【图文】苏教版四年级数学上册·解决问题的策略_百度文库
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苏教版四年级数学上册·解决问题的策略
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你可能喜欢 如果不是满清那200多年，所谓的祖训：马上得天下+不忘祖训。把中国理科生生源压制到0.01%以下，如今俺们中国早就八代机了。（大明吃老本，靠1%的理科生生源还完爆世界科技） 来欣赏下外国成年人的数学考试吧，难怪国内全校倒数第一出去也能当学霸。难怪最近几十年就追赶上了白人几百年的科技。进化决定一切，智商碾压一切，懂木懂！
楼主发言：215次 发图：
你确定这？靠小学三年的水平啊
@五毛新
20:50:57 你确定这？靠小学三年的水平啊 ----------------------------- 加拿大14年比今年的还简单。 你现在懂为什么世界是中国的了吧
一些被忽悠，砸锅卖跌送儿女出国留学的当真可笑
操！！没天理
这时高一？脑残才把小孩送到国外读书！
高一？？？
是在下输了
9年级难道不是初一吗
初一？感觉自己肯定是学霸
8-7也能算作一道题？
黑人是这水平
@五毛新
20:50:57 你确定这？靠小学三年的水平啊 ----------------------------- 不对。四则混合运算是四年级的，分数的计算是五年级的，平方立方计算是6年级的。
@小的蛆虫
21:03:00 9年级难道不是初一吗 ---------------------------------- 哈哈
@涧水碧于天
21:05:31 8-7也能算作一道题？ ----------------------------- 算，按卷面内容看，这是正负数计算，这道题实际是8+（-7）.
看看各种真实的美国 平心而论美国人的数学到底有多差？ 昨天看了一部电影，叫前目的地。里面有个女的据说从小就是个天才，然后镜头开始回放她的天才事件，她看样子已经上初中了年龄，她在桌子上睡觉，然后老师说你把这道题解答一些，黑板上写着一道很高深的数学题 （2+1）x5=
然后她看了一眼很吊的样子说，15.然后老师和同学都露出了很吃惊的表情，仿佛看到了天神下凡一般。看到这里我愤怒的删掉了这个电影。美国人民都傻不傻。都初中了回答个3乘以5等于15还这个吊样子，来我们中国分分钟让你哭信不信？？ 此处该上案例了，例子1：我姐读书时课余时间帮一个美国人家照顾小孩，那家的大孩子是个十几岁的小美眉。有一天，这个美眉问了我姐一个问题：七加八等于多少？我姐张嘴即来：十五啊。那个美眉从沙发上站起来，看着我姐蹦啊跳啊，兴奋得不得了，大叫：“我发现你是个天才！”晕倒，我姐的确特聪明，在国内的时候被别人夸聪明那是家常便饭，听了向来处之泰然。可这个小女孩的夸奖让她震惊得半天没说出话来。照这个标准，咱全中国人可都是天才啊！
好，这贴不错！
我说过西方就是一个大忽悠
多少人前仆后继的上当受骗
世界上中小学数学最难学的三个国家 印度俄罗斯中国 混的都不咋的 道理自己想吧
我不信！
@我还是燕尾蝶
21:30:59 我不信！ -----------------------------
@思想家不发愁
21:30 世界上中小学数学最难学的三个国家 印度俄罗斯中国 混的都不咋的 道理自己想吧 ------------------------ 造谣不上税，分明是中国俄罗斯和日本 这三个国家哪个混得差？
@荆山仙道士
21:07 黑人是这水平 五毛新 ...... ----------------------------- 哈哈哈哈
人家吃的是香蕉??
是不是真的？
@荆山仙道士
21:07 黑人是这水平 五毛新 ...... ----------------------------- @lao土鳖
21:39:20 哈哈哈哈
人家吃的是香蕉?? ----------------------------- 香蕉画的太不像了
作为一个文科生，在本帖找到感觉了～ 原来我的数学那么牛 哈哈哈哈哈哈哈哈 滚蛋吧！自卑君！我的数学还是很厉害的！
如果楼主说的是真的，我就在想美国的那些高科技是怎么来的
我不信你们说的，就如我现在自学数据库和工控软件，先不说有多难，光是外国人对数学和软件架构的理解就让我置身于不同的次元一样，这是我们的教育所缺失的。如果外国人真如你们说的那么蠢，他们还能发明这些？
@思想家不发愁
21:30 世界上中小学数学最难学的三个国家 印度俄罗斯中国 混的都不咋的 道理自己想吧 ---------------------------------- @tkggitfk楼
21:34:00 造谣不上税，分明是中国俄罗斯和日本 这三个国家哪个混得差？ ---------------------------------- 据说印度数学口诀背到19x19
@一醉千里
21:51:00 如果楼主说的是真的，我就在想美国的那些高科技是怎么来的 ---------------------------------- 留学生，各国的精英
我不相信这是真的。
！！！！！！
中国人真的不需要妄自菲薄,只要还能稳定50年,中国就可以超越地球上所有国家了.
