第十一章《三角形》复习1_图文_百度文库
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第十一章《三角形》复习1
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你可能喜欢如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，tan∠DBC=，且BC=6，AD=4．求cosA的值．
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在Rt△DBC中，∵∠C=90°，BC=6，∴tan∠DBC==．∴CD=8．∴AC=AD+CD=12在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=2+BC2＝122+62＝65，∴cosA=．
为您推荐：
先解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AC=AD+DC即可求得AC，再由勾股定理得到AB，最后再求cosA的值即可．
本题考点：
解直角三角形．
考点点评：
本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
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学年江苏省盐城市建湖县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是 A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AB AC，D为BC中点，∠BAD 35°，则∠C的度数为 A．35° B．45° C．55° D．60°
3．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为 A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
4．如图，已知∠ABC ∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是 A．∠A ∠D B．AB DC C．∠ACB ∠DBC D．AC BD
5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 A．∠A+∠C ∠B B．a ，b ，c
C．（b+a）（ba） c2 D．∠A：∠B：∠C 5：3：2
6．如图，在△ABC中，∠A 36°，AB AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE BC，连接DE，则图中等腰三角形共有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′ ∠AOB的依据是 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有 A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
9．已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的底角是__________°．
10．角是轴对称图形，__________是它的对称轴．
11．已知：△DEF≌△ABC，AB AC，且△ABC的周长为22cm，BC 4cm，则DE __________cm．
12．如图，在△ABC中，∠C 90°，AD是角平分线，AC 12，AD 15，则点D到AB的距离为__________．
13．观察以下几
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2015秋南京市雨花区届九年级数学上期中试卷解析
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2015秋南京市雨花区届九年级数学上期中试卷解析
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
学年江苏省南京市雨花区梅山二中九年级（上）期中数学试卷
一．（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，成比例线段的组是(&&&& )A．3cm，4cm，5cm，8cm&B．1cm，3cm，4cm，8cmC．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm&D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．
2．设 是单位向量， 是非零向量，则下列式子中正确的是(&&&& )A．& = &B．& = &C．& = &D． =
3．下列说法错误的是(&&&& )A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
4．如图，点G是△ABC的重心，GD∥BC，则SADG：S△ABC等于(&&&& )&A．2：3&B．4：9&C．2：9&D．无法确定
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是(&&&& )&A． &B． &C． &D．
6．△ABC中，直线DE交AB于D，交AC于点E，那么能推出DE∥BC的条件是(&&&& )A． &B． &C． &D．
二．题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若 ，则 =__________．
8．& __________．
9．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为__________m．
10．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走__________ 米报幕（ ，结果精确到0.1米）．&
11．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC=__________．&
12．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为__________．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么sinA=__________．
14．某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是__________．（用m与含α的三角比表示）．
15．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设 = ， = ，那么 =__________（结果用 、 表示）．&
16．如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC=AD，如果∠ACD=90°，那么tanA=__________．&
17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE= AD，CE的延长线交AB于点F，若AF=1.2，则AB=__________．&
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为__________．&
三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算： sin45°．
20．已知：如图，EF是△ABC的中位线，设 ， ．（1）求向量 、 （用向量 、 表示）；（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）&
21．如图，已知：△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的长．&
22．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．&
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD= ，求BE的值．&
24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由．&
25．（14分）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；（2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．&
学年江苏省南京市雨花区梅山二中九年级（上）期中数学试卷
一．（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，成比例线段的组是(&&&& )A．3cm，4cm，5cm，8cm&B．1cm，3cm，4cm，8cmC．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm&D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．【考点】比例线段． 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误***．【解答】解：A、3×8≠4×5，故选项错误；B、1×8≠3×4，故选项错误；C、2.1×6.5≠3.2×5.4，故选项错误；D、0.15×4.8=0.18×4，故选项正确．故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．设 是单位向量， 是非零向量，则下列式子中正确的是(&&&& )A．& = &B．& = &C．& = &D． = 【考点】*平面向量． 【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向．一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．【解答】解：A、∵单位向量 与非零向量 的方向不一定相同，∴| | = 不一定成立，故本选项错误；B、 | |= ，原式计算正确；故本选项正确；C、 =1，原式计算错误；故本选项错误；D、 =| |，原式计算错误；故本选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．
