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贴数:11&分页:lovefrom发信人: lovefrom (lovefrom), 信区: Mathematics
标&&题: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Fri Sep&&9 12:26:25 2016), 站内 && 设：S是一个3维欧式空间，A1,B1,C1,D1是共面的四点且任意三点不共线，A2,B2,C2,D2也是共面的四点且任意三点不共线。
问：是否存在S上的一个刚体变换T和S中的一个点O，使得四点T（A1）,T（B1）,T（C1）,T（D1)到四点A2,B2,C2,D2的对应4条连线交于同一点O或者4条连线相互平行。 && 上面这个问题如果降维简化到2维欧式空间***线的3个点A1,B1,C1,和A2,B2,C2的时候，结论显然是正确的，但是4个点的情形是否也正确呢？ && 注：因为原来命题要求“4条连线交于同一点O”，而五楼网友gtgtjing给出了一个反例，即正方形不能透视成长方形，所以我把条件已经重新改成了“4条连线交于同一点O或者4条连线相互平行”。
※ 修改:·lovefrom 于 Sep 11 11:49:26 2016 修改本文·[FROM: 115.154.18.*]
※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 115.154.18.*]
形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Fri Sep&&9 12:45:19 2016), 站内 && 从维数上看应该是对的。 && 【 在 lovefrom (lovefrom) 的大作中提到: 】
: 设：S是一个3维欧式空间，A1,B1,C1,D1是共面的四点且任意三点不共线，A2,B2,C2,D2也是共面的四点且任意三点不共线。
: 问：是否存在S上的一个刚体变换T和S中的一个点O，使得四点T（A1）,T（B1）,T（C1）,T（D1)到四点A2,B2,C2,D2的对应4条连线交于同一点O
: 上面这个问题如果降维简化到2维欧式空间***线的3个点A1,B1,C1,和A2,B2,C2的时候，结论显然是正确的，但是4个点的情形是否也正确呢？
: ...................
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 166.111.24.53]
lovefrom发信人: lovefrom (lovefrom), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Fri Sep&&9 12:51:20 2016), 站内 && 从维数上看是什么意思？ && 【 在 deformation 的大作中提到: 】
: 从维数上看应该是对的。
:&& && -- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 115.154.18.*]
形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Fri Sep&&9 12:59:23 2016), 站内 && 四个点12维，共面条件去掉1维，刚体运动去掉6维，还剩5维。
交点贡献3维，运动完的四点所在的平面3维，加起来一共6维。 && 6比5大，所以感觉可以。但这不是证明，证明的话还得算算。 && 【 在 lovefrom (lovefrom) 的大作中提到: 】
: 从维数上看是什么意思？
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 166.111.24.53]
lovefrom发信人: lovefrom (lovefrom), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Fri Sep&&9 16:49:52 2016), 站内 && 哦，谢谢 && 【 在 deformation 的大作中提到: 】
: 四个点12维，共面条件去掉1维，刚体运动去掉6维，还剩5维。
: 交点贡献3维，运动完的四点所在的平面3维，加起来一共6维。
: 6比5大，所以感觉可以。但这不是证明，证明的话还得算算。
: ...................