原始社会
@WWW-04 21:36:17 @荆山仙道士 这有啥震惊，自豪的？ 数学，谁手边还没个手机，计算器啥的？ 可笑的是中国的教育。 除了背字典，知识点，就是各种习题。 学生手里拿个手机，问下度娘很多必须记得知识就有了。 难为学生干啥？ 有教育能力，提现下如何 育人？ ----------------------------- 【英国中学请了5位中国老师去给英国学生上课】15年BBC的纪录片 当时分了中国老师带的班和英国老师带的班来做对比实验，最后的结果是中国老师带的班3科全胜。 在数学这一科上...中国班的平均分是67.74......而英国班只有54.84...... 调查表明：英国学生的数学水平比中国学生要落后好几年，到了15岁还不会算数的人也多得多。 英国人其实还引进了一批上海的数学老师...... 去教他们的一些小学做试点...... 英国教育部最近下了个大招：未来全英超过一半的小学都要用中国式的方法来上数学课！ 他们表示一定要给学生大量的练习，让他们掌握数字运算的能力...... 教育部希望能把中国式教学法推广普及到英国学校，决定在未来4年怒砸4100万英镑（约4亿人民币）； 将会对8000所英国学校的数学老师进行培训，学习中式教学法，还会从中国邀请老师过来进行交流。 除此之外，他们要在全英成立35个数学教学中心。 教育部长Nick Gibb表示：“中国的数学教学法将会变成英国学校的标准方法，我有信心这样的做法会让英国年轻人未来不管是在学业还是职场都能有更好的发展”。
@我是你的阿加西
21:56:12 我不信你们说的，就如我现在自学数据库和工控软件，先不说有多难，光是外国人对数学和软件架构的理解就让我置身于不同的次元一样，这是我们的教育所缺失的。如果外国人真如你们说的那么蠢，他们还能发明这些？ -----------------------------
@叶果鲁西卡大王
21:50:10 作为一个文科生，在本帖找到感觉了～ 原来我的数学那么牛 哈哈哈哈哈哈哈哈 滚蛋吧！自卑君！我的数学还是很厉害的！ -----------------------------
小数加减乘除？？？
@荆山仙道士
20:55:24 一些被忽悠，砸锅卖跌送儿女出国留学的当真可笑 ----------------------------- 嘿嘿~~~嘿嘿~~~咱先围观，笑笑总行吧？
楼主哪里来的干货？上多几张图来看看！！！这是小学起五年级的作业题吧？
@荆山仙道士
21:07:25 黑人是这水平 ----------------------------- 相当的尿性！
@荆山仙道士 ：本土豪赏1个赞（100赏金）聊表敬意，点赞是风气，越赞越大气【】
进化上的差距是全方面的，因为这是数百万年，千万年级别的时间留下的差距。 外观上的： 1.五官更精细。 2.皮肤质量更好。 3.青春期更长久 4.体毛更少 5.体格更简单 内在的： 1.体味更健康 2.大脑更发达 3.基础代谢率更优秀 4.脾气更好 5.妊娠期更长 6.更善于安静的思考问题 等等甚至百千个方面的全面优异 说到科技，好好看一看。 从公元前3000年开始到春秋时代，中国只用了30%~40%不到的理科生生源，就贡献了当时超越全世界平均水平千年甚至数千年的科技 春秋时代至秦汉，由于百家争鸣儒家做大，理科生开始被彻底没落，中国理科生生源下降到了10%，即便如此中国依然还是超越数百年到千年的科技领先。 当然直到唐，科举还是有理科生的一席之地的，不局限于四书五经，如医、卜、相、琴、棋、书、画均可登科。但宋朝基本上理科生就完全消失于科举了。例如梦溪笔谈的沈括，理科生里的宗师级人物，最终还得靠文科混饭吃，可惜至极。 到了明清，科举八股文，理科生生源基本上连1%都没了。即便如此，吃老本，加上民间理科生爱好者，中国依然依靠人种进化上的优势保持世界第一的现金科技水平。同时期火炮第一，海航方面完爆欧洲2个+代次，三宝宝船可见一般。 到了清朝，在满族的祖训上：我们满人是马上得天下，不能忘本！ 于是理科生生源跌到0.01%以下，所有民间，教育方面的理科生统统滚蛋，一切科技进步的东西归为----奇淫技巧，官方各种打击和抹杀。 恰好，由于蒙古人入侵欧洲带去了火焰等一系列的科技，然后经过数百年的发展，1796年产生了第一工业革命，然后依靠科技力量打败了满清。然后列强瓜分中国。 当时中国的理科生别说读书了，连命都保不住，如何发展中国的科技力量？ 一直到1949年，***上台，理科生才恢复了从百家争鸣时代的真正地位。 如今中国人，利用自己的智商优势，迅速学习，模仿，领先，完全超越白人世界的科技。军工方面，核武器导弹反导这种最关键技术中国已经完全领先美国。在工业制造业上更是完爆美国。 请注意，这仅仅是中国在这3000年以来，第一次恢复理科生地位的50年，仅仅只是50年的力量，请相信道士。30年后，50年后，100年后，世界90%+的先进科技只能从东亚国家出现。
已经有不良居心的开始在媒体呼吁中国中小学教育向欧美看齐，鼓励给学生多一些自由谈个恋爱，打打游戏，拜拜明星，多些社交，美其名曰全面发展
