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高中数学三角函数公式大全
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高中数学三角函数公式大全
官方公共微信酷炫动图（四）：更多的数学 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
酷炫动图（四）：更多的数学
傅里叶 分形 黄金分割率 黄金律 黄金比例 三角函数 迭代
本文作者:Ent
上期我们用了很多篇幅谈论三角函数，但是说三角函数怎么好意思不提那套著名的傅里叶变换图呢？
变身吧傅里叶
不，不是变成夜礼服。
图片作者：LucasVB
和某些公然嘲笑应用的数学家不同，傅里叶特别重视应用领域，而他的傅里叶变换也不负众望成了工程和物理领域里最重要的数学公式之一。
这里展示的傅里叶变换（的三角函数形式）的基本原理是，多个正余弦波叠加（蓝色）可以用来近似任何一个原始的周期函数（红色）。这样近似的效果有点像称量的砝码：不管你原物的质量多奇怪，我总能化归成“5个1斤砝码、3个1两砝码”这样几个基本单位之和。上图末尾处蓝色的竖线就可以想象成“我用了5个1号波、3个2号波”等等。这在计算上多省事儿、处理上多方便就不用说了……
几个傅里叶***实例，用波叠加出分段函数。图片作者：LucasVB
当然傅里叶***的好处和用法远不止这些，但那就是一本书的篇幅了。打住。
如果你还记得酷炫动图中讨论过的圆和三角函数之间的密切联系，那你也能看懂下面这张图：
图片作者：Matthew Henderson
大地上的河流
图片来源：google
图片作者可能是
Hello？走错片场了吧？标题写的是数学啊？
没有错，这是数学里诸多脑洞大开的定理之一：平原上的河流，从源头到出海口的干流总长度（蓝线）和源头到出海口之间的直线距离（红线）的比值，平均而言比3大一点儿。更准确地说，这个比值应当趋近于π。
图中所示是秘鲁艾尔?西拉保护区里的一条河流，虽然因为地形和时间尺度原因，其比值更接近于2.5，不过意思大家已经看到了。
但是这真的是数学！因为河流的自组织过程很容易形成分形。
一条完美的笔直河流是平衡的，但这是不稳定的平衡。现实中的河流总会因为各种原因而有所弯曲，一旦河道打弯，弯道内侧和外侧的水流速度就会出现差异，外侧遭到冲刷，而内侧则发生沉积。久而久之弯曲会越来越大，最终河道裁弯取直形成牛轭湖，开始新的循环。
而1996年《科学》上的一篇论文认为，对于平原上的河流，这一过程的临界态是可以用分形来描述的。下面两张图是作者汉斯-亨里克?斯托罗姆（Hans-Henrik Stolum）用纯粹的数学公式推演出来的河流演化，可以和上图对比一下。
无限的黄金（率）
图片作者：LucasVB
这个φ不是别的，就是黄金分割率那个1.618了。当然如果你喜欢0.618，把前面的1去掉就是。
常用的黄金分割表达方式是，但是有一个有趣的连分数表达式，就是上面那张停不下来的动图。
当然实际中我们没法无穷地这么除下去……用这个连分数迭代来近似黄金比例的话，误差程度是：
图片来源：wikipedia
还不错嘛。
为什么这个连分数无限迭代下去可以用来算黄金率？注意它的格式：x = 1 + 1/x
而黄金率的定义你还记得吗？在下图中，如果 （a + b）/a = a/b ，那么这个比值就是黄金律。
图片来源：wikipedia
如果我们令 a/b = φ，那么上式就立刻化简成了
如果你学过相关的迭代法求近似解理论，现在应该已经在颔首微笑了。如果没有，那么想着“这两个式子形式完全一样肯定有什么关联”就好……
本期的动图大部分依然来自LucasVB，不过也出现了，下期他的戏份会更多。
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引用文章内容：变身吧傅里叶 不，不是变成夜礼服。你找我？
第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有人说这不好），比如方差给定时熵最大。就像圆形是平面国Flatland里当之无愧的国王一样，Gauss也是Functia当之无愧的镇长。他要退休，这怎么让人接受呢？Gauss看着外面，对Sinc娓娓道来，“很久以前我也和大伙一样，有这样那样的特点和缺点，身上有点不连续啊，有点不可导之类的地方。这其实也没什么，人人都是这样的。后来我找到了一本古书，其中记载了乘积魔法，以及用它来卷积的方法。虽然知道这是很危险的招数，但是我还是好奇的在我自己身上试验，一次一次的对着镜子和自己卷积。最终的结果，经过数不清的试验，我就变成了现在的样子，得到了很多崇拜，也凭着许多知识当了镇长。其实我并非天生特别……可是你知道未来会变成什么样的么？”“未来？”这个词Sinc自然是懂得的，但却从没想过。因为Functia的生活如此悠闲自在，没人需要真正希望以后会 变 成 什么其他的样子。“未来，将会有一天，怪物Comb将会再次来袭。那时候，每一个连续的functian都会被采样，变成尖刺组成的形状，转身后的样子都会是一个无穷长的队列。不仅如此，这个无穷长的队列还会再次被采样，所以在原来的方向上，尖刺组成的形状也会被复制无数份排列起来。这样无论从那个角度看，就都是无数个尖刺了，还反复周期性得排列起来，而人们只关心我们在一个周期内的样子……”Sinc虽然不能完全理解，但也实在听不下去了，这就是我们functians的未来么？我们都会变成Comb那种鬼样子？“但是只要你Sinc还在，我们就还有希望……你是一把钥匙，只要你去使用乘积，卷积的魔法，我们的原形就能恢复。许多人都能做类似的事，Trapez，Bessel，Butterworth，甚至我也可以，但是谁的天赋都没有你好，毕竟你是一个理想的滤波器啊……所以你可以照顾好Functia所有的人，渡过那段黑暗无比的 离散化 的未来。这股浪潮一来，我这个Gauss的身躯就是一点用都没有了啊，所以我想让你当镇长……”Sinc从没想过自己或是傻而方的身体，或是上下翻腾的衣角有这么重要的使命，“能拯救所有被采样的functian？”但是想想可怕的怪物Comb，想想Gauss的话“将会有一天，每一个连续的functian都会被采样”，感到能维持或者恢复现在和睦的生活，对任何人，都是最好的事情。其实他心里还是更想让Gauss在位，因为Gauss几乎成了这安宁生活的一个象征，而自己上任，其实意味着灾难和拯救。当天下午进行了全体functian投票。新英雄Sinc全票当选镇长，他是唯一的候选人。（完）
数学战五渣路过。。。
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全部评论(56)
数学战五渣路过。。。
软件工程师，应用数学专业
河流和π，天啦！！
果壳网副主编
进阶的，果然难了……看不懂的渣渣默默走了。
引用文章内容：变身吧傅里叶 不，不是变成夜礼服。你找我？
就像提到泰勒就能想起洛朗一样，提到傅里叶变换，就能想起另一个拉布拉多变换。我知道很多人没找到笑点在哪里。。。
数学家很牛
高考数学才考完。。
引用 的话：就像提到泰勒就能想起洛朗一样，提到傅里叶变换，就能想起另一个拉布拉多变换。我知道很多人没找到笑点在哪里。。。呃……略冷……
靠！我终于在大学毕业工作很久了，搞懂傅里叶变换是咋回事了！呜呜呜呜......................