&& -- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 113.200.58.*]
哦发信人: gtgtjing (哦), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Sat Sep 10 16:53:11 2016), 站内 && 用一个平面去截一个底面是正方形的四棱锥的四个侧面，能截出一个长方形吗？
【 在 lovefrom 的大作中提到: 】
: 设：S是一个3维欧式空间，A1,B1,C1,D1是共面的四点且任意三点不共线，A2,B2,C2,D2也是共面的四点且任意三点不共线。
: 问：是否存在S上的一个刚体变换T和S中的一个点O，使得四点T（A1）,T（B1）,T（C1）,T（D1)到四点A2,B2,C2,D2的对应4条连线交于同一点O
: 上面这个问题如果降维简化到2维欧式空间***线的3个点A1,B1,C1,和A2,B2,C2的时候，结论显然是正确的，但是4个点的情形是否也正确呢？
-- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 114.246.236.*]
咕咕发信人: hyk84 (咕咕), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Sat Sep 10 19:23:45 2016), 站内 && 如果四棱锥的侧棱都看成直线呢？应该可以吧 && 【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 用一个平面去截一个底面是正方形的四棱锥的四个侧面，能截出一个长方形吗？
&& -- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 36.248.235.*]
哦发信人: gtgtjing (哦), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Sat Sep 10 20:26:44 2016), 站内 && 就是这个意思，可以吗？要求截面的对边平行且相等
【 在 hyk84 (咕咕) 的大作中提到: 】
: 如果四棱锥的侧棱都看成直线呢？应该可以吧
&&&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 114.246.236.*]
咕咕发信人: hyk84 (咕咕), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Sat Sep 10 22:40:24 2016), 站内 && 截面跟正方形底面垂直，平行于正方形一边
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 就是这个意思，可以吗？要求截面的对边平行且相等
:&& && -- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 36.248.235.*]
lovefrom发信人: lovefrom (lovefrom), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 问一个有关射影几何的问题
发信站: 水木社区 (Sun Sep 11 11:31:07 2016), 站内 && 呀，确实截不出长方形！
因为，如果设A1,B1,C1,D1按照顺序连接起来是正方形，设直线（A1,C1）和直线(B1,D1)的交点为E1,设A2,B2,C2,D2按照顺序连接起来是长方形，设直线（A2,C2）和直线(B2,D2)的交点为E2，那么E1会投影到E2,从而就导致线段（A1,E1）等于线段（E1,C1）,且线段（A2,E2）等于线段（E2,C2），这样会导致直线（A1,C1）必须平行于直线（A2,C2），同理也会导致直线(B1,D1)必须平行于直线(B2,D2)，从而平面（A1,B1,C1,D1）必须平行于平面（A2,B2,C2,D2）,但是无论怎样用平行于平面（A1,B1,C1,D1）去截都只能截出正方形。
看来要想要正方形透视出长方形，只能依靠平行投影，中心投影不行。
还想多问一句：如果把原问题中的“交于同一点O”改成“交于同一点O或者是相互平行的直线”这样子该问题有可能正确吗？（相互平行，可以看成交于无穷远点）。 && 【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 用一个平面去截一个底面是正方形的四棱锥的四个侧面，能截出一个长方形吗？
&& -- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 115.154.18.*]
文章数:11&分页:
抽奖到手软！将狂欢进行到底！射影和投影定理各是怎么回事儿?
射影定理：直角三角形射影定理,又称“欧几里德定理”,定理内容是：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式表达为：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高,则有射影定理如下：①CD²;=AD?DB,②BC²=BD?BA ,③AC²=AD?AB ； ④AC?BC=AB?CD（等积式,可用面积来证明）射影和投影的区别：1、投影 从初中数学的角度来说（可参见人教网九年级下册电子课本第二十九章 投影与视图）,一般地,用光线照射物体,在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（Projection）,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线.由平行光线形成的投影是平行投影（Parallel projection).由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（Center projection).投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影.物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关.2、射影 所谓射影,就是正投影.其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影.
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不是，我说的是直角边平方=射影×斜边中的射影？
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一切几何学都是射影几何.