道士不想指责满清什么，但是这依然是存在的事实。满清的祖训（马上得天下+不能忘本）让中国科技停滞了200多年。 中国曾是世界公认的超级大国，在世界上占据霸主地位长达四千年之久。可是到了清朝，中国日益没落，西方各国日渐强大，出现了美、英、法、德、意等强国，清人称之为“列强”。好端端的一个超级大国，为什么一下子就不如那些蛮夷小国了呢？最关键的问题就是清朝压制人才，遏制科技发展，而祸首当属康熙皇帝。在康熙年间，中国较有成就的科学家有44位，无一被康熙任用，全部在民间自生自灭。其中有一位爱迪生式的科学家，康熙却熟视无睹，白白让中国的科技成果挂上了“洋”字。这位科学家叫黄履庄，是世界上第一辆自行车的发明者。 黄履庄是扬州人，生于清顺治十三年（1656），在清康熙年间科技发明最为卓著。此人自幼聪明，读书过目不忘，喜发发明创造，尤爱技巧工艺。他曾写过一本《奇器目略》，专门记录他的科技成果，但是后来失传了。 朝康熙年间，黄履庄研制了自行车。这种自行车前后各有一个轮子，骑车人手摇轴旁曲拐，车可自动前行。这是世界是最早的自行车，比法国人西夫拉克制造的木制自行车早约100年。可是，这项发明却没在中国普及，以至清末自行车还要从外国引入，并美其名曰“洋车”，真是可笑至极！ 1683年，黄履庄还制造了世界第一架湿度计，名为“验燥湿器”，可以“预证阴晴”，这项发明成果如果得到应用，中国的天气预报将比法国早170多年！因为黄履庄发明“验燥湿器”170多年后，法国才在1856年首次建立气象站。 黄履庄发明湿度计后，又发明了“瑞光镜”，这是世界上最早的探照灯，也是世界是最早的取暖灯。《虞初新志?黄履庄传》：“夜以灯照之，光射数里，其用甚巨。冬月人坐光中，遍体升温，如在太阳之下。”100年后，欧洲人才于1779年才制成类似器物。如果此项成果用于军事，中国军队的夜战能力将大大增强。 除此之后，黄履庄还发明了玩器、水法、验器、造器之器，制造了“真画”（世界最早的机器人）、“自动戏”、“自行驱暑扇”、“验冷热器”等，仅《虞初新志》就记载其发明成果27种。 可见，在康熙年间，黄履庄已经发明了世界上最早的机器人、机械风扇、机械空调、天然取暖器等，他的这些发明，比爱迪生早近200年，爱迪生全球尽生，黄履庄却无人知晓，而这一切全都拜康熙所赐。 黄履庄的科技发明如此显著，却在27岁以后在历史上蒸发了。没人知道他的生死，也没人知道他做了什么。但有一点可以肯定，康熙肯定没有任用他。因为清史中没有黄履庄的记载，清朝也没把黄履庄的这些发明普及应用。 压制人才，遏制科技发展，是康熙及其子孙的一大错误，直接导致了中国的没落，使西方各国乘机强大起来。如果康熙聪明一点，任用黄履庄等科学家，中国的科技水平会领先世界一二百年，中国始终会保持超级大国的霸主地位，西方各国谁敢称列强？谁敢到中国捣蛋闹事？
西方人想学我战忽局？坚决不上当！
@荆山仙道士
22:50:21 进化上的差距是全方面的，因为这是数百万年，千万年级别的时间留下的差距。 外观上的： 1.五官更精细。 2.皮肤质量更好。 3.
期更长久 4.体毛更少 5.体格更简单 内在的： 1.体味更健康 2.大脑更发达 3.基础代谢率更优秀 4.脾气更好 5.妊娠期更长 6.更善于安静的思考问题 等等甚至百千个方面的全面优异 说到科技，好好看一看。 从公元前3000...... ----------------------------- 明天再来围观，睡觉了先！
中国和白人（中东拉美阿三黑人之类不需要考虑了）其实就如同龟兔赛跑。 兔子即便睡了一段时间，只要醒来，乌龟的速度是永远无法和其比拟的。 国家间的发展比较是超长期的，所以中国必然甩开白人科技1个甚至N个代差
@叶果鲁西卡大王
21:50:10 作为一个文科生，在本帖找到感觉了～ 原来我的数学那么牛 哈哈哈哈哈哈哈哈 滚蛋吧！自卑君！我的数学还是很厉害的！ ----------------------------- 大王叫我来巡山，抓个和尚做晚餐。。 怎么改抓臭道士了呢？
@荆山仙道士
22:53:17 中国和白人（中东拉美阿三黑人之类不需要考虑了）其实就如同龟兔赛跑。 兔子即便睡了一段时间，只要醒来，乌龟的速度是永远无法和其比拟的。 国家间的发展比较是超长期的，所以中国必然甩开白人科技1个甚至N个代差 ----------------------------- 臭道士，小心大王抓你当晚餐！
@WWW4000 睁大洋奴的狗眼看看老祖宗是如何真正的高大上
@思想家不发愁
21:30 世界上中小学数学最难学的三个国家 印度俄罗斯中国 混的都不咋的 道理自己想吧 ---------------------------------- @tkggitfk楼
21:34:00 造谣不上税，分明是中国俄罗斯和日本 这三个国家哪个混得差？ ---------------------------------- @孤人寡僻
22:19:26 据说印度数学口诀背到19x19 ----------------------------- 乘法口诀到19?19有多难，中国学生不会说明中国数学教育太渣了。看公式：（10十a）．（10十b）＝100十10x（a十b）十a．b。会10以内口诀的人?容易的
@一醉千里
21:51:00 如果楼主说的是真的，我就在想美国的那些高科技是怎么来的 ---------------------------------- 那些顶尖人才为什么就心甘情愿的往美国跑呢？
被骗去的，还是被绑架去的呢？
现在大家懂得为什么老外***那么多那么高了吧，中国初三=老外硕士，高中=老外博士 而且这些东西学了也没用的，完全就是骗学费骗 学贷。然后合理骗学生贷。这就是皿猪资本的真实嘴脸