数学太优美了。
妈的我也要学数学装逼
图作得比较精致
数学真牛！
这个φ不是别的，就是黄金分割率那个1.618了。当然如果你喜欢0.618，把前面的1去掉就是。
好赞的感觉啊
河流那个好神奇
我回忆起了那令人恐惧的尖叫的傅里叶级数
引用 的话：就像提到泰勒就能想起洛朗一样，提到傅里叶变换，就能想起另一个拉布拉多变换。我知道很多人没找到笑点在哪里。。。你妹的拉不拉屎变换。
傅里叶变换那个，想起来SMTH上一个强文：原创作者:schumaFunctia(1)有一个安静的小镇，名叫Functia，镇上的居民被人称作functian。这其中一个普通的居民叫Sinc，至少邻居们这么称呼他。他的样子嘛，顾名思义，有个圆滚滚的头，没有脖子和腰，像一个酒盅扣在地上。衣服在旁边的地上拖得很长，像水的波纹一样。他在路上走的时候，有时候被人上下打量，然后被人认出来， “哎，这不是正弦函数除以自变量本身么？听人提起过你啊。”然后他就会很高兴的回答，“管我叫Sinc好了。”于是别人就管他叫Sinc，其实谁也不知道那个C是什么意思。Sinc爱种花，在自己的院子里种。他不想让随便什么人进来弄坏他的小花园，所以就修了一个门。这个门，其实并没有门扇，只是墙的一个缺口而已。Sinc回家的时候，不能直接进门----因为他的衣服拖得很长。到了门口，他会一转身，变一个样子，变成矩形... 好，Sinc会变成矩形。整个变形一转身就完成了，他根本不用想积分之类的东西，这是写到他基因里面的。变成矩形以后，很容易就可以进到门里去。要是他愿意的话，再转身变成原来的样子。实际上哪种样子他都能舒服的呆着。这件事也不是秘密，因为稍微熟识Sinc的人都知道，他的全名叫Sincus Rectanguli。其实这种转身动作，镇上每个functian都会。镇外的人管它叫傅立叶转身。但是其实人们也知道，傅立叶本人并不会这种魔术。Sinc最要好的朋友叫Lambda，从一边看是一个三角形Λ，从另一边看跟Sinc样子差不多，只是更瘦一点。也许他们长得差不多所以关系好吧。Lambda也能进到 Sinc的院门里，只要他用三角形的一面对着门。有传言说Lambda是Sinc的孩子，一种说法说Sinc变成矩形的样子，用叫“卷积”的魔法制造了 Lambda；另一种说法说Sinc会做“乘积”，于是产生了Lambda。也不知道哪种说法更可信。不过镇上的元老们的解释是，这些都是假的，因为不管卷积还是乘积都是神话时代才有的魔法。要是这种魔法现在还有人会的话，这个世界就全乱套了。说起元老们，首先还得提到镇长，叫Gauss。它很胖，穿着宽大的袍子。镇上没有人比他更老了，也没有人比他的威信更高。他似乎什么都懂，每次他咳嗽两下开始说话，其他的functians都安静的听。小镇最高的房子上有一个钟楼，据说那口钟也是他的雕像。Sinc对Gauss也很景仰，同时，敬而远之。Sinc对自己院子的门感到很得意，因为Gauss不管怎么摆弄他的肥胖的身躯，都进不了那个门。这样Gauss就不会常常来串门，指手画脚了。Gauss的转身功夫实在是有点差劲。他一转身，无非就是从矮胖变得稍微瘦高，但是袍子总在脚边拖着。有人说这个袍子是他元老的象征，是不会消失的。顺便说一句，Functia里的人，有时候见到美味吃的太多，变胖了以后，并不担心，即使女生们也不担心----她们只要一转身，就变得甚至比先前更瘦了。所以胖瘦大家并不在意。Gauss以前宣布过一个“海森堡减肥无用原理”，说就算你减肥了，一转身准保变胖。其实这个道理大家心里都有数，Gauss 说这个只不过是为了反驳某些人说他胖而已。Gauss也有个密友，叫Sech，也成天穿着件袍子，比Gauss瘦一点点，但是拖在地上的衣服厚一些。人们见到的Sech也总是保持一个样子，其实许多人不知道Sech转身以后样子也还是没变化，这点倒是跟Gauss很一样。不用说，因为那件不肯摘掉的袍子，他也进不了Sinc的花园。许多人觉得Sech和Gauss条件很接近，完全有资格当镇长，但Sech一直比较低调，也许是碍于面子，从不提这码事。人们只是见Sech经常跑到海滩上去冲浪，他在水面上划过，活像一个孤立子。镇上还有好多村民，一个长得很像Sinc的人叫Bessel。Gauss曾说，她的名字起的有点问题，说她是一阶Bessel函数除以自变量本身，就像Sinc不能叫Sin一样，她也不应该叫Bessel。不管怎么说，Bessel还是一个响亮的名字。她一转身会变成一个精确的半圆形，扣在地上的样子。有人说这个样子很完美，有些人说像乌龟。但终归她这样可以去Sinc家玩，所以她也是Sinc的常客。一个叫Trapez的人，样子普通，也穿着花边衣服，转身后变成一个梯形的样子。他之所以出名是因为他的职业，他是个旅行家，经常带照片回来给大家分享。他讲的外面的世界的故事也是人们最喜欢听的。虽然有那么两个阶层，元老和村民，但functians都和睦的生活着。直到有一天，长久的平静被打破了
Functia(2)有一天，Functia镇上的居民正在广场上闲聊，外出旅行的Trapez回来了。远远看见他回来大家都很兴奋。他是以梯形的样子回来的，否则要是他转过身去，很难在远处把它和Sinc区分开。但当他走近的时候，functians心中却产生了恐惧。因为那根本就不是原来的Trapez了，他 受 伤了。他原本很健康很连续的梯形身体，变成了仿佛许多竖直的尖刺排列而成的一个梯形。以往他每次一回来总是被大家围起来问长问短，这一次，从另一个角度看他的人惊奇的发现，他的形状不再是像Sinc那样一个身体加上周围的拖地衣服，而是有许多个同样的身体排成一个长队，像是用叠起来的纸剪出来的人形拉花，队伍的长度都让人看不到尽头。这种事情，functians从没见过，因为所有的镇子里所有人的身体都是有限大的，这个看不到头的队伍算是什么？他简直已经不是这个叫做INTEGRABLE的星球上的生物，而是外星人了！Trapez自己也说不清为什么会这样，只是说在树林里走路，突然被人从背后猛然推倒了，起来就变成这幅样子了。出现怪事，要找Gauss。很快Gauss扭动着肥胖的身躯从图书馆里赶来。他端详了一会儿受伤的Trapez，幽幽的说，“你，被采样了……”采样这个字眼，居民们都没听说过。他们并不介意听到一个新词，因为镇长Gauss常用一些没人认识的词说一些大家都知道的事，他毕竟同时是一个哲学家。这次不对劲的是，Gauss说完这话就在闷头想什么事情，这和他一贯高调做事的风格不符。之后Gauss走到Sinc跟前低声说了一句话就走了。 Gauss叫Sinc去他家。然而Sinc不想一个人去，倒不是怕Gauss亏待他：因为Gauss有长长的衣角，他家连门都没有，应该说，连墙都没有，只是一块空地而已，否则他回不了家。这对来做客的人来说很安全，只是Sinc觉得和Gauss这样的前辈呆在一起并不自在。于是他叫上了好友Bessel 一同前往，这样就感觉舒服很多了。到了Gauss家所在的那块草地上，Gauss对Sinc说，“麻烦来了……”随即从书架上拿下一本金边皮制封皮的大书。
居民们还在广场上讨论Trapez的伤势，这时候有人从城边跑来说，外面来了怪物，于是Sech和另外几个人爬上钟楼眺望。往Functia镇移动而来的是一个像栅栏一样的东西，无数一模一样的尖刺排成一排，两边都无穷无尽。这样一个栅栏居然整个缓缓的移动而来。Sech跟人们一描述， Trapez立刻回想起在自己摔倒以后，见到了类似的东西，它非常危险。镇上有个叫Laplace的家伙很有责任心，听说有人要来攻打，便头也没回就往小镇外走去。他是镇上最强壮的人，有个尖脑袋，左右两个手臂是指数衰减的，比Gauss那种指数平方衰减的袍子可是粗壮了很多。他这个体型被搞概率学家称为Laplace分布，所以得到这个绰号。如果他转过身来，虽然脑袋变得圆了一些，但是手臂更粗壮，达到平方分之一的多项式量级！每当有危险的时候，Laplace总是冲在前面，这让所有functians都感到放心。可这次让Laplace没想到的是，那个怪物栅栏是会魔法的。他刚接近怪物，就一下也变成了尖刺排列的形状，只是尖刺的长度还是原来身体的形状。他像 Trapez一样，也被“采样”了。最强壮的人都抵挡不住，难道这个尖刺军团要让所有的村民都面目全非么？有居民想，也许从另一个角度可以看到怪物转身后的样子，只要别是这种栅栏形，怎么都好说。可是Sech从钟楼眺望，发现即使换个角度看，这个怪物还是同样的形状。它竟然和Gauss，Sech一样，是个转身也不变的家伙！没有弱点，不能攻破。与此同时Gauss还在家里和Sinc，Bessel谈话。Gauss对着书说，“马上会有一个叫Comb的怪物来了，他学名叫Dirac Array，是Dirac Delta异化，也就是，复制好多份的结果……很久以前这个Dirac Delta曾经作乱，用乘积魔法把别人也变得和他一样……”Sinc问，“等等，你是说乘积魔法真的存在？”