----19世界英国数学家凯莱
第一节，什么是几何学
这个问题很重要无论是作为一名数学教育工作者还是作为数学专业毕业的学生来说因为你的专业是数学几何是数学很重要的一大分支当别人问你什么是几何学时如果你回答的很让外行人很不满意这实在说不过去
当然对于这个问题你也可以迂回的回答与他们娓娓道来的说起几何学的历史给他们说几何学最初是丈量土地的学问。埃及作为几何学的故乡最初就是丈量尼罗河泛滥后的土地多少而随之产生。然后说阿波罗尼奥斯是在射影几何的先驱在高中课本的三种圆锥曲线最早就是他首先提出的然后再说说毕达哥拉斯学派及欧几里德对几何学的贡献。你还可以讲到17世纪的笛卡尔与费尔马发现了解析几何，自此以后就可以用坐标的方法解决几何问题向他们风趣的介绍笛卡尔虽然在数学上留下的定理很少，但他的解析的方法可以证明无数的定理，从中我们可以看到方法的重要性。你可以话锋一转，说就在与此同时射影几何也开始沿着古希腊阿波罗尼奥斯开辟的道路继续前行。给他们讲讲帕斯卡迪萨格在射影几何学上的所做的杰出贡献及到世纪的庞赛列在监狱里开创几何学新天地的故事。世纪克莱因用群的的观点来定义几何学。以及非欧几何学的产生等等。同时你还要介绍在我国最早是徐光启与伟列亚力翻译的《几何原本》。把射影几何学引进中国的是姜立夫先生。我国著名数学家苏步青先生对中国几何学的做出了巨大贡献。最后还要讲讲当代最伟大的数学家之一，大范围微分几何的奠基人陈省身先生对中国的乃至整个世界数学发展的影响。
当然现代意义上的几何学已经不再是中学课本里所说的研究空间物体的形状位置大小的学科能够概括的几何学的很多分支已经失去了它最初的研究对象与范围几何学的内容与其他的数学分支紧密联系融合在一起形成相互渗透的几何分支例如代数几何学、代数拓扑学、微分拓扑学等等中学课本对几何学的定义是有局限性的那里所说的的几何学是静止的一成不变的几乎没有变换的思想要知道我们现实生活的很多物体在不同的条件下都是由于变化的运动的因而是不同例如早上的太阳光下的物体的影子要比中午时的影子高正方形的物体在光线的照射下会变成平行四边形甚至四边形而中学的数学里的变换仅仅是平移、旋转、镜面反射等等而没有说道仿射变换射影变换等等几何学的经典定义是年有德国数学家年龄只有岁的克莱因在一个名字叫爱尔兰根的小城发表讲演时给出的这篇演说被后人称为“爱尔兰根纲要该纲要对几何学的定义是几何学是研究空间曲线在变换群下不变形质的一门学科这里的空间是很一般的概念可以认为是任何事物的集合具体来说几何学所要研究的问题是两个一个是研究几何对象对于变换群的等价分类另一个是研究几何对象对于变换群的不变形质与不变量这两个基本问题是密切相关的举例来说设是具有某一性质的几何中的不变性质与不变量如果两个几何对象中有一个具有这种性质那么另一不具有这种性质的则这两种几何学对象显然在这种几何中必然是不等价的
几何学是研究物体在某种变换群下的不变的性质例如我们在初中刚学习几何时要证明一些线段角的是否相等尤其是证明三角形在什么情况下全等其实两个三角形全等就是这两个三角形在合同意义下至多相差一个刚体运动也就是说两个全等的三角形其中一个可以通过运动平移、旋转或镜面反射等来实现与另一三角形重合&其基本不变性就是合同基本不变量就是距离而在仿射几何中基本不变性质是结合性平行性基本不变量是单比而在射影几何里基本不变性是结合性基本不变量交比
第二章，为什么要引进仿射等价类的概念
