如何在“数的认识”教学中帮助学生正确建立“数”的概念？
如何在“数的认识”教学中帮助学生正确建立“数”的概念？
作者：吴正宪（北京市小学数学教研员，著名特级教师）
我先说这个课题，刚才大家看到了15个教师关注的问题，这是之一。这是我们的整个团队学习新课标的时候整理出来一些主要的问题。这些观点也是我们北京的数学团队、专家、老师们的共识。我今天也代表他们在这儿谈谈我们团队对这个问题的认识。
盘点一下，小学数学当中，我们关于数的认识有哪些？
一年级上：20以内数的认识（含0的认识）；一年级下：100以内数的认识；二年级下：万以内数的认识；三年级上：分数的初步认识；三年级下：小数的初步认识；四年级上：大数的认识（亿以内数的认识）；四年级下：小数额意义和性质；五年级下：分数的意义和性质；六年级下：负数的认识。
20、100、万、然后就是亿，对吗？在学习亿之前被谁隔了一道？分数、小数，对吗？然后就是亿，对吧？分数、小数二次轮回又来了一个意义，对吧？老师们看到了这个过程，这个过程我们可以说分这么三段，最后是负数，是吧？
整数部分是“自左向右”数级的拓展，个级、万级、亿级。您看，到了小数、分数这儿呢？开始“向微观”数域拓展。1不再是1了，把1敲碎了变成10等分，每份是1/10就是0.1，0.1还可以再敲碎，对刚才那个大1来说就是1/100，“向微观”数域拓展。那么到了负数这儿，开始改变方向，“自右向左”的方向。谈到这儿，我一定要介绍一个朋友，我希望老师们能够喜欢这个朋友，它就是数线模型。这数线模型我们能不能从一年级开始就带着它？我们来看看数线模型，在教学当中，我还是建议老师们开始学习数字小的时候，1、2、3、4、5、6都能在这个数线模型上找到它们的位置。那么学着学着数变大了，现在变成10、20、100、200了，那么这个时候这一条线段不再表示1了，而表示的是一个百，又能在这条数线上找到更大的数，还可以怎么做呢？同学们，给数找个家，392大约在哪里？392一定在300和400这个抽屉里，区间锁定了，它大约在哪儿呢？它大约会在这个位置上，为什么？它比300大了很多，比400少一点点，那请问520在哪里？520一定在500和600的这个抽屉里，在这个区间内，那么它离500近一些，离600远一些，比600小的多，比500大一些。数感，接下来接着追问，讲数感的时候我发现我们有的老师在课堂里边写多一些，少一些，多得多，少得多，然后面向大家，什么叫多得多呀？什么叫少一些呢？就是少了一点点。你说我说，湿脖子汗流讲数感。老师们，数感不是讲出来的，它一定是学生在体验当中，在具体的情境当中去感觉的、感受的，而数感是我们数学素养之一，也是这次课程标准当中提出了10个核心理念之一，所以我们怎么培养数感？给数找个家，这就是一个途径之一。那么接下来，398的邻居在哪里？397、399，数序有了，这数线模型中有了数感的培养，有了数序。接着看，现在一条线段是1，我们要把这小1，把这个1再10等分，敲碎了，那么一份就是1/10，就是0.1，大1变小1，小1还能变吗？把这个1，0.1的1&，这个单位再变成10份，10等份，对刚才这个1来讲，就是1/100，0.01，还能再敲碎吗？还可以再变小，0.001，你看，小1变得小了，再变得小小1，但是它们都是十进制。在这个过程当中，分数、小数进去了，那请问3.7在哪里？一定在3和4之间，那么3.7是十等份中的第七份，又找到它的家了，接下来学负数，只是方向的改变，方向改变了，现在这是-1、-2，你看这个数轴，这个数线，要多小有多小，要多大有多大。从一年级学习数的认识的时候，我们除了小棒、小方块儿看得见摸得着，这种数线模型我认为有助于对数线的理解，所以当时我们也跟老师提了，把它挪进去。新课标在第一学段、第二学段都特别提出了“理解”这个词，理解数的意义，不是一般的知道，也不是一般的了解，而是要理解它的意义。怎么去理解呢？团队在一起研究，提出了五条注意的问题，大家一起思考：