Gauss答道，“的确存在啊，只是因为破坏力太大，所以不使用这个魔法已经演化为一种道德，被人们无条件的接受了……Dirac Delta的魔法威力虽然很大，但是他本人的弱点也很明显，就是只要他转身，或者人们绕到他另一侧，就会发现他变成了一个平坦的常函数模样，无论他怎么使用乘积魔法也没有效果了。所以那次作乱事件，Dirac Delta只能偷袭别人……现在他可能是和许多受害者----被变成和他一样的人----融为一体，形成了一个梳子形状，所以就算他转身，也逃不过他的魔爪……”听到这里，Sinc绝望了，广场上也传来了嘈杂的声音，那是Sech在跟大家描述那只怪物。Gauss继续说，“有些人管Comb施乘积魔法叫采样。Sinc你知道么，也有一些人管你叫采样函数……”“吓，莫非我和这个怪物有什么关系？”“的确是的，因为如果你能放出乘积魔法的话，你可以干掉这个怪物……你看你的样子，你拖在地上的衣服，在某些位置是没有的。调整好这些等间距的零点的话，恰好可以把Comb的尖刺和零点对准，然后用乘积一网打尽。只剩下中间一个尖刺，它是你的脑袋的位置，没法消除。不过这样的结果就是让Comb 从Dirac阵列还原成了Dirac Delta本身，然后人们就可以容易的回避他了……”尽管Gauss的话太学术了，不过到了紧要关头，Sinc和Bessel也只能忍耐一下这枯燥而准确的语言。Sinc咽了一下口水，我原来有这个使命，还是命中注定圣战中的the one，心里紧张啊。Bessel也觉得Sinc这个行动太危险了，万一没对准反被Comb搞定的话还不如逃命。Bessel瞅着Sinc，对Gauss说，“让我上，我的模样和Sinc很像的。”Gauss说，“唉，钦佩你的勇气，但是遗憾的是，Bessel***，你的零点并不是等间距的，没法一下把Comb这个可恶的怪物消灭。”Sinc还是很疑惑，“究竟谁会使用这个早已失传的乘积魔法呢？”“难道你不会么？到这个时候就别隐瞒了啊，不是有不少人说你……”“虽然有流言，但那是瞎话，我一点也不信呢。这可怎么办，书里写了怎么用么？”Gauss眼中一亮“而我的确会啊……我教给你……”镇长，胖归胖，看来的确是有些手段的……就这样，镇长把魔法的咒语和要领教给了Sinc，然后和Bessel一起仔细丈量调整Sinc的衣服，也就是零点的位置。当调整到没有任何误差后，Bessel给了Sinc最好的祝福。
Functia (3)Functia处在前所未有的危机中，Sinc在Gauss的指导下担负起了降伏Comb这个尖刺军团怪物的重任，即将出征。正当他们转身要走时，只见Sinc的好友Lambda在Gauss家外的小路上，也正要匆匆离去。原来Lambda跟着他们一起来，听到了乘积魔法的使用方法。而且他自己的零点，和Sinc是一模一样的，所以他自己调整尺寸以后要代替好友去迎敌了。Sinc看到Lambda的衣服如自己一样前所未有的整齐，就知道事情不妙，要追赶已经来不及，Lambda一溜烟跑远了，毕竟Lambda比Sinc瘦一点。据说Lambda快速跑动的时候，另一面的人看到他三角形的一面，相位在极速变化。镇上的居民们看见Lambda冲向了逼近小镇的怪物Comb，边奔跑边对准，边准备念咒语施魔法。Comb其实也在准备施魔法了，只是因为他的身体只有尖刺，所以看不到他念咒语的样子。就在他们相遇的刹那，“MULTIPLICARE！”两人同时喊出咒语用出了魔法。结果，真的相乘了，由于两人的魔法都生效，他们融为一体，只剩下一个乘积functian。乘积就是Dirac Delta，一根尖刺，光杆一根！Lambda成功把一个阵列还原成了一根尖刺了。Delta看到自己的模样，多少年的功夫全都白费，关键还是见到有人也使出了乘积魔法，不禁怒气冲天，独自像小镇冲来。这显然已经是不理智的举动了，因为他虽然头仍然很尖，杀伤范围却也很小，而且现在不是偷袭了。这回正赶上Sinc在路上等他，Delta冲过来，Sinc侧身变成矩形闪过他。Delta反到把自己常函数的一面暴露出来，“MULTIPLICARE！”Sinc立刻使用乘积魔法，一道光闪过，Delta也被变成了矩形的模样，和Sinc一模一样。Delta没了尖头，仿佛老虎被拔掉了牙齿，立刻失去了斗志。居民一拥而上，Delta还没来得及念咒语就被制服了。敌人被消灭了，可是Lambda和Comb融为一体成为新的Delta，旅行家Trapez和大力士Laplace都受伤了。该怎么办呢？Gauss又出来指挥，要让Sinc帮忙了。Sinc变成了矩形，调整好尺寸，对着Trapez的侧面，就是那个像人形拉花的无穷的队伍使出乘积魔法，滤掉了所有的副本，只剩下原本的一个身体，这样Trapez基本上就恢复了原来的样子。唯一的缺憾是Trapez那个形态原本无限长的衣角被滤掉，造成了一点影响，梯形的样子也不是完美的梯形了，有点像笔挺的衣服被弄皱了。接着Sinc对Laplace做了同样的治疗，使他也基本复原。最后面对已经变成矩形的Delta，他其实是恶魔Comb和好友Lambda的融合体，Sinc还希望做点什么。Gauss建议他用两个矩形卷积来恢复Lambda的三角形外貌。Sinc说，“好吧，我也希望能这样。你一定也会卷积魔法吧，肯教给我么？”Gauss笑道“你是镇上的英雄了，我怎么可能不肯教给你。但是你实际上已经会了啊，只要先转身，再乘积，然后再转身就是卷积魔法了啊……”“原来是这样！”Sinc这样做了，他又看到了Lambda的三角脑袋。Delta的意志似乎已经从那个躯壳中淡出，Lambda在好友Sinc的反复操作下控制住了这个身体。至此，一切问题都被解决了，友谊万岁。
第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有人说这不好），比如方差给定时熵最大。就像圆形是平面国Flatland里当之无愧的国王一样，Gauss也是Functia当之无愧的镇长。他要退休，这怎么让人接受呢？Gauss看着外面，对Sinc娓娓道来，“很久以前我也和大伙一样，有这样那样的特点和缺点，身上有点不连续啊，有点不可导之类的地方。这其实也没什么，人人都是这样的。后来我找到了一本古书，其中记载了乘积魔法，以及用它来卷积的方法。虽然知道这是很危险的招数，但是我还是好奇的在我自己身上试验，一次一次的对着镜子和自己卷积。最终的结果，经过数不清的试验，我就变成了现在的样子，得到了很多崇拜，也凭着许多知识当了镇长。其实我并非天生特别……可是你知道未来会变成什么样的么？”“未来？”这个词Sinc自然是懂得的，但却从没想过。因为Functia的生活如此悠闲自在，没人需要真正希望以后会 变 成 什么其他的样子。“未来，将会有一天，怪物Comb将会再次来袭。那时候，每一个连续的functian都会被采样，变成尖刺组成的形状，转身后的样子都会是一个无穷长的队列。不仅如此，这个无穷长的队列还会再次被采样，所以在原来的方向上，尖刺组成的形状也会被复制无数份排列起来。这样无论从那个角度看，就都是无数个尖刺了，还反复周期性得排列起来，而人们只关心我们在一个周期内的样子……”Sinc虽然不能完全理解，但也实在听不下去了，这就是我们functians的未来么？我们都会变成Comb那种鬼样子？“但是只要你Sinc还在，我们就还有希望……你是一把钥匙，只要你去使用乘积，卷积的魔法，我们的原形就能恢复。许多人都能做类似的事，Trapez，Bessel，Butterworth，甚至我也可以，但是谁的天赋都没有你好，毕竟你是一个理想的滤波器啊……所以你可以照顾好Functia所有的人，渡过那段黑暗无比的 离散化 的未来。这股浪潮一来，我这个Gauss的身躯就是一点用都没有了啊，所以我想让你当镇长……”Sinc从没想过自己或是傻而方的身体，或是上下翻腾的衣角有这么重要的使命，“能拯救所有被采样的functian？”但是想想可怕的怪物Comb，想想Gauss的话“将会有一天，每一个连续的functian都会被采样”，感到能维持或者恢复现在和睦的生活，对任何人，都是最好的事情。其实他心里还是更想让Gauss在位，因为Gauss几乎成了这安宁生活的一个象征，而自己上任，其实意味着灾难和拯救。当天下午进行了全体functian投票。新英雄Sinc全票当选镇长，他是唯一的候选人。（完）
引用 的话：第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有人说这不好...我竟然看完了。。。
傅里叶真的有那么重要么，还没学呢，就被它吓怕了。。。
看了这贴????觉得大学里面教数学的老师们都是aho~
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角 &的所有三角函数
三角函数（Trigonometric）是数学中属于中的的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷的极限和微分方程的解，将其定义扩展到系。它包含六种基本函数：、、、、、。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
定义级数定义三角函数线起源特殊角的三角函数相关概念高等应用性质定理