数学中的很多概念都不是一个数学家可以完成的而是几百年甚至上千年的经过很多的数学家的一点一滴的努力最终才算基本上完成的数学上的很多的概念都是千锤百炼出来的象函数的概念经历了年左右被很多的大数学家所定义几何学家引进仿射等价类也并非是凭空捏造的而是有她的实践与理论基础的引进仿射等价类可以对几何图形根据其仿射性质进行很好的分类以便更好的研究或解决我们生活中的实际问题在欧氏几何中我们知道三角形按角的大小分类为直角三角形钝角三角形锐角三角形按边的大小可以分为等边三角形直角三角形等腰三角形及不等腰三角形等这种分类的好处让我们知道了凡是等边三角形其三边都相等三边都相等是所有的等边三角形的性质这样我们就把所有的等边三角形的性质抽象出来了当我门研究一个等边三角形的性质的时候其实就是研究了很多可以说是无穷多个等边三角形的性质而不是一个一个的研究等边三角形的性质如果那样的话我们子子孙孙虽无穷聩但仍然研究不完这就是在几何学中分类的好处以上所说的是欧氏几何其实仿射几何也是如此仿射几何更为广泛与抽象它把所有的三角形都归为同一个等价类直角三角形与等边三角形等等所有的三角形统统是一类有的朋友不免会说为什么把所有的三角形统统化为同一个仿射等价类呢是这样的在仿射变换下所有的三角形的像都为三角形这就告诉我们三角形的仿射等价类只能是三角形而不会是平行四边形或其他几何图形我们研究三角形的仿射性质时为了方便就可以根据实际情况来拿不同的三角形来研究那样的三角形研究起啦方便就用那样的三角形例如我们证明三角形的三个高交于一点这一仿射几何因为该命题只与点线的结合性相关命题时我们不妨设是直角三角形显然直角三角形的至少有两个高交于一点我我们只需证第三条边上的高经过该点即可这样我们就大大的简化了问题复杂性从而使问题变得更容易解决再例如所有的椭圆与圆都是一个仿射等价类我们可以利用仿射等价类具有相同的仿射性质来进一步简化解题过程例如求椭圆的面积公式就是利用仿射变换的性质利用椭圆的仿射等价类圆来解决椭圆一些较为复杂的仿射性质由于对于圆的一些性质的处理要优越于椭圆因为它比椭圆简单所以当我们遇见关于椭圆的有关性质的问题常常转化为圆来解决是很方便的从用仿射性质来推导出椭圆的面积公式的过程中我们可以看出比高中用解析的方法更简洁易懂避免了繁杂的运算比其用微积分的求解过程更直观通俗
总之，引进仿射等价类可以更好的把复杂难处理的几何图形转化为它的较为简单的我们又很熟悉的仿射等级类来处理这样可以大大的减化我们的解题过程当然这里解决的只能是有关图形的仿射性质的而不能是图形的度量性质同理在射影几何中也存在着射影等价类其作用与仿射等价类是一样的在此不再多说最后一点需要说明的是当我们在实际的教学实践中或数学研究中为了解决一个问题的需要也可以引进一些概念数学不仅是客观世界的反映同时它也是我们人类创造出来的但这种人为的创造具有一定的合理性我们经常为一个数学难题用构造的方法证明出来而惊叹不已其实当我们解决实际问题的时候被逼出来引入某个变量或某个概念但这些概念或变量有的经历了实践的考验有的则很快消失一句话数学来源于实践同时又在实践中地到检验的一门学科人造的概念也要符合客观真理不然就被岁月的长河给淘汰掉
第三节，为什么要引进中心投影？
在射影几何中中心投影很重要而作为平行投影仅仅是投影中心在无穷远点投影的一个特例我们知道早在多年前阿波罗尼奥斯就把锥顶看作透视中心锥面母线看作投影线但射影几何的创始人庞色列所要建立的是更为一般意义性的中心投影中心投影就是一个魔术师或照妖镜它可以把两条相交于影销线上一点的两条相交直线投影为像平面为无穷远点的两条平行直线作为圆锥曲线的像也是圆锥曲线但需要主意的是作为三种典型的圆锥曲线之一的椭圆在中心投影之下的像可能抛物线双曲线或椭圆同样双曲线在中心投影之下也可以是这三种圆锥曲线之一抛物线也是如此这就是说这三种圆锥曲线在中心投影之下都是同一个射影等价类我们划分射影等价类的依据也是以中心投影为工具或舞台一个几何图像在该舞台上能变成什么样的图形什么样的图形就是该图形的射影等价类从这点我们可以看出射影等价类的重要性如果没有中心投影我们的射影几何就无法建立
