法求出AB的长酌情给分）在△ABE与△OED中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，∴∠ABE=∠DEO，∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．…（9分）设OE=a，则AE=3√5-a（0＜a＜3√5），由△ABE∽△OED得AEAB=ODOE，∴3√5-a5=ma，∴m=15a（3√5-a）=-15a2+3√55a（0＜a＜3√5），∴顶点为（32√5，94）如答图3，当m=94时，OE=a=32√5，此时E点有1个；当0＜m＜94时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．∴当m=94时，E点只有1个…（11分）当0＜m＜94时，E点有2个…（12分）．
本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．
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如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4/27x2+22/3交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、...
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经过分析，习题“如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4/27x2+22/3交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合）...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4/27x2+22/3交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合）...”相似的题目：
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该知识点易错题
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3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
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　　问：我去医院化验了六项性激素，分别是：FSH（mlu/ml） 0.2，LH(mlu/ml) 8.2，E2(pg/ml) 315.9，PRL(ng/ml) 62.3，TEST(ng/ml) 1.07，PROG(ng/ml) 40
参考范围：FSH卵泡期3.2-10，排卵前期7.5-20，黄体期1.3-11，绝经期36-183；LH卵泡1.2-12.5，排卵前12-82，黄体0.4-19，绝经14-48；E2卵泡12-48，排卵前153-237，黄体48-172，绝经＜-48；PRL是3.3-24.5，绝经1.25-10.5；TEST是＜0.1-1.26；PROG卵泡0.27-3.9，黄体7.66-25.6,在15号的时候做了B超，也没有问题，我也不知道这算不算是多囊卵巢综合症，医生给我开了一种调经的药，叫四物合剂，是一种中成药的口服液，还有一种催卵的药是克罗米芬，医生说调经的药可以一直吃，克罗米芬在来YJ的第五天还是吃，每天一颗，吃一天后停药，我现在已经吃完五天了，我不知道现在该干什么了，要不要买排卵试纸，那种四物合剂是不是一直可以吃啊，如果怀孕的话会不会影响胎儿呢？我最后一次是8月12号的，不知道吃了催的药后能不能算出排卵期呢？请会算的姐妹帮我算算是哪天啊,如果是多囊的话除了做手术还有没有什么更好的办法？
你的内分泌六项是什么时候做的？好几项都不在正常范围内。
四合剂可以继续吃，它的成份是：当归、川芎、白芍、熟地黄。怀上了对宝宝影响不大。
吃了催的药就要做卵泡监测，你明天要去看看情况。计算排卵期要有你的月经周期，而且准确性不是很高。
是不是多囊卵巢做B超可以帮助诊断。未确诊前不要胡乱担心。
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