楼主：九年级在中国是初三！
楼主：九年级在中国是初三。除非加拿大的小学是5年制的。
皿猪灯塔美利贱的这种***就是拿来骗学费的，大家明白了么
@风的纹
21:02:00 这时高一？脑残才把小孩送到国外读书！ ---------------------------------- 你以为是为学识？为***而已
大美利贱三年级高等数学题，地球人就问你们怕不怕！ 这种拥有大天顶星洪荒之力的数理化天才题目，请问中国人你们颤抖了么
最近这样整，有什么目的？?? 看来也只有你自己信这一套 谁没几个同学去国外留学 发的课件截图岂是国内大学能比的？
我不能接受啊。尼玛高中数学，小学二年级速算，也比这个难。
@一醉千里
23:06:00 被骗去的，还是被绑架去的呢？ ---------------------------------- 也是，这两天不就有20个国家元首来杭州讨饭吃吗？
相信这个的都什么智商？国外公立私立也差好多，没听过老师讲过外国人超市结账加减法不会口算只会计算机的梗吗？
难怪高中时好几个学渣同学出国了
一个英国90后小伙做数学题的视频 在昆明发布 （小伙很开朗，不是黑他个人哈） /video/av5558271/
这是搞笑的吧！
人家没有九九表，你让人家去加？
公立学校随便糊弄一下就行，资本家的孩子上的私立学校可得好好教，不然算数都整不清楚，怎么吸血
造谣，哈哈哈哈
@荆山仙道士 你去看看贵族学校的考题，绝对不是这样子。
@一醉千里
23:05:11 @一醉千里
21:51:00 如果楼主说的是真的，我就在想美国的那些高科技是怎么来的 ---------------------------------- 那些顶尖人才为什么就心甘情愿的往美国跑呢？ ----------------------------- 历史原因
看来欧洲去工业化很成功啊，
国内差生到国外学霸倒不一定，但认真学习，随便考个州立大学倒很简单。我初中一个体育委员，学习努力却总班上（重点班）徘徊下游水平。高中毕业，到美国读了应该叫语言预科之课程，就考上了州立大学。 在国内，他水平挣死也就个二本水平
想起了土耳其总统那个叫什么安的，说与ISIS有360度的不同，哈哈
所以反对教育私有化，如今私立小学和初中比公立的生源好了
@荆山仙道士
22:50:00 进化上的差距是全方面的，因为这是数百万年，千万年级别的时间留下的差距。 外观上的： 1.五官更精细。 2.皮肤质量更好。 3.青春期更长久 4.体毛更少 5.体格更简单 内在的： 1.体味更健康 2.大脑更发达 3.基础代谢率更优秀 4.脾气更好 5.妊娠期更长 6.更善于安静的思考问题 等等甚至百千个方面的全面优异 说到科技，好好看一看... ---------------------------------- 我是一个理科生，但是我还是要说，没有出类拔萃的文科生保驾护航，理科生们很难发挥出最大力量，群体越大越明显。层主能获得大多数人认同的原因是：大部分理科生是正能量的，但是大部分文科生确实负能量的。
@WWW-04 21:36:17 @荆山仙道士 这有啥震惊，自豪的？ 数学，谁手边还没个手机，计算器啥的？ 可笑的是中国的教育。 除了背字典，知识点，就是各种习题。 学生手里拿个手机，问下度娘很多必须记得知识就有了。 难为学生干啥？ 有教育能力，提现下如何 育人？ ----------------------------- 废话，题里面都是数学语言，光会按计算器能算得出来？可见你也基本是数学白痴。
中国百分之九十九的人高中毕业十年后水平也比这高不了多少。可见中学花了多少精力在这上面。人人都精英教育？无非是牺牲大部分人陪太子读书罢了。
你们确认这不是返老还童，返璞归真，神光内敛！这是数学高手的至高境界，说了你们这群乡下愚氓也不懂....哎
@负笔书生 49楼
22:51 @荆山仙道士
22:50:21 进化上的差距是全方面的，因为这是数百万年，千万年级别的时间留下的差距。 外观上的： 1.五官更精细。 2.皮肤质量更好。 3.
期更长久 4.体毛更少 5.体格更简单 内在的： 1.体味更健康 2.大脑更发达 3.基础代谢率更优秀 4.脾气更好 5.妊娠期更长 6.更善于安静的思考问题 等等甚至百千个方面的全面优异 说到科技，好好看一看。 从公元前300…… ----------------------------- 负笔被虐的残了！
楼主在麻醉国人，这就是传说中的的爱国贼。
刚开始没敢看 我以为很难 后来自信看了下 我艹 这不是小学三年级的题吗！这上高中还用考？
太深奥的东西对普通老百姓真没用，高深的东西让天才们去努力吧，我等小老百姓只要认几个字就行，电视上经常看到老外认的字比大都国人都多真是汗颜！
@思想家不发愁 19楼
21:30 世界上中小学数学最难学的三个国家 印度俄罗斯中国 混的都不咋的 道理自己想吧 ----------------------------- 是啊，有世界***，美元霸权和***支自由，就有了一切。中国加油