3．下列说法错误的是(&&&& )A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点【考点】二次函数的性质． 【分析】抛物线y=ax2（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；开口大小与|a|有关．【解答】解：A、二次函数y=3x2图象开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，正确；B、二次函数y=﹣6x2中开口向下，顶点（0，0），故当x=0时，y有最大值0，正确；C、|a|越大，图象开口越小，|a|越小图象开口越大，错误；D、抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，正确．故选C．【点评】此题考查了二次函数的性质：增减性（单调性），最值，开口大小以及顶点坐标．
4．如图，点G是△ABC的重心，GD∥BC，则SADG：S△ABC等于(&&&& )&A．2：3&B．4：9&C．2：9&D．无法确定【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心． 【分析】根据重心的性质得出 = ，以及 = ，即可得出SADG：S△ANC的比值，再利用三角形中线的性质得出S△ANC=S△ABN，进而得出***．【解答】解：延长AG到BC于点N，∵点G是△ABC的重心，GD∥BC，∴ = ，∴ = ，∴SADG：S△ANC=（ ）2= ，∵根据G是△ABC的重心，则AN是三角形中线，∴S△ANC=S△ABN，∴SADG：S△ABC=4：18=2：9．故选：C．&【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和三角形重心的性质等知识，根据已知得出SADG：S△ANC=（ ）2是解题关键．
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是(&&&& )&A． &B． &C． &D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB= = ，AC= ，BC=2，∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
6．△ABC中，直线DE交AB于D，交AC于点E，那么能推出DE∥BC的条件是(&&&& )A． &B． &C． &D． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理即可判断．【解答】解：由 ，不能推出DE∥BC，所以A选项不正确；由 ，不能推出DE∥BC，所以B选项不正确；∵ ，∴DE∥BC，∴选项C正确；由 ，不能推出DE∥BC，所以选项D不正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
二．题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若 ，则 = ．【考点】比例的性质． 【专题】；压轴题．【分析】根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k，则 = ，故***为： ．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
8．& ﹣& ﹣5 + ．【考点】*平面向量． 【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得***．【解答】解：& =& + ﹣ ﹣4 ﹣6 +2 =﹣& ﹣5 + ．故***为：﹣& ﹣5 + ．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意去括号时符号的变化．
9．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为100m．【考点】比例线段． 【专题】．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离．【解答】解：设AB两地间的实际距离为x，&= ，解得x=10000cm=100m．故***为：100m．【点评】熟练运用比例尺进行有关计算，注意单位的转换．
10．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走3.8 米报幕（ ，结果精确到0.1米）．&【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金分割的比值为 列式计算即可得解．【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，∴AP=10﹣10× =10﹣10× =10﹣6.18=3.82≈3.8米．故***为：3.8．【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
11．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC= ．&【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ = ，∵AB=3，DE=4，EF=2，∴ = ，解得BC= ．故***为： ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，准确确定对应线段是解题的关键，熟记定理也很重要．
12．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为1： ．【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：2，∴两个相似三角形的相似比为1： ，∴它们的对应角平分线的比为1： ．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：如图： 由勾股定理得：BC= = =12，所以sinA= = ，故***为： ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA= ，cosA= ，tanA= ．
14．某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是 ．（用m与含α的三角比表示）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】由题意得，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，用正弦函数计算即可．【解答】解：根据题意，飞机到控制点的距离是： ．【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
15．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设 = ， = ，那么 =& ﹣ （结果用 、 表示）．&【考点】*平面向量． 【分析】由点E在边AB上，且AB=3EB．设 = ，可求得 ，又由在平行四边形ABCD中， = ，求得 ，再利用三角形法则求解即可求得***．【解答】解：∵AB=3EB． = ，∴ =& =& ，∵平行四边形ABCD中， = ，∴ = = ，∴ = ﹣ =& ﹣ ．故***为：& ﹣ ．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC=AD，如果∠ACD=90°，那么tanA= ．&【考点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 【专题】综合题．【分析】首先根据黄金分割的定义得出 = ，AD2=AB•BD，再由两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC=AD可得 = = ，最后根据正切函数的定义得出结果．【解答】解：∵点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），∴ = ，AD2=AB•BD，∵BC=AD，∴BC2=AB•BD，∴ = ，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴ = = = ．在△ACD中，∠ACD=90°，∴tanA= = ．故***为 ．【点评】本题考查了黄金分割、锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度中等．本题证明△BCD∽△BAC，得出 = 是解题的关键．