应用：一元三次方程
复数三角函数
三角函数常见考法
　　如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个，其中&ACB为直角。对于AB与AC的夹角&BAC而言：
　　（opposite）a=BC 　　（hypotenuse）h=AB 　　邻边（adjacent）b=AC 　　
&A的对边比斜边
&A的邻边比斜边
&A的对边比邻边
&A的邻边比对边
&A的斜边比邻边
&A的斜边比对边　
注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
　　除了上述六个常见的，还有一些不常见的三角函数：
与常见函数关系
versin&=1-cos&
vercosin&=1+cos&
coversin&=1-sin&
covercosin&=1+sin&
haversin&=(1-cos&)/2
havercosin&=(1+cos&)/2
hacoversin&=(1-sin&)/2
hacovercosin&=(1+sin&)/2
exsec&=sec&-1
excsc&=csc&-1
　　六个三角函数也可以依据为1为原点的来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有和辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 &/2 之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都了。根据，
单位圆的是：x^2+y^2=1 　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是，而顺时针的度量是。设一个过的线，同 x轴正半部分得到一个角 &，并与单位圆相交。这个交点的 x和 y坐标分别等于cos&和sin&。图像中的三角形确保了这个；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin&= y/1 和 cos&= x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 　　对于大于 2& 或小于等于2& 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2&的：对于任何角度 &和任何k。 　　周期函数的叫做这个函数的&&。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2& 弧度或 360&；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 & 弧度或 180&。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
　　在正切函数的图像中，在角 k& 附近变化缓慢，而在接近角 (k+ 1/2)& 的时候变化迅速。正切函数的图像在 & = (k+ 1/2)& 有垂直。这是因为在 & 从左侧接进 (k+ 1/2)& 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k+ 1/2)& 的时候函数接近负无穷。
　　另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O的单位圆来定义，类似于历史上使用的定义。特别 是，对于这个圆的AB，这里的 & 是对向角的一半，sin &是 AC（半弦），这是印度的介入的定义。cos& 是水平距离 OC，versin &=1-cos&是CD。tan&是通过 A的的AE的长度，所以这个函数才叫正切。cot&是另一个切线段 AF。 sec&=OE和 csc&=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的。DE是 exsec&= sec&-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 & 接近 &/2的时候发散，而余割和余切在 & 接近零的时候发散。
　　只使用几何和的性质，可以证明正弦的是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用的理论来证明下列恒等式对于所有x都成立：
　　这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在中），因为的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和便可以单独从级数定义来确立。 　　其他级数可见于：
　　注：Un是n次上/下数， 　　Bn是n次，
　　依据单位圆定义，我们可以做三个（）来表示正弦、余弦、正切的值。 　　如图所示，圆O是一个单位圆，P是&的与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴的交点，过S点做圆O的切线l。 　　那么向量MP对应的就是&的，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或）与l的交点为T，则向量ST对应的就是。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 　　借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角&的正弦值为正，值为负，值为负。 　　1．定义 　　锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 　　（sin）等于对边比斜边； 　　余弦（cos）等于邻边比斜边； 　　正切（tan）等于对边比邻边； 　　（cot）等于邻边比对边； 　　（sec)等于斜边比邻边； 　　(csc)等于斜边比对边。 　　2．互的 　　sin(90&-&)=cos&， cos(90&-&)=sin&, 　　tan(90&-&)=cot&， cot(90&-&)=tan&。 　　3．同角三角函数间的关系 　　商数关系： 　　sinA/cosA=tanA 　　&关系： 　　sin^2(A)+cos^2(A)=1 　　&积的关系： 　　sinA=tanA&cosA 　　cosA=cotA&sinA 　　cotA=cosA&cscA 　　tanA&cotA=1 　　&关系： 　　直角三角形ABC中 　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边， 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边, 　　余切等于邻边比对边 　　4.　　（1）特殊角三角函数值 　　（2）0&～90&的任意角的三角函数值，查三角函数表 　　（3）锐角三角函数值的变化情况 　　（i）锐角三角函数值都是正值 　　（ii）当角度在0&～90&间变化时， 　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 　　（iii）当角度在0&&&A&90&间变化时， 　　0&sin&&1, 1&cosA&0 　　当角度在0&&&A&90&间变化时， 　　tanA&0, cotA&0 　　特殊的三角函数值 　　
&锐角三角函数&属于三角学，是《课程标准》中&与图形&的 重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研 究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章&锐角三角函数&。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角 形、三角函数、和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
　　&&，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。 现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,)，他在1595年出版一本著作《三角学：解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由&&&&&&&&(三角 学)及&&&&&& &(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此 解三角形构成了古代三角学的实用基础。 　　早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开 始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始 森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉 水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确的道路。 　　就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