第一、借助具体情境理解数的意义。具体情境？20以内？百以内的情境都好办，小棒、小模块儿、100只羊，那么如果一万、一亿这些数怎么去找具体情境？
第二、把握核心概念。老师们马上在脑子里边闪现到底有哪些核心概念关于理解数？不妨在你的笔记本上悄悄写几个，或者脑子里边闪现几个，一会儿咱们一起来讨论，到底有多少个核心概念？关于数的认识，那为什么它是核心概念？
第三、借助多种模型理解数的意义。那么建立数的概念到底使用了哪些模型？能够写出几个模型来吗？
第四、借助动手操作。什么时候操作？干什么？
第五、在循序渐进中理解数的意义。怎么样循序渐进的过程？
我们先来看第一点。学生抽象思维能力差，因此要经过什么？从具体中抽象出来，再回到具体中才是理解。你说2，2是什么？2人、2牛、2车，很具体，抽象出“2”这个数，它是一个特殊的符号，把具体的单位和这个数量的具体意义去掉，它就是一个抽象的“2”，别忘了，还得反过来，“2”可以表示什么？讲个故事，学了“2”的认识，你能在生活中讲一讲有这样数量特征的事儿吗？学了3/5、0.6，也都是一样的，我只是以2为例。
数一数，一个萝卜一个坑，这肯定非常具体形象对不对？那你看这儿呢？具体、半形象。那一个一个的没有了，变成10个是一个10了，10个1是一个10了。再看这儿，一个珠子表示一个10，借助这个模型已经到了半抽象。
到了这儿，就完全抽象了。“3个十、9个一”就完全抽象了，那么你看看，认识数要经历这样的过程。
刚才我看了，老师们，讲到这儿都好说，我就想问老师们，那一万这情境哪儿有？一亿这个情境哪儿有？我就给3个招。这3个招，一是语言直观；二是借助参照物。三是情景再现。看看这3个招能不能帮学生建立大数的概念。一万在哪儿呢？你不能在这儿拿出一万个小棒，一万个木块，怎么办？同学们，操场做操的时候站得满满的，我们的操场是1000个人，满满的一操场。这样一个操场，一、又一个……闭上眼睛想一想，像有10个我们这样操场的人数，那就是一万人。建立万的概念，语言直观。借助一个参照物，我们操场那个参照物，然后情景再现。一亿有多大，怎么去让学生体验？一张纸，慢慢地摞起来，一张纸摞起来一万多米，比珠穆朗玛峰还高呢。一元钱，一秒钟数一元钱，24小时不间断地数着一天，数多长时间才能数完呢？3年零2个月的时间，一亿太大了。你看，语言直观了，借助参照物，然后又有了情景再现，帮助学生来建立大数的概念。
二是核心概念。刚才您脑子里蹦出它来了吗？数位、计数单位、位值、十进制计数法这些核心概念怎么重视也不为过。因为它是理解数学、理解数的重要的因素。四位一分级，十进制，老师们想一想世界上有几个数字？10个数字，0到9，对不对？但是世界上有多少数？无数个数。10个小小的数字演绎出了无穷无尽的数，谁使然？十进制计数法、位值制。那么有了它们就可以繁衍再繁衍，永远无穷无尽，这是一个计数史上伟大的创造和奇迹。马克思都说它是最妙的发明之一。老师们，我们需要有文化底蕴，我们需要有对数学的这份情怀，那你的课上起来就不一样了。那么我们来看看十进制、位值制有多么重要，5是什么？5个“1”，对吗？那么5+3=8，8是什么？是5个1上面继续叠加1、2、3得了8，那好了，我们今天认识自然数5，我们能不能换个角度？从度量的角度来认识5？不就是这个单位（“1”）不断叠加，不断去度量，使它产生了这个数的意义吗？