如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角A-FC-B的余弦值．
***：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．&&&…（1分）又&FA=FC，所以&AC⊥FO．&&…（3分）因为&FO∩BD=O，所以&AC⊥平面BDEF．&&…（4分）（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，所以&平面FBC∥平面EAD．…（7分）又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD．&&&&&&…（8分）（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．&…（9分）设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以&．所以&，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．&&&&…（11分）由二面角A-FC-B是锐角，得|cos＜，＞|==．所以二面角A-FC-B的余弦值为．…（12分）
点评：本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用．
分析：（Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．由FA=FC，知AC⊥FO．由此能够证明AC⊥平面BDEF．（Ⅱ）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，平面FBC∥平面EAD．由此能够证明FC∥平面EAD．（Ⅲ）因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以&，．求得平面BFC的法向量为，平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由此能求出二面角A-FC-B的余弦值．
&&评论 & 纠错 &&如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF中点。
（1）求证：CF∥平面ADE；（2）求证：平面ABG⊥平面CDG。
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（1）∵BE∥DE，BC∥AD，BF∩BC=B，DE∩AD=D， ∴平面CBF∥平面ADE又CF
平面CBF，∴CF∥平面ADE。
（2）取AB的中点为M，CD的中点为N， 连接CM，GN，MN，AC，MN，BD交于O，连接GO∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形， AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF中点，则GO⊥平面ABCD，
，∴CN⊥MC又CN⊥DC，AB∥DC，∴GN⊥AB又AB∩MG=M，∴GN⊥平面ABG，GN
平面CDG∴平面ABG⊥平面CDG。
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扫描下载二维码如图,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC=2,AC垂直FB（1）求证AC垂直平面FBC,(2)求四面体FBCD的体积.（3）线段AC上是否存在一点M,使EA//平面FDM?请证明你的结论.&&问（1）（2）已解决,求问（3）***.图如下.最下面两个字母为A B.
泽田27丶TA乐
（2）.∵AB=2BC=2 AC⊥FB∴∠ABC=60°,∠ABD=30°BC=1/2AB=1BD=AC=√3/2AB=√3∠DBC=30°CD²=BD²+BC²-2BD*BC*cos∠DBC=1CD=1∴CF=CD=1S△BCD=1/2*BD*BC*sin∠DBC=√3/4S四面体F-BCD=1/3*S△BCD*CF=√3/12（3）.线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM,证明如下：连接CE与DF交于点N,连接MN．由&CDEF为正方形,得N为CE中点．∴EA∥MN．∵MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,∴EA∥平面FDM．所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立．
谢谢，虽然问（1）（2）我已求。
求问（3）***。
（Ⅲ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：
连接CE与DF交于点N，连接MN．
由 CDEF为正方形，得N为CE中点．
∴EA∥MN．
∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．
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