第四节，为什么要引进无穷远元素
这个问题是很重要的在高等代数与抽象代数里我们学过变换的概念变换是一一对应的而我们的射影几何是需要建立几何图形的像与原像之间的一一对应的可是当我们建立中心射影时却发现影销点或影销线上无对应图像或者说这些点或直线无像点或像直线怎么办呢方法至少有两种其一就是在两个平面中去掉不同的直线但问题是当我们要建立平面到平面间的许多个中心投影时会把这两个平面搞的七零八落很有损数学的美感这实在是一种大煞风景令人很不愉快的事情其实迪萨格就有这样的的想法就是挖去原像平面上没有像点的直线后来德国伟大的天文学家开普勒意识到既然可以在原像平面上挖去一条直线为什么不可以在像平面上添加一条直线呢于是我们第二种方法就是添加无穷远元素来建立几何图形之间的一一对应关系后来的很多实践也证明了添加无穷远元素并非空穴来风而是很有必要，也是很合理的由于我们有了无穷远元素我们研究问题更加方便不仅如此在我们日常生活中也有引进无穷远元素的必要当我们远离平行的铁轨时会发现随着我们与铁轨距离的越来越远远逝的平行的铁轨似乎在我们视线下变的越来越靠的很近最后以至于两个平行的铁轨相交于一点之后就消失在我们的视线之外我们试想一下当越来越远的两条平行的铁轨相交后消失之时实际上可以认为那是在我们的视野之外的地方自然可以认为是无穷远所在的地方这个例子说明了数学是来源于现实生活的是现实生活中很多现象的本质化普遍化抽象化生活中不缺少数学真理对于我们的眼睛来说关键在于发现无穷远元素的引进在绘画方面还有重要的应用当一位画家在画遥远的天际时一般都用一条直线替代这就是无穷远直线在你的视野之内的所有的平行线在都相交于那条无穷远直线这个例子同样说明无穷远元素的引入是扎根于我们现实生活而不是画蛇添足
总之有了无穷远元素在中心投影之下影销线上的点就可以找到像点与之一一对应很多的几何问题可以在此基础上得到很好的解决
第五节，双曲线与抛物线为什么是条封闭的曲线?
该问题很重要,尤其是当学到射影几何的后半部分,对自学者来说是相当困难的.因为那时三条圆锥曲线统一成封闭的椭圆,特别是一些简洁的教材更让初学者望而止步.
众所周知,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线与抛物线都是有口的曲线,并且双曲线有两个分支,这点是阿波罗尼奥斯首先发现的,其他的很多的数学大家,例如阿基米德都认为双曲线只有一支.对于这个问题其实很简单,唯一值得注意的是当我们谈论这个问题是在射影空间或射影平面上讨论的.在欧式空间或欧氏平面添加了无穷远元素(无穷远点,无穷远直线,无穷远平面),对这些无穷远元素不加区分,等同看待时的空间或平面就是射影空间或射影平面.这样,双曲线的两个渐近线上的无穷远点是不同的无穷远点,当双曲线无限延伸时,该双曲线与两条渐近线愈来愈近,这两条渐近线经过无穷远点,这样双曲线就由于它的两个分支相交于无穷远点从而就成了封闭的曲线.在上文开普勒认为直线的两端相交于无穷远点.同样,当抛物线的两端无限延伸时,其斜度越来越接近的对称轴的斜度,可以近似的看作与对称轴是平行的,这样他们都交于同一个无穷远点,因此抛物线也是封闭的曲线.
从以上我们可以得到:根据与无穷远点的关系把圆锥曲线化为三类:与无穷远点没有交点的或者说只有两个虚交点的是椭圆:与无穷远点有两个交点的是双曲线:与无穷远点有一个交点的是抛物线.这样,我们就把中学所学的三种圆锥曲线就统一在封闭的圆锥曲线这个框架内.这对一些问题的解决带来极大的方便.