那么今天，我们能够从数的意义这个角度或从度量这个维度来认识这个5，认识加法的意义，学生的认识是不是越来越丰富了？那么你看，0.5+0.3=0.8，0.5是什么？5个“0.1”的叠加，用0.1这个单位在这里度量了5次就是它。继续度量，继续叠加了3次，就是加法的0.8。整数、小数是相通的，因此，孩子们问0.3+0.05为什么不把末尾对齐呢？3个0.1加上5个0.01，这个8既不是8个0.1也不是8个0.01，1人+1狗既不得2人也不得2狗，道理就这么简单。要从计数单位的角度理解了加法的意义，那3/7+2/7=5/7，3/7是什么东西呢？“1/7”这个单位累加了3次，度量了3次，继续度量2次就是5/7，你看不管是小数、分数，整数，我们有了从计数单位这个角度来看，对它的认识和建构就更丰富。那么谈到这儿我们讲位值，小1跟老9的对话：
老9看不起小1：“你就是个小1嘛，你哪儿有我大？”
小1说：“来，来上9个老9，站好了，你们多大？999。”然后小1不慌不忙地往万位上一站：“嗯，现在的小1，你们大得过我吗？充其量就是999，我已经是10000了，你别看我小1小，我萝卜小，长在辈上了。”
这不就是位值吗？在我们的课堂上，老师们演绎出了非常丰富的课堂内容，让我们的数据张开嘴巴说话，66，长得都一样，为什么大小不一样呢？不又是位值吗？我是6，你也是6，我们都表示6个，没有问题，我背负的值是6个1，那我就是6个1，这数有了值就是6个1；我背负的值是6个10，那我就是6个10；我背负的值是6个万，我就是6个万。别看长得一样，站的位置不一样，大小也就不一样。这就是位值。我们有经验的一线老师，他们通过让小珠子张开嘴巴说话的方式体会位值制，体会同样的数字站在不同的地方，大小不一。那么来看看，整数、小数的单位，从这个角度上讲，数学还要讲一个字“通”。如果我们在做小数加减法、整数加减法、分数加减法的认识时，有了这样一个维度，孩子们对数的认识是不是就更丰富了？北京市数学教师基本功大赛我们命过这样的题，关于小学教学中的度量。举个例子，大多数老师只是停留在长度单位的度量、面积单位度量和体积单位度量，角的度量是度量吗？数的度量是度量吗？这就是一个单位的不断度量的累加的结果。从这个角度认识数，从这个角度认识加减法的意义，我认为更加丰富。位值制、十进制、计数法、计数单位这些都非常重要，因此重视10的概念的建立，满十进一，那是第一次体验，不可怠慢，要好好对待它。我在讲分数初步认识的时候孩子们说1/4，还有想法吗？那儿还1/4呢！那我们就来数一数还有几个这样的1/4呢？一个、二个、三个、四个，4个1/4是多少呢？数的过程当中会蹦出很多新的思考。重视数，计数单位，重视数位顺序表的应用。
三、借助多种模型理解数的意义。计数器、数位桶，方格图数位顺序表、数线模型等等等等。让这些有形的东西去承载着对数的意义认识的重任。你看，看得见摸得着。还差几个？55还差45就是100了。百数表这当中去挖掘，有很多有意思的东西，数线模型、给数找个家、小方块、计数器这些都是孩子们学习的重要依据。你看，数单位，1个1，2个1，10个1是一十。1个10，2个10&，现在我们老师的信息技术的能力也很强。然后1个百，数计数单位很重要。这是进一步认识数的意义。一万一千两百一十五。一千，一个一个地数，一个一个计数单位地数，累在一起就是一万。
多种模型。面积模型，我们讲分数的时候，大多数用了面积模型；集合模型，子集和全集的关系；数线模型，大家看这里呈现的数线模型，这些我认为都是可以用这些有形的东西去认识无形的数。分数墙模型，我们有的教材已经进来了。