17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE= AD，CE的延长线交AB于点F，若AF=1.2，则AB=6．&【考点】平行线分线段成比例． 【分析】过D作DM∥CF交AB于M，求出BM=MF，根据平行线分线段成比例定理求出 = = ，即可得出AB=5AF，代入求出即可．【解答】解： 过D作DM∥CF交AB于M，∵AD是△ABC的中线，∵BM=MF，∵DM∥CF，∴△AFE∽△AMD，∴ = ，∵AE= AD，∴AF= AM，∵BM=MF，∴AF= AB，∵AF=1.2，∴AB=5×1.2=6，故***为：6．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出AF= AB．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ．&【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题．【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，AD⊥ED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得∠EDB与∠CDB的度数，继而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得***．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC= = = ，∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD，∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB= =135°，∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°，∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CD=BC=1，∴DE=AD=AC﹣CD= ﹣1．故***为： ﹣1．【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算： sin45°．【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得***．【解答】解：原式= ﹣ × + × = ﹣ +1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．已知：如图，EF是△ABC的中位线，设 ， ．（1）求向量 、 （用向量 、 表示）；（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）&【考点】*平面向量． 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设 ， ，利用三角形的中位线的性质，即可求得 ，然后由三角形法则，求得 ；（2）利用平行四边形法则，即可求得向量 在 、 方向上的分向量．【解答】解：（1）∵EF是△ABC的中位线， ．∴ =& =& ，∵ ，∴ = ﹣ =& ﹣ ；
（2）如图，过点E作EM∥AC，则 与 即为向量 在 、 方向上的分向量．&【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．
21．如图，已知：△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的长．&【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由AB=AC，可得∠B=∠C，又由∠APD=∠B．利用三角形外角的性质，可得∠BAP=∠APD，继而可证得△ABP∽△PCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=∠B，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴ = ，∵BC=16，BP=12，∴PC=16﹣12=4，∵AB=10，BP=12，PC=4，∴ = ，∴CD=4.8．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．&【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的应用． 【分析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可．【解答】解：作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．&在Rt△CFD中，i=1：1.875，即CF：DF=1：1.875=8：15；设CF=8x米，则DF=15x米，由勾股定理可得，（8x）2+（15x）2=CD2，∴CD=17x=3.4，∴x=0.2，∴DF=15×0.2=3米，CF=8×0.2=1.6米．∵FE：CF=NH：NM，∴FE：1.6=336：168，∴FE=3.2，∴BE=BD+DF+FE=2+3+3.2=8.2米．∴AB：BE=MN：NH，∴AB：8.2=168：336，∴AB=4.1米．答：铁塔高度为4.1米．【点评】本题考查了坡度与坡角及相似三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD= ，求BE的值．&【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线． 【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1： ，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1： ，再由AB=2 ，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC= CH，∴CH：AC=1： ，∴sinB= ；
（2）∵sinB= ，∴AC：AB=1： ，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB= = ，设CE=x（x＞0），则AE= x，则x2+22=（ x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2 ，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．&【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由．&【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 【专题】存在型．【分析】（1）根据当P在AD边上时以及当P在AD边上时，分别得出三角形相似；（2）根据若点P在边AD上或点P在边DA延长线上时，利用相似三角形的性质得出y与x的关系式；（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，若点P在边AD上，若点P在边DA延长线上分别得出即可．【解答】解：（1）△EAP∽△PDC，①当P在AD边上时& 如图（1），∵矩形ABCD∠D=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，据题意∠CPE=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△EAP∽△PDC，②当P在AD延长线上时& 如图（2）同理可得△EAP∽△PDC；
（2）若点P在边AD上，据题意：PD=x，PA=6﹣x，DC=4，AE=y，又∵△EAP∽△PDC，∴ ，∴ ，∴ （0＜x＜6），若点P在边DA延长线上时，据题意 PD=x，PA=x﹣6，DC=4，AE=y，∵△EAP∽△PDC，∴ ，∴ ∴ （x＞6）；
（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，若点P在边AD上，∵△EAP∽△PDC，∴C△EAP：C△PDC=（6﹣x）：4，∴（6﹣x）：4=2，∴x=﹣2 不合题意舍去，若点P在边DA延长线上，同理得（x﹣6）：4=2，∴x=14，综上所述：存在这样的点P满足题意，此时PD=14．&&【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想结合P点位置的不同得出***是解题关键．
25．（14分）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；（2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．&【考点】相似三角形的判定与性质；垂线；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC，②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB分别求出即可；（3）首先得出△AMN∽△ABC，①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可．【解答】解：（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO+∠BAO=90°．∵∠ABO+∠C=90°，∴∠BAO=∠C．∵∠ABO=∠COA，∴△AOB∽△COA．∵OB=6，BC=12，∴6：OA=OA：18．∴ ．∴ ．∴ ．
（2）∵ ，∴∠C=30°．∵ ，∴∠ABO=60°，∴∠BAC=30°．∴AB=BC=12．①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC．∵AM=4，∴ ．②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB．∵AM=4，∴ ．
（3）可以求得： ．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴ ．∴ ．∴ ．①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），∵MN∥BC，∴∠ANM=∠C=30°．∴∠ANM=∠BAC．∴AM=MN=x．∵将△AMN沿MN折叠，∴∠ENM=∠ANM=30°．∴∠AFN=90°．∴ ．∴S△FMN：S△AMN=MF：AM．∴ ．∴ ．②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），∵MN∥BC∴CN：AC=BM：AB．∴ ．∴ ．∵△CNG∽△CBA，∴ ．∴ ．∴ ．∴ ．即 ．说明：①当EN与线段AB相交时，用计算MN边上高的方法求y时，求出高为 ，得1分；当EN与线段AB不相交时，用梯形面积公式求y时，求出梯形上底为（3x﹣24），得1分．②定义域错一个，不扣分；两个全错，扣1分．&&【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN与线段AB位置关系进行分类讨论得出是解题关键．&文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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