已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G．（1）如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证DE/CF=AD/CD ； （2）如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得DE/CF=AD/CD 成立?并证明你的结论； （3）如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD＝90°,DE⊥CF,请求出DE/CF 的值只有第三问!
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠FDC=90°,∵CF⊥DE,∴∠DGF=90°,∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,∴∠CFD=∠AED,∵∠A=∠CDF,∴△AED∽△DFC,∴DE/CF=AD/CD；（2）当∠B+∠EGC=180°时,DE/CF=AD/CD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠ADC,AD∥BC,∴∠B+∠A=180°,∵∠B+∠EGC=180°,∴∠A=∠EGC=∠FGD,∵∠FDG=∠EDA,∴△DFG∽△DEA,∴DE/AD=DF/DG,∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°,∴∠CGD=∠CDF,∵∠GCD=∠DCF,∴△CGD∽△CDF,∴DF/DG=CF/CD,∴DE/AD=CF/CD,∴DE/CF=AD/CD,即当∠B+∠EGC=180°时,DE/CF=AD/CD成立．（3）DE/CF=25/24．理由是：过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,∵∠BAD=90°,即AB⊥AD,∴∠A=∠M=∠CNA=90°,∴四边形AMCN是矩形,∴AM=CN,AN=CM,∵在△BAD和△BCD中AD＝CD
∴△BAD≌△BCD（SSS）,∴∠BCD=∠A=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠CBM=180°,∴∠MBC=∠ADC,∵∠CND=∠M=90°,∴△BCM∽△DCN,∴CM/CN=BC/CD,∴CM/x=6/8,∴CM=3/4x,在Rt△CMB中,CM=3/4x,BM=AM-AB=x-6,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,∴（x-6）2+（3/4x）2=62,x=0（舍去）,x=192/25,CN=192/25,∵∠A=∠FGD=90°,∴∠AED+∠AFG=180°,∵∠AFG+∠NFC=180°,∴∠AED=∠CFN,∵∠A=∠CNF=90°,∴△AED∽△NFC,∴DE/CF=AD/CN=（8/192）/ 25=25/24
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【平面与平面平行的判定】定理：一个平面内的两条相交与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：a?β，b?β，a∩b=P，a||α，b||α=>β||α．【平面与平面平行的判定定理的推论】如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
一条PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则称直线和平面所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是0°．
二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。 4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法： (1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。7、对二面角定义的理解：根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．
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试题“已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是...”，相似的试题还有：
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如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．(1)求证：BE∥平面PDF；(2)求证：平面PDF⊥平面PAB；(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐角．已知def分别被三角形abc的三边bccaab的中点求证AD,B? - 爱问知识人
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已知d e f分别被三角形abc的三边bc ca ab的中点求证AD,BE,CF交于一点且都被该点分成2:1
如图，设BE、CF交于点G
又设BG、CG中点分别是P、Q
由三角形中位线定理，得EF∥BC，PQ∥BC，所以EF∥PQ
又得EF=BC/2，PQ=BC/2，所以EF=PQ
四边形EFPQ是平行四边形，对角线互相平分，
EG=GP=PB，BG:GE=2:1，同理CG:GF=2:1
设AD与BE交于G'，同理可得BG':G'E=2:1
BG=(2/3)BE=BG'，G与G'重合
所以AD,BE,CF交于一点，且AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1.
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