&&&&&&&第六节，几何学的“得”与“失”
由欧氏几何走向仿射几何垂直这个概念已经没有意义了一个典型的例子就是正方形在仿射变换下变成了平行四边形这种垂直性遭到破坏是件好事还是件坏事呢辩证的看待这个问题是很重要的但有得必有失我们得到了什么呢上文说过可以把较为复杂的几何图像转化为它的较为简单的几何等价类来计算或证明尤其是证明可以大大的得到简化一些教科书上对椭圆面积在仿射变换下的求法显示了仿射几何的巨大威力聪明的读者不免要问既然其垂直性遭到破坏那么其面积体积等涉及到度量性质的问题是不是也遭到破坏是这样的我们可以举一例说明三角形的面积等于二分之一的两边之积再乘于该两边夹角的正弦由于在仿射几何学中由于垂直失去了意义故其面积就无从谈起
同样由仿射几何走向射影几何其平行性也遭到了破坏也就是说在射影几何里没有平行直线这个概念或任何直线都相交但这并非坏事我们可以站在一个更高的视野下得到射影等价类在这种情况下正方形与没有一边是平行的四边形都是同一类我们研究一般四边形的射影性质可以通过或转化为正方形或平行四边形来研究是很方便的因为一般四边形千奇百怪射影性质很难摸索到但对于正方形或平行四边形来说我们是比较熟悉的研究起来比较方便从另一个角度来说我们数学的很多问题都是这样把一个复杂的问题转化为一个较为简单且我们又比较熟悉的问题这是解决数学问题的一个通常的方法例如我们研究微分方程组的解法通常把它转化为微分方程来研究而对于微分方程我们又有一套成熟的解决方法这样就很方便多了在射影几何中凡是与椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线有关的问题都可以通过转化为我们比较熟悉的圆来简化问题从而使问题更以简便的方式解决
总之我们几何学领域的扩大虽然失去了一些东西但我们必须清楚的看到我们解决问题的方法更多而且更简洁思路更清晰这是由于我们掌握了一个强大而有力的工具与我们拥有先进的数学思想作为指导
第七节，高等几何用了哪些研究方法？
翻开任何一本当代高等几何或射影几何的教科书，我们都可看到用了很多的代数或解析几何的方法。例如迪萨格定理或帕斯卡定理证明可以用解析法。当然这里的帕斯卡定理是射影几何的帕斯卡定理，而不是物理上的或概率上的帕斯卡定理。可以说解析的方法是研究高等几何的最重要的方法之一。其实这也很正常。证明欧氏几何定理可以用解析几何的方法，为什么作为更高级的几何学射影几何学不能用解析的方法呢？不然我的高等几何高等到何处？当然射影几何也向欧氏几何一样用综合的方法。这两种方法都是研究射影几何的最有效的方法。在高等几何中，用齐次坐标来研究射影几何方法也是属于解析方法的一种。方法是很重要的。这就要求我们在教学与研究中重视方法的研究。
在高等几何中我们也看到有别于欧氏几何与解析几何的很多新概念，这些概念的引入是必要的对于研究射影几何。例如无穷远元素的引进。这不是那个数学大师头脑一发热就想出来的，而是在处理数学上的问题时一方面是很方便，另一方面是这种引进的概念与我们现实生活是吻合的。当然数学史上很多的数学家引进的概念很多，但大浪淘沙，一些概念没有经得起时间与实践的检验就被淘汰了，留下的当然是很重要的。因此在我们的教学与研究中为了解决数学问题而大胆的引进一些必要的数学概念。
还有仿射坐标的是建立在单比的基础上的，而那个倾斜的坐标系其实与笛卡尔费尔马的坐标系有何区别？显然如果没有坐标的引进，我们的射影的发展也是很缓慢的，从这点来说射影几何的发展来自于解析几何的坐标，其实这也是用解析的方法来研究射影几何。
最后我认为研究高等几何时要采用与解析几何对比的方法。对比是很重要的数学方法之一。在高等几何的二次曲线的射影理论中，很多的高等几何给出的数学概念与解析几何给出的数学概念虽然文字叙述上不一样，但反映的实质是一样的。通过对比可以加深我们对高等几何的认识。