　　三角学理论的基础，是对三角形各之 间相依关系的认识。一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展 成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置 关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测 星球时所采用的角度来反映的(如图一)；角度(&ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能 不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题－制造弦表。所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查 阅的表 (如图二)，AC的长度与&ABC的大小之间的对应关系。
　　虽然后期的阿拉伯已经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。 　　雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰●谬勒的笔名。他生于哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。
　　1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支。
　 　直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来 的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由作 出的。1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：&三角函数是一种函数线与圆半径的比值&。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为 是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比 值(如图八)，sin&=MP/OP，cos&=OM/OP，tan&= MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。 　　尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。
　　公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。 　　三角学中&正弦&和&余弦&的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。
　　我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与&AOC对应(如图五 )，这样，他们造出的就不再是&全弦表&，而是&正弦表&了。 　　印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为&吉瓦&，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为&阿尔哈吉瓦&。后来&吉瓦&这个词译成阿拉伯文时被误解为&弯曲&、&凹处&，阿拉伯语是 &dschaib&。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了&sinus&。 　　三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sinus译为&正半弦&，简称&正弦&，这就成了正弦一词的由来。
　 　根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A&C&，A&&C&&&之间的距离。然而，第一 张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前180~前125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这 就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元 二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。 　　据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分， 把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把 它们分别取名为&partes minutae primae&和&partes minutae secundae&；后来，这两个名字演变为&minute&和&second&，成为现在角和时间的度 量上&分&和&秒&这两个单位得起源。 　　建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60&弧(1/6圆)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60&弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位)；用同样的方法，可以算出120&弧、90&弧以及72&弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用现在所称的&&，来推算两条已知所对弦长的弧的&和&与&差&所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。
　　60进制以度为单位，将圆周分成360等份，每一份所对的叫做1度，1度等于60分，1分等于60秒。在时间上,1小时有60分，1分有60秒。这种60进制起源于巴比伦是1854年由欣克斯(Edward Hincks，) 研究泥板上的文字所发现的,这些泥板是公元前年的遗物。Edward Hincks 是爱尔兰人，以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称于世。 　　巴比伦人为什么用60作为进位的呢？这是很有趣的问题，引起后人的种种猜测。以下我就列举几个有趣的例子。 　　(1)数学史家M.康托尔(Moritz Benedikt Cantor,)曾认为他们最初以360天为一年。将圆周分为360度，太阳就每天行一度。又圆内恰好可以连续作6条等于半径长的弦, 每一条弦所对的长是60度，基数60或者由此而来。但根据考证,巴比伦人很早就知道太阳年是365日，太阴年(12个月)是354或355日,因此这种假 说很难成立。康托尔后来也放弃了这种说法。 　　(2)60这个的选择是因为它是许多简单数字2，3，4，5，6，10，12，&&的，从而它的1/2，1/3，1/4， 1/5，&&都是整数,用起来比较方便。这种想法早在希腊时代的赛翁就已指出，近年来又有 勒夫勒等人提倡。然而有人认为这是违反历史事实的,因为记数制度不可能由某些学者为了&科学目的&自由创造出来，而是悠久历史发展的结果。 　　(3)克维奇(G.Kewitsch)在1904年提出,当时两河流域有两个民族，1个用10 进制，一个用6进制。两种制度混合调和就形成60进制。10进制是容易理解的，因为人们用10个指头来计算,而6进制是用一只手来计算，5个指头表示1至 5，握拳表示6，6以上，就要进位了。其实有几种意见认为是和指算有关。用手指计算的确在某些地区和年代流行过,甚至在近代也是如此。像我国也有&掐指一 算&的说法。 　　总之，对于基数60的起源,至今还没有一致公认的看法。中国在殷商时代(公元前16-11世纪),就开始用干支纪日、纪年，从甲子起，60一个循环,周而复始，叫做六十花甲子。可以说和巴比伦异曲同工,不过没有发展为进位值。 　　*希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了&三角学之父&的称谓。
