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【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF． 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF． 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF． 【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值； 【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且ADoCE=DEoBC，AB=2
dm，AD=3dm，BD=
dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．　&
本题难度：
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+P...”的分析与解答如下所示：
【问题情境】如下图②，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题． 【变式探究】如下图③，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题． 【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如下图④，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可． 【迁移拓展】由条件ADoCE=DEoBC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．
解：【问题情境】证明：（方法1）连接AP，如图② ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， 且S△ABC=S△ABP+S△ACP， ∴
ACoPE． ∵AB=AC， ∴CF=PD+PE． （方法2）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②． ∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC， ∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°． ∴四边形PDFG是矩形． ∴DP=FG，∠DPG=90°． ∴∠CGP=90°． ∵PE⊥AC， ∴∠CEP=90°． ∴∠PGC=∠CEP． ∵∠BDP=∠DPG=90°． ∴PG∥AB． ∴∠GPC=∠B． ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠GPC=∠ECP． 在△PGC和△CEP中，
∠PGC=∠CEP
∠GPC=∠ECP
∴△PGC≌△CEP． ∴CG=PE． ∴CF=CG+FG =PE+PD． 【变式探究】 证明：（方法1）连接AP，如图③． ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， 且S△ABC=S△ABP-S△ACP， ∴
ACoPE． ∵AB=AC， ∴CF=PD-PE． （方法2）过点C作CG⊥DP，垂足为G，如图③． ∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP， ∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°． ∴四边形CFDG是矩形． ∴CF=GD，∠DGC=90°． ∴∠CGP=90°． ∵PE⊥AC， ∴∠CEP=90°． ∴∠CGP=∠CEP． ∵CG⊥DP，AB⊥PD， ∴∠CGP=∠BDP=90°． ∴CG∥AB． ∴∠GCP=∠B． ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∵∠ACB=∠PCE， ∴∠GCP=∠ECP． 在△CGP和△CEP中，
∠CGP=∠CEP=90°
∠GCP=∠ECP
∴△CGP≌△CEP． ∴PG=PE． ∴CF=DG=DP-PG =DP-PE． 【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°． ∵AD=8，CF=3， ∴BF=BC-CF=AD-CF=5． 由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF． ∴DF=5． ∵∠C=90°， ∴DC=
=4． ∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°， ∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC． ∴四边形EQCD是矩形． ∴EQ=DC=4． ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB． ∵∠BEF=∠DEF， ∴∠BEF=∠EFB． ∴BE=BF． 由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ． ∴PG+PH=4． ∴PG+PH的值为4． 【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤． ∵ADoCE=DEoBC， ∴
． ∵ED⊥AD，EC⊥CB， ∴∠ADE=∠BCE=90°． ∴△ADE∽△BCE． ∴∠A=∠CBE． ∴FA=FB． 由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH． 设DH=xdm， 则AH=AD+DH=（3+x）dm． ∵BH⊥AF， ∴∠BHA=90°． ∴BH2=BD2-DH2=AB2-AH2． ∵AB=2
，AD=3，BD=
）2-x2=（2
）2-（3+x）2． 解得：x=1． ∴BH2=BD2-DH2 =37-1=36． ∴BH=6． ∴ED+EC=6． ∵∠ADE=∠BCE=90°， 且M、N分别为AE、BE的中点， ∴DM=EM=
AE，CN=EN=
BE． ∴△DEM与△CEN的周长之和 =DE+DM+EM+CN+EN+EC =DE+AE+BE+EC =DE+AB+EC =DE+EC+AB =6+2
． ∴△DEM与△CEN的周长之和为（6+2
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【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证...
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经过分析，习题“【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+P...”主要考察你对“27.2 相似三角形”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
27.2 相似三角形
与“【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+P...”相似的题目：
下列命题不一定成立的是（　　）斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似两个等腰直角三角形相似两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似
如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，且AC=2BC． 求证：AD=4BD．&&&&
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的是（　　）①与②相似①与③相似①与④相似②与④相似
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dm，AD=3dm，BD=
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dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．”相似的习题。CF-题目列表 - NJUST OnlineJudge