四、借助动手操作理解数的意义。数一数、摆一摆、圈一圈、画一画。今天我们两位老师都有让学生动手操作、体验。我们的黄晶老师也好，易博老师也好，都在帮助学生去理解。小棒是个好东西，千万千万不要扔掉它。数是数出来的，我们的教材也提供了大量的学具和怎么去数。
五、循序渐进中理解数的意义。我想提一个问题，就是大家注意认识数要多层次、多角度、多阶段。我就以分数的意义为例。基数意义、序数意义加上单位，它也有了特殊的含义。5㎝长的铁丝它的特殊含义，我今天主要想从分数这点讲一讲。分数有两条主线，四个维度。我们的团队张在一起研究的时候，提出了这样一个思考。“比”这条主线大家比较重视，不讲比怎么讲分数呢？下面的四个维度：比率、度量、运作、商。比率，大家很清楚，不讲比率，你没法揭示分数。因此我不多说比率，1/4就是4份中的1份，一比四。那不从这个角度你怎么揭示分数呢？大家很重视，但是，度量的角度、运作的角度我们做得不够，那么今天提出了度量，在我们课标的解读当中特别提出了度量，刚才我讲过了，2/5是什么？就是1/5度量2次的结果，把一个分数理解成分数单位的累积，小数、分数、整数同样如此。度量2次，度量4次就是4/5。度量维度的体验可以直接作用于加减法。我刚才讲过了，运作，我们不能告诉学生画批单位一，求单位一的3/4用乘法记住了，知几求一用除，知已求几用乘，我们要把分数的认识转化为一个运算的过程。运算的过程是什么呢？8个苹果的3/4就是把8平均分成了4份，每份是2个苹果，那么3份呢就是6个苹果，这就是8的3/4。要把3/4这个分数的意义通过这种运算进行解读，把一个数的认识化作一个运算的过程来理解它的本质意义，这才叫理解了。您看看，我们又多了一个维度，开始的时候我们一讲分数就是从比率的角度，现在有了度量的维度，有了运作的维度。第四个维度就是商。商是什么？我这次讲分数的初步认识，30年前我就上了这节课，更多的是从分东西开始，一个月饼平均2份，一份就是它的1/2，从度量开始，用一个尺子，用一条线段度量黑板，得不到整数结果了，因此需要产生分数。不管是分东西还是度量也好，都是从一个角度，实践操作中有了分数。那么今天，我们能不能多一个维度？4个桃平均分给2个人，列式是4&2=2；2个桃平均分给2人，是2&2=1；1个桃也要平均分给2个人，1个人是半个，就是1&2，半个？半个该怎么表达呢？商说：“我的数不够了，以前的商、以前的数不够表达我的了，我也在呼唤能不能有一个新的数出现？分东西、测量中也出现了问题，那么它也在呼唤能不能有一个新的数来表达我呢？”都发现过去的数不够了，因此，分数就这样产生了。它不仅仅从分东西、度量开始，伴随着故事的过程他看到了这个数用1/2表示，这个数不就跟这个2、1一样的数吗？它就表示一个量啊。你表示2块、1块，半块就是表示1/2块，是作为一个数和其他数一样来参与运算的。您看，又多了一个维度，今天再讲分数的时候我们能不能让学生慢慢地去体会这样的维度，多角度发挥重要作用，丰富了对分数认识的内涵。两条主线，四个维度。当然，每个阶段有每个阶段的任务，那么把握好每个阶段的任务是非常重要的。五个阶段各有任务，侧重不同，互相渗透补充，不断地去发展孩子们的认识，整体建构。总而言之，这是一个循序渐进的过程。最后我说小数。谈到小数，老师们，在整个小数里边，我们有几个大块要学习。一个是第一次学习小数的初步认识，还有是要学习小数的意义，一个要学习小数的加减法。请问，小数的初步认识用哪个模型比较好？可以用面积模型，他第一次认识小数从哪儿走呢？我建议从这儿来，用元、角、分这个模型。为什么？因为他有着丰富的购物经验，元、角、分就把他带入了小数的世界。学习小数的意义用哪个模型比较好？正方形？长度？数线模型？