　　在三角函数中，有一些特殊角，例如30&、45&、60&，这些角的三角函数值为简单，计算中可以直接求出具体的值。 　　这些函数的值参见右图：
sin^2(&)+cos^2(&)=1 cos(2&)=cos^2(&)-sin^2(&)=1- 2sin^2(&)=2cos^2(&)-1
sin(2&)=2sin(&)cos(&)
tan^2(&)+1=1/cos^2(&)
2sin^2(&)=1-cos(4&)
cot^2(&)+1=1/sin^2(&)
sin&=tan&&cos&
cos&=cot&&sin&
tan&=sin&&sec&
cot&=cos&&csc&
sec&=tan&&csc&
csc&=sec&&cot&
　tan& &cot&=1
sin& &csc&=1
cos& &sec&=1
　sin&/cos&=tan&=sec&/csc&
cos&/sin&=cot&=csc&/sec&
　　180度-&的终边和&的终边关于y轴。
　　-&的终边和&的终边关于x。
　　180度+&的终边和&的终边关于原点对称。
　　90度-&的终边和&的终边关于y=x对称。
设&为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
　sin（2k&+&）=sin&
cos（2k&+&）=cos&
tan（2k&+&）=tan&
cot（2k&+&）=cot&
sec（2k&+&）=sec&
csc（2k&+&）=csc&
设&为任意角，&+&的三角函数值与&的三角函数值之间的关系
　sin（&+&）=－sin&
cos（&+&）=－cos&
tan（&+&）=tan&
cot（&+&）=cot&
sec(&+&)=-sec&
csc(&+&)=-csc&
任意角&与 -&的三角函数值之间的关系
　sin（－&）=－sin&
cos（－&）=cos&
tan（－&）=－tan&
cot（－&）=－cot&
sec(-&)=sec&
csc(-&)=-csc&
利用公式二和公式三可以得到&-&与&的三角函数值之间的关系
　sin（&－&）=sin&
cos（&－&）=-cos&
tan（&－&）=－tan&
cot（&－&）=－cot&
sec(&-&)=-sec&
csc(&-&)=csc&
利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到&-&与&的三角函数值之间的关系
sin（&-&）=－sin&
cos（&-&）=－cos&
tan（&-&）=tan&
cot（&-&）=cot&
sec(&-&)=-sec&
csc(&-&)=－csc&
利用公式一和公式三可以得到2&-&与&的三角函数值之间的关系
　sin（2&－&）=－sin&
cos（2&－&）=cos&
tan（2&－&）=－tan&
cot（2&－&）=－cot&
sec(2&-&)=sec&
csc(2&-&)=-csc&
&/2&&及3&/2&&与&的三角函数值之间的关系
　sin（&/2+&）=cos&
cos（&/2+&）=－sin&
tan（&/2+&）=－cot&
cot（&/2+&）=－tan&
sec(&/2+&)=-csc&
csc(&/2+&)=sec&
sin（&/2－&）=cos&
cos（&/2－&）=sin&
tan（&/2－&）=cot&
cot（&/2－&）=tan&
sec(&/2-&)=csc&
csc(&/2-&)=sec&
sin（3&/2+&）=－cos&
cos（3&/2+&）=sin&
tan（3&/2+&）=－cot&
cot（3&/2+&）=－tan&
sec(3&/2+&)=csc&
csc(3&/2+&)=-sec&
sin（3&/2－&）=－cos&
cos（3&/2－&）=－sin&
tan（3&/2－&）=cot&
cot（3&/2－&）=tan&
sec(3&/2-&)=-csc&
csc(3&/2-&)=-sec&
导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
　　90&的奇数倍+&的三角函数，其与&三角函数的绝对值互为。90&的倍+&的三角函数与&的三角函数绝对值相同。也就是&奇余偶同，奇变偶不变&。
　　定号法则
　　将&看做锐角（注意是&看做&），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是&象限定号，符号看象限&。（或为&奇变偶不变，符号看象限&)。
　　在K&/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。看原函数中&所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。）还可简记为：sin上cos右tan对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan的正值斜着。
　　比如：90&+&。定名：90&是90&的奇数倍，所以应取余函数；定号：将&看做锐角，那么90&+&是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90&+&)=cos& , cos(90&+&)=-sin& 这个非常神奇，屡试不爽~
　　还有一个口诀&纵变横不变，符号看象限&，例如：sin(90&+&)，90&的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将&看做锐角，那么90&+&是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90&+&)=cos&。
　　y=sinx 对称轴：x=k&+&/2（k&z) 对称中心：(k&，0）（k&z)
　　y=cosx 对称轴：x=k&（k&z) 对称中心：（k&+&/2，0）(k&z)
　　y=tanx 对称轴：无 对称中心：（k&，0）(k&z)
　　cos(&+&)=cos&&cos&-sin&&sin&
　　cos(&-&)=cos&&cos&+sin&&sin&
　　sin(&&&)=sin&&cos&&cos&&sin&
　　tan(&+&)=(tan&+tan&)/(1-tan&&tan&)
　　tan(&-&)=(tan&-tan&)/(1+tan&&tan&)
　　sin&+sin&=2sin[(&+&)/2]cos[(&-&)/2]
　　sin&-sin&=2cos[(&+&)/2]sin[(&-&)/2]
　　cos&+cos&=2cos[(&+&)/2]cos[(&-&)/2]
　　cos&-cos&=-2sin[(&+&)/2]sin[(&-&)/2]
　　sin&&cos&=(1/2)[sin(&+&)+sin(&-&)]
　　cos&&sin&=(1/2)[sin(&+&)-sin(&-&)]
　　cos&&cos&=(1/2)[cos(&+&)+cos(&-&)]
　　sin&&sin&=-(1/2)[cos(&+&)-cos(&-&)]
　　sin(2&)=2sin&&cos&=2/(tan&+cot&)
　　cos(2&)=cos^2&-sin^2;&=2cos^2;&-1=1-2sin^2;&　
　　tan(2&)=2tan&/(1-tan^2;&)
　　cot(2&)=(cot^2;&-1)/(2cot&)
　　sec(2&)=sec^2;&/(1-tan^2;&)
　　csc(2&)=1/2*sec&&csc&
　　sin(3&) = 3sin&-4sin^3;& = 4sin&&sin(60&+&)sin(60&-&)
　　cos(3&) = 4cos^3;&-3cos& = 4cos&&cos(60&+&)cos(60&-&)
　　tan(3&) = (3tan&-tan^3;&)/(1-3tan^2;&) = tan&tan(&/3+&)tan(&/3-&)
　　cot(3&)=(cot^3;&-3cot&)/(3cot&-1)
　　sin(n&)=ncos^(n-1)&&sin&-C(n,3)cos^(n-3)&&sin^3&+C(n,5)cos^(n-5)&&sin^5&-&
　　cos(n&)=cos^n&-C(n,2)cos^(n-2)&&sin^2&+C(n,4)cos^(n-4)&&sin^4&-&
　　sin(&/2)=&&((1-cos&)/2)
　　cos(&/2)=&&((1+cos&)/2)
　　tan(&/2)=&&((1-cos&)/(1+cos&))=sin&/(1+cos&)=(1-cos&)/sin&
　　cot(&/2)=&&((1+cos&)/(1-cos&))=(1+cos&)/sin&=sin&/(1-cos&)
