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技术合作机构& 直线与圆锥曲线的综合问题知识点 & “（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（...”习题详情
190位同学学习过此题，做题成功率62.6%
（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-32MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x22+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2a2+y2b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-卢湾区二模
分析与解答
习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）...”的分析与解答如下所示：
（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），&HP&=(3&，&b)，&PM&=(x&，&y-b)，&MQ&=(a-x&，&-y)，由&PM&=-32&MQ&，得{&x=-32(a-x)y-b=32y0，从而a=13x，b=-12y，由&HP&o&PM&=0，得HP⊥PM，由此能求出M的轨迹C．（2）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-1k(x-1)，（k≠0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由{y=k(x-1)y2=4x，得ky2-4y-4k=0，故|AB|=4(1+k2)k2，同理|DE|=4（1+k2）由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．（3）①当k≠0时设直线l的方程为y=k（x-1），由{y=k(x-1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，故|AB|=2√2(1+k2)1+2k2，|DE|=2√2(1+k2)k2+2，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．②由题设，设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由{y=kxx2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，所以|AB|=2ab√1+k2√b2+a2k2，同理|DE|=2ab√1+k2√b2k2+a2，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
解：（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知&HP&=(3&，&b)，&PM&=(x&，&y-b)，&MQ&=(a-x&，&-y)，由题设&PM&=-32&MQ&，得{&x=-32(a-x)y-b=32y其中a≥0，从而a=13x，b=-12y，且x≥0，又由已知&HP&o&PM&=0，得HP⊥PM，当b≠0时，y≠0，此时kHP=b3，得kPM=-3b，又kPM=kPQ，故-ba=-3b，a=b23，即13x=13(-12y)2，y2=4x（x≠0），当b=0时，点P为原点，HP为x轴，PM为y轴，点Q也为原点，从而点M也为原点，因此点M的轨迹C的方程为y2=4x，它表示以原点为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4分）（2）由题设，可设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-1k(x-1)，（k≠0），又设A（x1，y1）、B（x2，y2），则由{y=k(x-1)y2=4x，消去x，整理得ky2-4y-4k=0，故|AB|=4(1+k2)k2，同理|DE|=4（1+k2），（7分）则S=12|AB|o|DE|=12o4(1+k2)k2o4(1+k2)=8(k2+1k2+2)≥32，当且仅当k=±1时等号成立，因此四边形ADBE面积S的最小值为32．（9分）（3）①当k≠0时可设直线l的方程为y=k（x-1），由{y=k(x-1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，故|AB|=2√2(1+k2)1+2k2，|DE|=2√2(1+k2)k2+2，（12分）S=4(1+k2)2(1+2k2)(k2+2)=2-2k22k4+5k2+2=2-22k2+2k2+5≥169，当且仅当k2=1时等号成立．（14分）当k=0时，易知|AB|=2√2，|DE|=√2，得S=2＞169，故当且仅当k2=1时四边形ADBE面积S有最小值169．（15分）②由题设，可设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由{y=kxx2a2+y2b2=1，消去x，整理得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，得|AB|=2ab√1+k2√b2+a2k2，同理|DE|=2ab√1+k2√b2k2+a2，（12分）则S=12|AB|o|DE|=2a2b2(1+k2)√(b2+a2k2)(b2k2+a2)，其中k2＞0，若令u=1+k2，则由v=(b2+a2k2)(b2k2+a2)(1+k2)2=(a2u-c2)(b2u+c2)u2=a2b2+c4u-c4u2=-c4(1u-12)2+(a2+b2)24，其中u＞1，即0＜1u＜1，故当且仅当u=2，即k2=1时，v有最大值(a2+b2)24，由S=2a2b2√v，得S有最小值4a2b2a2+b2，故当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为4a2b2a2+b2．（17分）又当k=0时，|AB|=2a，|DE|=2b，此时S=2ab，由4a2b2a2+b2＜2ab，得当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为4a2b2a2+b2．（18分）
本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹...
错误类型：
习题内容残缺不全
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经过分析，习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）...”相似的题目：
椭圆的离心率为，右准线方程为，左、右焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（t＞0）与以F1F2为直径的圆相切，并与椭圆C交于A，B两点，向量在向量方向上的投影是p，且（O为坐标原点），求m与k的关系式；（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，当时，求△ABC面积的取值范围．&&&&
直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（8，0），动点M（x，y）满足MOoME=x2，（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过定点F（2，0）作互相垂直的直线l1，l2分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值；（3）定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足KPAoKPB=8试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由．
设椭圆C：x2a2+y2=1(a＞0)的两个焦点是F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为√3-√2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．
“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（...”的最新评论
该知识点好题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
该知识点易错题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/2+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/a2+y2/b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．”的***、考点梳理，并查找与习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/2+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/a2+y2/b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．”相似的习题。当前位置：
＞＞＞如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当..
如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当点P在何位置时，△ADQ的面积最小并求出这个最小面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
设BP=x，∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，∴∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴ABPC=BPCQ，∴CQ=BPoPCAB=x(4-x)4=-14x2+x，∴DQ=14x2-x+4∴S△ADQ=12ADoDQ=12×4（14x2-x+4）=12x2-2x+8，∴当x=--22×12=2时，S△ADQ=6．即当点P在BC中点时，△ADQ有最小值6．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得***要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x?x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a?(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当..”考查相似的试题有：
897452549008231691483249105986508722官方QQ交流群 群①:&&群②:2021671&&群③:&&群④:
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