如果不改善科技人员的地位和待遇， 如果还是三个造原子弹的不如一个卖茶叶蛋的， 如果屏幕上风光无限的是那些戏子、婊子。 如果笑贫精神不死光死绝， 中国再多的天才也只能被埋没，再多的人才也是为外国所用。 中华民族是全世界最优秀的民族，没有之一。 中国文化是全世界最适合人类共和的文化，没有之一。 西文化是把人变成禽兽。 中文化是把禽兽教化***。 清醒的人都知道，问题是有用吗？ 到处是被愚话的脑残！
@风的纹 5楼
21:02 这时高一？脑残才把小孩送到国外读书！ ----------------------------- 美国人这智商搞生物，所以搞出个转基因食品
@一醉千里
21:51 如果楼主说的是真的，我就在想美国的那些高科技是怎么来的 ----------------------------- @又唱又跑
07:09:45 楼主送过去的！ ----------------------------- 去掉去美国的各国移民精英，美国本土搞科技的 寥寥无几啦
@荆山仙道士
22:51:22 道士不想指责满清什么，但是这依然是存在的事实。满清的祖训（马上得天下+不能忘本）让中国科技停滞了200多年。 中国曾是世界公认的超级大国，在世界上占据霸主地位长达四千年之久。可是到了清朝，中国日益没落，西方各国日渐强大，出现了美、英、法、德、意等强国，清人称之为“列强”。好端端的一个超级大国，为什么一下子就不如那些蛮夷小国了呢？最关键的问题就是清朝压制人才，遏制科技发展，而祸首当属康熙皇帝...... ----------------------------- 17世纪中叶，正值中国清朝初年，中国发明家戴梓发明了一种早期的连珠***，这种连珠铳的火药和弹丸均贮于***托，共28发，以二机轮开闭，扳第一机时， 火药及铅弹丸自动落入筒中，第二机随机转动，摩擦燧石，点燃火药发射铅弹丸，这种连珠***是比较早的类型。优点:可以连发，且有"三点一线"，精准度高，射程远，250米外可射穿敌人的重甲。 清廷束之高阁，如之奈何？
不太相信，
@荆山仙道士 不要光看难度
西方国家主要是培养学生自主学习的能力 很多东西他们都是自学的
师夷长技以制夷
真的假的？
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请遵守言论规则，不得违反国家法律法规天才设的数学难题向你挑战！（一）&文/皮科夫（美）&&&& 编辑制作/荷花小女子&&&&&天才设的数学难题向你挑战！（一）目录简介 &&&&&&& 美国著名作家、耶鲁大学数学博士克利福特?皮科夫通过神话人物的冒险故事带领你漫游数学和逻辑的王国，去解开最古怪离奇的谜团和最曲折晦涩的难题，奇异的谜团，古怪的推理，让人摸不到头脑的逻辑问题，无论你是否了解数学，都可以在这本书里找到乐趣，呼朋唤友一起来品尝脑力大餐吧，挑战史上最妙的数学谜题。& &&&&& 序 &&&&&&&& 这里有令人费解的谜题和五花八门的数学题，比如，斑马数，循环质数，还有群数----一个大得足以让10000亿变得毫不起眼儿的天文数字。奇异的谜团，古怪的推理，让人摸不到头脑的逻辑问题，无论你是否了解数学，都可以在这本书里找到乐趣。 &&01、克利福德?Ａ?皮科夫的著作： 02、神奇的数学 03、阅读指南 04、序言&& 第一章 设题与解答 &&&&&&&& 巫师说：“通往翡翠城的路是用黄颜色的砖铺成的，你一准儿找得到。等你见到奥兹的时候，别害怕，把你的事情告诉他，求他帮你个忙。” ----北方巫师如是说，《绿野仙踪》 &&01、平方和立方(题) 02、平方和立方(答) 03、U 结构(题) 04、U 结构(答) 05、扔骨头(题) 06、扔骨头(答) 07、腿骨头碎片组成三角形(题) 08、腿骨头碎片组成三角形(答) 09、复数在哪儿？(题) 10、复数在哪儿？(答) 11、古怪的瓦片(题) 12、古怪的瓦片(答) 13、坟墓难题(题) 14、坟墓难题(答) 15、普莱克斯先生的瓦片(题) 16、普莱克斯先生的瓦片(答) 17、射电***打靶(题) 18、射电***打靶(答) 19、动物琥珀(题) 20、动物琥珀(答) & &&01、克利福德?Ａ?皮科夫的著作：《测一测外星人的智商》 《黑洞：旅行指南》 《混沌与不规则图形》 《仙境喧嚣》 《计算机、图形、混沌与美》 《秘字：密码与神秘的文字》 《幻想未来》 《未来健康：２１世纪的计算机与医学》 《不规则的地平线：不规则图形的未来应用》 《科学想象的疆域》（与斯图?图克斯伯里合著） 《***的姑娘》 《开启无限的钥匙》 《神光》 《头脑迷宫：计算机与不速之客》 《奇妙的视觉测试》（日历与卡片） 《上帝的悖论与万能科学》 《图形集：不规则图形、艺术与自然》 《外星学》 《蜘蛛足》（与皮尔斯?安东尼合著） 《螺旋对称》（与伊斯特凡?哈尔吉特合著） 《神奇的大脑与天才》 《天堂之星》 《漫游虚拟空间》 《时间：旅行指南》 《放眼未来》 《生态信息展望》 《数字奇境》 《屏息沉思----神奇的方形、圆形与星星》 &02、神奇的数学 ----另类头脑体操 本书献给我的叔叔，布鲁斯?皮科夫博士，是他在我儿时启迪了我对数学和各种谜题的兴趣。 “你就不能给我安一个脑子吗？”稻草人问。 “你不需要脑子。你每天都会学到一些知识。婴儿有脑子，可它什么都不懂。只有经验才能让你增长知识，你活得越长，获得的经验肯定就越多。” “这话倒也不假。“稻草人说，”可是，除非你给我安上脑子，要不然，我是不会开心的。“ 他信马由缰，悠然自得，任凭马儿选择前方的道路。