　　sec(&/2)=&&((2sec&/(sec&+1))
　　csc(&/2)=&&((2sec&/(sec&-1))
　　Asin&+Bcos&=&(A^2;+B^2;)sin(&+arctan(B/A))
　　Asin&+Bcos&=&(A^2;+B^2;)cos(&-arctan(A/B))
　　sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2))
　　cos(a)= (1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2))
　　tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))
　　sin^2;&=(1-cos(2&))/2=versin(2&)/2
　　cos^2;&=(1+cos(2&))/2=covers(2&)/2
　　tan^2;&=(1-cos(2&))/(1+cos(2&))
　　sin(&+&+&)=sin&&cos&&cos&+cos&&sin&&cos&+cos&&cos&&sin&-sin&&sin&&sin&
　　cos(&+&+&)=cos&&cos&&cos&-cos&&sin&&sin&-sin&&cos&&sin&-sin&&sin&&cos&
　　tan(&+&+&)=(tan&+tan&+tan&-tan&&tan&&tan&)&(1-tan&&tan&-tan&&tan&-tan&&tan&)
　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=&cnxn (n=0..&)
　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=&cn(x-a)n (n=0..&)
　　它们的各项都是幂的, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。
　　泰勒展开式又叫幂级数展开法
　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+&&
　　实用幂级数：
　　e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+&&+x^n/n!+&&
　　ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-&&+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|&1)
　　sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-&&+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+&&。 (-&&x&&)
　　cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-&&+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+&& (-&&x&&)
　　arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + &&(|x|&1)
　　arccos x = & - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + && ) (|x|&1)
　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -&&(x&1)
　　sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+&&+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+&& (-&&x&&)
　　cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+&&+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+&&(-&&x&&)
　　arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - && (|x|&1)
　　arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + &&(|x|&1)
　　在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数、等等。
　　傅里叶级数又称三角级数
　　f(x)=a0/2+&(n=0..&) (ancosnx+bnsinnx)
　　a0=1/&&(&..-&) (f(x))dx
　　an=1/&&(&..-&) (f(x)cosnx)dx
　　bn=1/&&(&..-&) (f(x)sinnx)dx
　　正弦：第一，二象限为正，第三，四象限为负
　　余弦：第一，四象限为正，第二，三象限为负
　　正切：第一，三象限为正，第二，四象限为负
　　1、：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为的半径)
　　2、第一：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC
　　3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc&cosA
　　4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)
　　5、三角形中的恒等式：
　　对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
　　证明：
　　已知(A+B)=(&-C)
　　所以tan(A+B)=tan(&-C)
　　则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan&-tanC)/(1+tan&tanC)
　　整理可得
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
　　类似地，我们同样也可以求证:当&+&+&=n&(n&Z)时，总有tan&+tan&+tan&=tan&tan&tan&
　　三角函数图像：
　　sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕
　　tan(x)的定义域为x不等于&/2+k&，值域为R
　　cot(x)的定义域为x不等于k&,值域为R
　　y=a&sin(x)+b&cos(x)+c 的值域为 [ c-&(a²+b²) , c+&(a²+b²）]
　　以y=sinx的图像为例，得到y=Asin(&x+&)的图像：
　　方法一：
　　y=sinx&【左移(&&0)/右移(&&0) |||&|个单位】
&y=sin(x+&)&【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/&)】&y=sin(&x+&) &【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A&1] /
缩短[0&A&1])】& y=Asin(&x+&)
　　方法二：　　y=sinx&【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/&)】&y=sin&x&【左移(&&
0)/右移(&&0）|&|/& 个单位】&y=sin(&x+&) &【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A&1] /
缩短[0&A&1])】& y=Asin(&x+&)
　　y=sinx---y'=cosx
　　y=cosx---y'=-sinx
　　y=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2x
　　y=cotx---y'= -1/sin^2x= - csc^2x
　　y=secx---y'=secxtanx
　　y=cscx---y'=-cscxcotx
　　y=arcsinx---y'=1/&(1-x²)
　　y=arccosx---y'= -1/&(1-x²)
　　y=arctanx---y'=1/(1+x²)
　　y=arccotx---y'= -1/(1+x²)