老师们，其实哪个模型都是可以的，但是我建议大家第一次讲小数的意义的时候最好用米尺模型，就是这个：米、分米、厘米，为什么说用它呢？大家看，又回到了数线模型里，这是一米长的尺子，我们把它平均分成10份，这1份就是1m的1/10，就是0.1m，那多少个1/10，多少个0.1就是这1m了呢？一个、两个、三个、十进制，对不对？接下来，这个0.1m还可以再分成10等份，1份就是1cm的0.1，又是这1m的多少？1/100，0.01，那么这1cm就是这1cm对不对？孩子有了1cm这概念，那1cm再平均分成10等份，就是1mm就是整个1m的1/1000。那么大家看一看，整数数位表，个、十、百，它们都是十进制。从这里开始，1/10、1/100、1/1000、1/10000，在米尺模型上看得见，摸得着，通过有形的数，0.0001，10个它就是1个它，10个它就是1个它，10个它就是1个它，十进制。那10个1/10呢？就接上了10个1，10个1是1个10，老师们看一看，这个米尺模型直观，看得见摸得着，它比用那个面积模型要好，因为面积模型的十进制不好体现，元角分可以体现十进制，但是它基本上就是这个。而小数呢，您看一看，1/10、1/100、&/1000、&/10000，要多小有多小，个、十、百、千、万这个数线模型要多大有多大，是不是用这个模型我认为米尺模型也就是米尺模型，它有了一厘米、一分米、一米的概念，借助它来讲小数的意义，因为在这里要学习十进制，要学习数位表，整数数位表和小数数位表要连在一起，这时候你用米制的模型我认为是比较直观的，用元、角、分的有不足，它顶多是10个一分是一角，10个一角，就结束了。而它能表达十分位、百分位、千分位，一毫米、一厘米、一分米、一米。如果你要用这个面积模型，我想练习中可以用它，但是第一次建立概念的时候我认为用它（米制）比较好。关于加减法我认为用再回到元、角、分比较好，为什么？就是刚才我说的这个题，0.3+0.05为什么不能末位对齐？分、角、元，3角加5分既不是8角也不是8分，要统一单位，又回到了计数单位，单位的统一测量。大家看一看，当你对这个小数的初步认识、小数的意义、小数的加减法找到了这个重要的模型的时候，和我们整数的东西就贯通一起，融通一个整个的数线模型，而在这个过程当中，体会着它的十进制，也体会着它们之间的关系，所以我认为这样用比较好。小数的不说了。老师们看这句话，不论是整数、小数、分数都是按照一个单位进行数的，它们都是计数单位的累加、叠加。度量的意识有一次闪现，老师们要在这儿印下这个印记。
老师们，数起源于数，数是被数出来的。量产生于量，那么我们希望在这个过程中，大家能够不断地总结好的教学方法，让学生体会到数不过如此，整数、小数、分数，他们都是在不断的度量中来建立这些概念的，体会到整数、小数、分数它们的整体性和一致性。
老师们，借助具体情境理解数的意义。没有的情境怎么办？我说过了，语言直观，参照物的借用，情景再现，把握核心概念，那些核心概念可像佛祖一样要住在你的心中，不可以怠慢，它对认识数起着不可替代的作用。多种模型，刚才我介绍了这么多的模型，数位桶、计数单位、数线模型、面积模型、集合模型、分数墙模型等，注意动手操作。
另外，循序渐进，在这个过程当中不断地去理解，在我们的课程标准解读中特别提出了要重视数感的培养，数线就能够帮助他做。
要整体把握教材之间的关系，要鼓励学生进行数学的交流和数学的应用，这是我们课程标准解读中给老师们提出的要求。
作者：吴正宪（北京市小学数学教研员，著名特级教师）
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