我们还要认识到其它数学分支的重要性。解析几何我们就不用谈了。其实还有一个就是在研究射影几何时用了很多的线性代数中的一些工具，例如矩阵、行列式等。一些不动点与不动线的问题的解决所用的方法是线性代数里求特征值与特征向量的方法。
总之，射影几何告诉我们在实际的教学与研究中，我们要大胆的引进各种各样的方法来解决我们现实的数学问题。
第八节，一点观点
我个人认为在一些综合院校不开设高等几何似乎是有谅可原的但如果师范类院校不开设这门课则就是大错特错高等几何是最美的数学分支因为她有形体之美一个圆一个椭圆一个阿基米德螺线等等这不是抽象的而是很具体的东西这在我们日常生活中触手可及举目就可以看到我们常说某人长得很美但这里的美应该是具体可以看到的我们在中学教学中要向学生宣传数学之美最好的也是学生很容易接受的就是射影几何另一方面是她离我们的现实生活是如此接近这对从培养学生对数学产生兴趣是很有必要的更重要的这对培养学生的具有较强的几何直观是很益的,并使学生很容易对数学上手对学生的内心很可能会产生极大的震撼与兴趣
以上所说是抛开我们的应试教育而谈的从应试教育的角度来说更为重要在中学最主要的数学课程是代数与几何解析几何仅仅是一种方法而已而中学的欧氏几何学的爷爷是射影几何学如何用射影几何学来更好的站在一个更高的观点下来指导我们的孙子辈的欧氏几何学的课堂教学，这是每个数学教师所必须面对的问题我们常说给学生半桶水我们要有一桶水这句话虽然有些过时但至今也不能说不正确作为当代新时期的教师所具有的不仅仅是一桶水的问题更重要的是水的质量也很重要的这一桶水是污染过的还是深山老林的好水呢这都很重要。最重要的是引导学生发现更多的水源，这就是培养学生的创造力。射影几何不仅是数学教师必须具备的知识更重要的是射影几何这桶水的质量很高因为她具有先进的数学思想与方法如果把欧氏几何比作一个静止的美女图片那么射影几何则是大街上性感美丽动人回头率达到百分之百的运动的美女我们不能局限于欧氏几何的框架有种观点认为作为教师不懂射影几何也可以只要把欧氏几何学好让学生都考很高的分数不就可以了吗具有这种思想的人是很危险的可以说不懂高等几何的人他的欧氏几何是不完善的水平也高不哪里去而且更重要的是我们要向学生讲授的不仅是是几何证明的几条辅助线而是先进的数学思想与方法甚至我们可以启发诱导学生自己产生这种先进的思想今天数学工作者达成的一个共识是数学思想优越于数学技巧。作为为一名数学教师更应该用先进的数学思想来武装自己
总之只有理解与掌握了高等几何的这门课，才能更好的对欧氏几何有更深刻的认识与理解从而才能更好的从事我们的教学与研究工作真诚的希望在一些师范院校的数学系开设高等几何学更好的服务于我们的数学课堂教学
1.罗崇善.高等几何.高等教育出版社，&1997.
2.钟集高.等几何高.等教育出版社，&1997.
3.梅向明、刘增贤、林向岩.高等几何.高等教育出版社，1983.
4.希尔伯特.直观几何.人民教育出版社.
5.董奎哲.射影几何的思想方法.电子科技大学出版社,1993.
6.赵宏量.高等几何学习指南.西南师范大学出版社,1987.
7.朱德祥.高等几何.高等教育出版社,1983.
8.周兴和.高等几何.科学出版社,2003.
9.M.kline.古今数学思想.北京大学数学系数学史编译组译.上海科技出版社，1979.
10.&李文林.数学史教程.高等教育出版社.
11,冯克勤.射影几何趣谈.上海教育出版社，1987.
12.李建华.射影几何入门.科学出版社,2011.
13.张永顺、金成相.高等几何.大学数学系自学丛书,1983.
14.齐建华、王红蔚.数学教育学.郑州大学出版社,2006.
15.几何学发展史网上下载，其作者出版社不详.
16.东北师大的沈广艳老师与南京师大的周兴和老师及西南师大的老师他们的视频让我收益匪浅。
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