　　备注：此处² 是对前式进行平方：x² 也即 x^2
　　如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为&3/2
　　三角函数的，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将的值y限在y=-&/2&y&&/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0&y&&；y=arctan x的主值限在-&/2&y&&/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0&y&&。
　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
　　反三角函数主要是三个：
　　y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-&/2,&/2]，图象用红色线条；
　　y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,&]，图象用蓝色线条；
　　y=arctan(x)，定义域(-&，+&)，值域(-&/2,&/2)，图象用绿色线条；
　　sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 [-&/2,&/2]
　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
　　其他几个用类似方法可得。
　　中三角函数的表示(由泰勒级数易得)：
　　sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)
　　cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2
　　tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]
　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+&+z^n/n！+& ?
　　此时三角函数已推广至整个集。
　　&三角函数作为方程的解：
　　对于组 y=-y'';y=y''''，有通解Q，可证明
　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数－－，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
　　（1）对于z为实数y来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。
　　（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的。
　　（3）在复数域内不能再断言|sinz|?1,|cosz|?1。
　　（4）sinz、cosz分别为，，且以2&为周期。
　　(5) 棣莫佛(De Moivre)定理　设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cos&1+isin&1) ,Z2=r2(cos&2+isin&2),则： Z1Z2=r1r2[cos(&1+&2)+isin(&1+&2)].
　　三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。
　　对于边长为 a, b和 c而相应角为 A, B和 C的三角形，有：
　　sinA / a = sinB / b = sinC/c
　　也可表示为：
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
　　变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
　　其中R是三角形的外接圆半径。
　　它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过 A, B和 C三点的圆的的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。
　　对于边长为 a, b和 c而相应角为 A, B和 C的三角形，有：　c^2=a^2+b^2－2ab&cosC.
　　也可表示为：
　　cosC=（a^2+b^2－c^2）/ 2ab.
　　这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
　　如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。
　　对于边长为 a, b和 c而相应角为 A, B和 C的三角形，有：
　　(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]
　　的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。
　　一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d&R，且a&0）
　　重根：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd。
　　总判别式：&D=B^2－4AC。
　　当&D=B^2－4AC&0时，④：
　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(&/3))/(3a)
　　X(2，3)=(－b+A^(1/2)(cos(&/3)&3^(1/2)sin(&/3)))/(3a)，
　　其中&=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A&0，－1&T&1)。
　　在利用解三次方程时，对于x^3+px+q=0，有
　　x1=&(-p/3)cos(&P/3)
　　x2=&(-p/3)cos(&P/3+2&/3)
　　x3=&(-p/3)cos(&P/3+4&/3)
　　对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0，只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解。
　　例：一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积，取长&高&宽），满储水量为10082.44(dm)^3，立体为1903.17dm，问：如何施工才能达到设计要求？
　　解：设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意：
　　X⑴+X⑵+X⑶=70.5
　　X⑴&X⑵&X⑶=10082.44
　　X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1903.17。
　　解这个方程组。
　　根据，得一元三次方程：
　　X^3－70.5X^2+1533.54X－
　　a=1，b=－70.5，c=1533.54，d=－10082.44。
　　A=369.63；B=－17372.61；C=6，
　　&D=－&0。
　　根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。
　　应用盛金公式④求解。
　　&=90&。
　　把有关值代入盛金公式④，得：
　　X⑴=12.4(dm)；X⑵=34.6(dm)；X⑶=23.5(dm)。
　　经检验，结果正确。
　　因为取长&高&宽，
　　所以，应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工。
　　sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa
　　=sinachb+ishbcosa
　　cos(a-bi)=coscosbi+sinbisina
　　=cosachb+ishbsina
　　tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)
　　cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)
　　sec(a+bi)=1/cos(a+bi)
　　csc(a+bi)=1/sin(a+bi)
　　本节知识在段考中是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。