他深信，冒险的真谛就在于此。 ----米盖尔?德?塞万提斯，《唐吉诃德》 阅读这本书，就仿佛踏上一段错综复杂的道路，沿途曲折?峰回路转，带给你无限惊喜。如果你想加快前进速度，跳过类似的题目，下面的指南会有所帮助。 目前位置 几何（章节：1、3、8、14、16、17、18、23、47、50、54、55、58、61、65、84、88、96、103、104、106）； 迷宫题（章节：6、12、13、15、22、24、36、46、49、52、60、83、87、97、98、101、102）； 序列、级数、集合与排列（章节：2、4、5、9、11、25、26、30、34、37、38、41、48、50、56、59、63、64、66、69、71、72、73、74、79、80、82、85、86、89、92、93、107）； 现实世界（章节：1、3、7、40、44、45、78、102）； 概率与误导（章节：8、14、17、19、27、31、32、51、70、81、90）； 数论与算术（章节：9、10、20、21、27、33、35、37、39、42、43、45、47、53、57、62、67、68、76、77、82、91、99、100、105、108）； 结束 （多萝茜重获自由，读者恍然大悟） “只要你的脑袋里面有脑子，你就可以和其他人一样好，而且比有些人还要更好些。在这个世界上，脑子是惟一值得拥有的东西，不管是乌鸦还是人。” ----乌鸦对稻草人如是说，《绿野仙踪》 奥兹喻意神秘、头脑、精神宇宙，一个与外部空间并行不悖、比肩而立的精神宇宙。 1900年，弗兰克?鲍姆发表了《绿野仙踪》，讲的是家住堪萨斯的少女多萝茜同稻草人、铁皮樵夫以及冒牌巫师等一干神话人物的冒险故事，那个冒牌巫师用魔法让多萝茜明白，世上最美的地方莫过于家。 在《神奇的数学》中，多萝茜再次离家远行。满脑子数学问题的外星人绑架了她，用五花八门的难题刁难她，而且其中大部分题目都涉及到数字与数学。外星人对数学的痴迷可能在你们很多人看来有点傻气，但数字是跨越空间与时间的通道。数学是一门通用语言，要是同有智慧的外星生物进行交流，我们首先要用到的很可能就是数字。 多萝茜、奥兹博士（绑架者）和普莱克斯先生（奥兹的助手）做事讲究效率，他们不愿让读者在了解核心内容之前先要读上厚厚的一沓背景资料。为此，本书的每一章都只有两三页篇幅。这样做的好处是让读者能够直奔主题，并从中体会乐趣。致力于严谨的数学研究的专家们不必分神阅读本书，“***”和“推荐阅读书目”两章收录了更多阅读材料。 《神奇的数学》将为你开启想象的大门，快准备好，奇妙的旅程就要开始喽！一路上，你将遇到令人费解的谜题和五花八门的数学题，比如，铺设一条横穿美国的黄砖路，斑马数，循环质数，群数----一个大得足以让10000亿变得毫拿起铅笔，别害怕。书中有些题目似乎纯粹是出于好奇，没有任何实际意义或目的。但我认为这些实验不仅有用，而且具有教育意义，很多学生、教师和科学家在给我的来信中也提到了这一点。纵观历史，起源于智力游戏的实验、思想与结论往往会表现出惊人的、出人意料的实际意义。数学家哥特菲尔德?威廉? 莱布尼兹曾经说过：“发明游戏是人类智慧的顶峰。” 本书是写给那些愿意探索全新思维疆域的人看的。如果你是教师，你可以利用书中的数学难题来激发学生的学习兴趣，让学生仿照书中的例子，自己设计题目。计算机编程人员或许想利用计算机来出题或答题，但要解答本书中的问题，完全没有必要用到计算机。 我在每道题后都设置了一个难度等级标志，可以帮你在阅读过程中考察自己的水平如何。 难 很难 非常难 难得无以复加：多萝茜和其他人类同族多半答不出 秉承游戏精神和疯狂冒险观念，难度不同的题目随意散落在书中各处，就好像被一股龙卷风吹散了似的。让你的头脑好好享受这道数学大餐吧！ & ----稻草人同奥兹博士的对话?《绿野仙踪》 Ｌ． 弗兰克?鲍姆 人们时常会遇到这样的怪事：两个看似互不相干的事物，却被同一个奇异的结果紧密联系在一起。比如说，用两个整数的平方之和来表示正整数ｎ，即ｘ２＋ｙ２＝ｎ， 有谁想得到，其表示方法的平均值竟然是π。 ----罗斯?洪斯贝格，《数学瑰宝》（第三版） 感谢布赖恩?Ｃ．曼斯菲尔德为本书绘制了可爱的卡通插图。对他多年来的热情帮助，我感激不尽。 很多人对解题方法提出了非常实用的反馈信息：丹尼斯?戈登，罗伯特?斯特朗，戴维?Ｔ．布莱克斯顿，丹尼斯?耶尔，巴拉库玛? 乔斯莫翰?巴拉苏布拉马尼亚姆，伊兰?迈尔，埃德?墨菲，吉姆?吉洛格里，丹?蒂尔克，比尔?莱恩，詹姆斯?范?布斯科特，Ｒ．Ｅ．Ｓ．，丹尼斯?戈登，达马山卡?苏布拉玛尼亚，理查德?赫斯菲尔德，艾尔?齐莫曼，里斯托?兰基南，赛斯?布里巴特，达雷尔?普朗克，戴维?Ａ．卡尔，詹森?厄尔斯，肯?伊诺艾等。 感谢赛缪尔?马库斯设计了代表普莱克斯先生的符号& ，本书使用的其他怪异符号均出自马库斯之手。动物形符号取自艾伦?卡尔设计的免费字体。安妮?斯特雷顿设计了 等符号。 等符号取自欧米茄字体实验室的免费字体。麦克尔?李和乔希?迪克森设计了等字体。 奥兹博士的引文均摘自Ｌ．弗兰克?