导读：显然此时直接计算该概率就显得相当麻烦.为此我们给出一个当n很大而p（或1-p）很，常常被应用于研究稀有事件（即每次试验中事件A出现的概率p很小），假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.，试求至少击中两次的概率.，故所求概率为，这个概率很接近1，一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，那么这一事件的发生几乎是肯定的.这也告诉人们决不能轻视小概率事
品的个数，那么X~b（20，0.98），即
P{X=k}=Ck)k(0.02)20?k，k=1,2,?,20. 20(0.98
若在上例中将参数20改为200或更大，显然此时直接计算该概率就显得相当麻烦.为此我们给出一个当n很大而p（或1-p）很小时的近似计算公式.
定理2.1（泊松(Poisson)定理） 设npn=λ（λ&0是一常数，n是任意正整数），则对任意一固定的非负整数k,有
limCpn(1?pn)
由pn=λ/n，有
Ck1?pn?npn?
n(n?1)?(n?k?1)?k?
1??2??k?1????????
??1??1???1????1????1???1??.k!??n??n??n????n??n?
对任意固定的k，当n→∞时，
??1??2??k?1??
?1??1?n??1?n???1?n???1，
????????1??e,1??????n??n?
limCpn(1?pn)
由于λ=npn是常数，所以当n很大时pn必定很小，因此，上述定理表明当n很大p很小时，有以下近似公式
其中λ=np.
从表2-5可以直观地看出（2.6）式两端的近似程度.
颇佳，而当n≥100,np≤10时效果更好.
的值有表可查（见本书附表3）
二项分布的泊松近似，常常被应用于研究稀有事件（即每次试验中事件A出现的概率p很小），当贝努里试验的次数n很大时，事件A发生的次数的分布.
某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.
设X表示发生交通事故的汽车数，则X~b(n,p),此处n=5000，p=0.001，令λ=np=5， P{X≥2}=1-P{X＜2}=1-
=1-(0.999).999)4999
?≈1?. 0!1!
P{X≥2}=1-0.69=0.95957.
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率.
将一次射击看成是一次试验.设击中次数为X，则X~b(400,0.02)，即X的分布律为
P{X=k}=Ck,
k=0,1,…,400. 400 (0.02)(0.98)
故所求概率为
P{X≥2}=1-p{X=0}-p{X=1}
=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =0.9972.
这个概率很接近1，我们从两方面来讨论这一结果的实际意义.其一，虽然每次射击的命中率很小（为0.02)，但如果射击400次，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的.这一事实说明，一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，而且试验是独立地进行的，那么这一事件的发生几乎是肯定的.这也告诉人们决不能轻视小概率事件.其二，如果在400次射击中，击中目标的次数竟不到两次，由于P{X&2}≈0.003很小，根据实际推断原理，我们将怀疑“每次射击的命中率为0.02”这一假设，即认为该射手射击的命中率达不到0.02.
（3）泊松分布
若随机变量X的分布律为
，k=0，1，2，?，
其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布（Poisson distribution），记为X~P（λ）. 易知（2.7）满足（2.3）、（2.4）两式，事实上，P{X=k}≥0显然；再由
?P{X?k}=1.
由泊松定理可知，泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件出现的次数k=0,1,?的概率分布情况的一个数学模型.比如：大量产品中抽样检查时得到的不合格品数；一个集团中生日是元旦的人数；一页中印刷错误出现的数目；数字通讯中传输数字时发生误码的个数等等，都近似服从泊松分布.除此之外，理论与实践都说明，一般说来它也可作为下列随机变量的概率分布的数学模型：在任给一段固定的时间间隔内，① 由某块放射性物质放射出的α质点，到达某个计数器的质点数；② 某地区发生交通事故的次数；③ 来到某公共设施要求给予服务的顾客数（这里的公共设施的意义可以是极为广泛的，诸如售货员、机场跑道、***交换台、医院等，在机场跑道的例子中，顾客可以相应地想象为飞机）.泊松分布是概率论中一种很重要的分布.
由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ＝5的泊松分布来描述.为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
设该商店每月销售这种商品数为X，月底进货为a件，则当X≤a时不脱销，故有
P{X≤a}≥0.95.
由于X~P(5),上式即为
≥0.95. ?k!k?0
≈0., ?k!k?0
≈0. ?k!k?0
于是，这家商店只要在月底进货这种商品10件（假定上个月没有存货），就可以95%
以上的把握保证这种商品在下个月不会脱销.
下面我们就一般的离散型随机变量讨论其分布函数.设离散型随机变量X的分布律如表2-1所示.
由分布函数的定义可知
F(x)=P{X≤x}=
?P{X?x}??p
和式表示对所有满足xk≤x的k求和，形象地讲就是对那些满足xk≤x所对应的
求例2.1中X的分布函数F（x）. 解
由例2.1的分布律知 当x＜0时，
F（x）=P{X≤x}=0；
当0≤x＜1时，
F（x）=P{X≤x}=P{X=0}=0.4；
当1≤x＜2时，
F（x）=P{X≤x}=P（{X=0}∪{X=1}）=P{X=0}+P{X=1}=0.4+0.24=0.64； 当2≤x＜3时
F（x）=P{X≤x}=P（{X=0}∪{X=1}∪{X=2}）
=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2} =0.4+0.24+0.144 =0.784；
当3≤x＜4时
F（x）=P{X≤x}=P（{X=0}∪{X=1}∪{X=2}∪{X=3}）
=0.4+0.24+0.144+0.4；
F（x）=P{X≤x}
=P（{X=0}∪{X=1}∪{X=2}∪{X=3}∪{X=4}） =0.4+0.24+0.144+0.6=1.
F（x）=P{X≤x}=?0.784,
?0.8704,?1,?
x?0,0?x?1,1?x?2,2?x?3, 3?x?4,x?4.
F(x)的图形是一条阶梯状右连续曲线，在x=0，1，2，3，4处有跳跃，其跳跃高度分别为0.4,0.24,0.144,0.6，这条曲线从左至右依次从F（x）=0逐步升级到F（x）=1.对表2?1所示的一般的分布律，其分布函数F（x）表示一条阶梯状右连续曲线，在X=xk(k=1,2,?)处有跳跃，跳跃的高度恰为pk=P{X=xk}，从左至右，由水平直线F（x）=0，分别按阶高p1，p2，?升至水平直线F（x）=1.
以上是已知分布律求分布函数.反过来，若已知离散型随机变量X的分布函数F（x），则X的分布律也可由分布函数所确定：
pk=P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0).
连续型随机变量及其分布
上一节我们研究了离散型随机变量，这类随机变量的特点是它的可能取值及其相对应的概率能被逐个地列出.这一节我们将要研究的连续型随机变量就不具有这样的性质了.连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，因为在理论上说这个长度的值X可以取区间（0，+∞）上的任何一个值.此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零（关于这点将在以后说明）.例如，抽检一个工件其长度X
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高中数学-第二章《随机变量及分布》测试题-新人教A版选修2-3.doc14页
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高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题
一、选择题
1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（　　）
Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数
2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（　　）
Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率
3． 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则等于（　　）Ａ．
4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（　　）Ａ．
5．设，则等于（　　）
6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（　　）
7．设，则落在内的概率是（　　）
8．设随机变量X的分布列如下表，且，则（　　）
9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（　　）
10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX的值为（　　）
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