鲍姆的经典著作：《奥兹巫师》（1900年出版，原名《绿野仙踪》），《奥兹王国》（1904年出版，原名《奥兹仙境》），《奥兹国的奥兹玛》（1907），《多萝西与奥兹巫师》（1908），《通往奥兹之路》（1909），《奥兹国的翡翠城》（1910），《奥兹国的缝补姑娘》（1913），《奥兹国的钟声》（1914），《奥兹国的稻草人》（1915），《奥兹国的歌谣》（1916），《失踪的奥兹公主》（1917），《奥兹国的铁皮樵夫》（1918），《奥兹的魔法》（1919），以及《奥兹国的格林达》（1920）。要知道更多关于奥兹的事迹，可访问埃里克?Ｐ?戈瓦格创办的奥兹网站：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｅｓｋｉｍｏ．ｃｏｍ／～ｔｉｋｔｏｋ／ 注：很多读者都已经注意到，因特网上的各种网站变幻无常，有时改变地址，有时甚至消失得无影无踪。书中提到的网站地址（ＵＲＬ）在本书撰写过程中为作者提供了重要的背景资料。关于书中的各种数学难题和论点，你也可以用ｗｗｗ．ｇｏｏｇｌｅ．ｃｏｍ等搜索引擎，找到很多相关网站。&03、阅读指南“我当然不明白喽！”他说到，“要是你们也像我一样，脑袋里塞满了稻草，你们人人都能住在好地方；到那时候，堪萨斯可就连一个人影儿都看不见了。可你们长了脑子，堪萨斯真走运。” ----稻草人对朋友们如是说，《绿野仙踪》 时间：２１世纪初；地点：堪萨斯大草原。小姑娘多萝茜和农夫亨利叔叔、埃姆婶婶住在一起。有一天，多萝茜正在草原上蹦蹦跳跳地走着，忽然发现前面地上冒出一根又大又黑的柱子。 多萝茜回头对自己的小狗托托说：“托托，你看那是什么东西？” 托托对着那个奇怪的大家伙汪汪地叫了几声，又凑过去闻了闻。那根奇怪的柱子放射出柔和的光线，好像秋天清晨的薄雾一样。透过这层雾气，那东西看起来既体面，又漂亮。 “托托，快回来！” 多萝茜叫着。 可是，已经太晚了。托托刚刚用它的左前爪碰了碰那个大柱子，那东西竟然开始动了！紧接着，传来了低沉的嚓嚓声，那动静就和扫帚在潮湿的水泥地面上扫过时发出的声音一模一样。 柱子上裂开了一个口子，一个长得像章鱼似的家伙从里面冒了出来。它的触角上长满了疙瘩，还不时地颤动几下，那些疙瘩也跟着一会儿鼓起来，一会儿瘪下去。那东西的眼睛滴溜溜地转，眼珠子有梨子那么大，看上去又硬又亮。 这个怪物盯着多萝茜，说道：“我是奥兹博士，不要害怕。” 多萝茜攥紧了拳头，向后退了几步。 “多萝茜，跟我来。我要考考你。要是你通过了考试，你就可以回到亲爱的埃姆婶婶和亨利叔叔身边。” “托托，” 多萝茜压低声音对小狗说：“我一定是在做梦。”她的心怦怦直跳，就好像一个紧张过度的鼓手打乱了鼓点。突然，多萝茜拔腿就跑。 “不要跑！”奥兹博士嚷着，把一个长方形的东西对准多萝茜的左手掌扔了过去，眨眼之间，他们两个就来到了另一个宇宙。 奥兹博士示意多萝茜跟着自己。“多萝茜，在我们面前的是一个秘密测试机构，地点就在堪萨斯的勒贝农，靠近内布拉斯加边界。” “躲我远点儿，你这个坏蛋！” 多萝茜嘴里这样说，眼睛却被面前这座八边形大楼高大的翡翠色外墙吸引住了。奥兹博士看在眼里，微微一笑，说道：“我们管这个地方叫做奥兹。” 托托一动也不动，就像是被冻僵了。它身上的毛一根根竖着，可见它冷得要命。 “我的小狗！你都对它干了些什么？” 奥兹博士摆动了一下他的触角，托托就活过来了，一下子跳进多萝茜张开的手臂。 几分钟以后，多萝茜来到这座非常现代化的大楼门前。她回头望了望远方的田野。风从遥远的北方吹来，风声呜咽，暴风雨就要来了，可以看到高高的野草被风压弯了腰。尖利的呼啸声划过大地。这真的是风声吗，还是因为远处隐藏着什么怪物？ 奥兹博士伸出一根长长的触角，碰了碰多萝茜纤细的肩头，示意她跟紧些。考试开始了。&04、序言拿起铅笔，放松一下，惊心动魄的旅程就要开始了！著名作家克利福德?皮科夫、多萝茜和奥兹博士将带领你漫游数学、头脑和逻辑的王国，去解开最古怪离奇的谜团和最曲折晦涩的难题，去探索数学世界的颠峰和幽谷。《神奇的数学》将为你开启想象的大门，快准备好，你就要踏上一次震撼之旅。这里有令人费解的谜题和五花八门的数学题，比如，斑马数，循环质数，还有群数----一个大得足以让10000亿变得毫不起眼儿的天文数字。奇异的谜团，古怪的推理，让人摸不到头脑的逻辑问题，无论你是否了解数学，都可以在这本书里找到乐趣。 即便是最自负的数学迷，面对神秘兮兮的奥兹博士提出的人类智力测验题，也会感到力不从心。用这些博杂的题目来测测你的智商如何----几何与迷宫，序列，级数，集合，排列，概率与误导，数论，算术，其中甚至还有几道问题涉及到现实世界。本书图文并茂，创意新颖，妙趣横生，从独特的角度阐述了数字以及数字在创造力、计算机、游戏和实际研究中的作用。作者在逻辑与荒诞之间，挥洒奇思妙想。《神奇的数学》将让你品尝挫折的苦涩，更可以激发起你对数学的浓厚兴趣，让你乐此不疲。 克利福德?皮科夫，耶鲁大学博士，已出版著作２０余部，深受好评，作品内容涉及计算机与创造力，艺术，数学，宇宙黑洞，人类行为与智力，时间旅行，外星生命，以及科幻小说等诸多领域。其个人网站Ｈｔｔｐ?／／ｗｗｗ．ｐｉｃｋｏｖｅｒ．ｃｏｍ，访问量已超过５０万人次。&&&第一章 设题与解答 &&&&&&&& 巫师说：“通往翡翠城的路是用黄颜色的砖铺成的，你一准儿找得到。等你见到奥兹的时候，别害怕，把你的事情告诉他，求他帮你个忙。” ----北方巫师如是说，《绿野仙踪》 &&01、平方和立方(题)“请原谅，”稻草人回过头来，“我的大脑有些糊涂了，最近我被水给淋湿了。我问你一个问题你不介意吧，你名字后面的“T.E.”两个字母表示什么意思？” “这两个字母表示我的学位，”橡皮虫回答道，带着谦逊的微笑。“更清楚点说，这两个大写字母表示我是个受过高等教育的人。” && && ----《绿野仙踪》 多萝茜和奥兹博士沿着米尔克福德湖岸边走着，这是堪萨斯洲最大的湖之一。奥兹博士跳进湖里打湿他橡胶似的有弹力的皮肤。当他再上岸时，他看上去精神多了，也欢快多了。 “多萝茜，我前面的问题是关于平方和立方数字的，你看上去很感兴趣。我又有一个问题也是关于这些数字的。” 多萝茜把一块石头朝湖里扔去，说道：“请便吧！” “找出三个不同整数，它们的平方和等于一个数的立方，并且它们的立方和等于一个数的平方。” 多萝茜盯着湖水，她开始试图找出这三个数字。她试了试，比如，1、2、3。它们的平方和是12+22+32=14。但可惜的是，14不是一个数的立方，所以1、2、3不符合奥兹博士提出的第一个条件，它们的平方和不等于一个数的立方。这个问题看来对多萝茜有点难度。有什么解决办法吗？ 难度系数：!! &02、平方和立方(答)可恶的奥兹博士让我们找出3个整数，x，y，z： 1）x 2＋y 2＋z 2＝N3 2）x3＋y3＋z3＝M 2 要解答此题，先要简化这两个方程式，以便减少变量。比如。我们可以用&& （－a，0，a）来试着解题。这3个数字满足方程式2，由此可以得到，－a3＋a3＝M2，M＝0。关于整数a的数值，我们很快就会发现一组数字可以满足方程式1，即，－22＋02＋22＝23。由此可知，z＝－2，y＝0，z＝2。这道题是否有无穷多个***？如何利用计算机图表来最清晰地显示出解空间？） a1k＋a2k＋……＋amk＝b1k＋b2k＋……＋bnk 其中，a1≥a2≥……≥am ；b1≥b2≥……≥bnk ； a1＞1；m≤n 。 这个方程式曾经让我着迷了很长时间。方程式中的k、m、m以及ai、bj两项都是正整数。你有没有想过，a16＋a26＋a36＝b16＋b26＋b36有解吗？有志于在这个领域做出新发现的读者肯定会对“欧拉网络”项目感兴趣，这是一个大型网络研究项目，分门别类地记录了此类方程式的所有已知最小***。比如，项目组成员努蒂?库萨在2001年发现： 1＋＝1＋1 这几个数字的总和为6,890,807,721,574,272,667,868。要了解更多进展，请参见让－查尔斯?梅里纳克所著的《计算最小的相等同次幂之和》，http://www.euler.free.fr/index.htm。为了寻找新的***，已经进行了数千小时的计算机运算。 下面再让我们来想一想，大多数正整数都可以用3个平方之和来表示。比如，9＋9＋9＝27，16＋1＋1＝18。你能找出一个无法用三个或两个平方之和来表示的正整数吗？比如，哪些数字至少要***为4个平方之和？早在1770年，法国数学家约瑟夫－路易?拉格朗日就证明，每一个正整数要么是其自身的平方，要么是两个、三个或四个平方之和。这方面的详细资料，可以参见伊文思?彼得森所著的《神奇的平方》，载于《科学新闻》，第159卷第24期（日出版），第382至383页。 澳大利亚维多利亚州的朗?斯塔伯斯日前向我发出挑战，让我找出可以解开下面这个方程的正整数： An+B2=C2 ***有两个：76＋8，67＋3312。你能再找出几组***吗？你的***是否小于我给出的***？ &03、U 结构(题) 他的父亲宣称 “ 只有科学家才真正懂得音乐 ” ，但也不仅仅是科学家，噢，不是，事实上，仅仅是理论家，他的语言是数学。 她不明白数学直到他给她解释那是具有相互联系的象征性语言。“而且，那些联系”，他告诉她，“包含着生活的本质意义。” ----泊尔? S. 巴克，《女神驻足》 多萝茜正在使劲地嚼着几块托托 's 的有营养的狗饼干，因为奥兹博士不给她主够的人吃的食物，除非她解决了台阶里的难题（图 13.1 ） “多萝茜，把你的食品放下，”奥兹博士说，“这个有关台阶和悬崖的难度很大的排列被称为 U 结构 ，它是以担轮幼虫 U 的名字命名的， 它能够在一个小时内解决这个问题。如果你正确地按照我给你的指令做，我会给你非常好吃的细牛排，要不就是寿司，随你怎么选择。你必须尽可能地踩在 U 结构的木板上，但不能在同一块木板上踩两次。你可以在高度相邻的两个木板之间上下踩（只要你来回踩的这两个台阶位于同一边线上）或者在同一水平线上的相邻的木板之间踩。我不许你走对角线。” 多萝茜放下饼干，点了点头。“好的，我会在我能走的台阶上走的。不过，我必须说，你是一个残忍的监工。” “等等！还有两个特殊条件。你必须按照这个顺序捡起夹子、头盔和绳子！木板上有油，很滑溜。你要是走错一步，你就死定了。” “噢，你这笨蛋！” “记住，你必须按照我的规则尽可能地走最多的木板！” 难度系数： ! ! &&&04、U 结构(答)图 F13.1 画出了一条解题路线，只有 5 块木板没有被踩到。你能做得更好吗？ F13.1 u 结构的***（布赖恩?曼斯菲尔德绘制） &05、扔骨头(题) “ 你只有习惯了生活中所有的事情，它们才是平常的，”稻草人回答说。 “多么伟大的哲学啊！”橡皮虫充满敬佩地大声叫道。 “是的，我的脑子今天很好用，”稻草人用他那充满骄傲的声音承认了这一点。 ----《奥兹仙境》 多萝茜、托托和奥兹博士在测试设备外面，他们沿着一条脏脏的道路走着。树木变得越来越多，很快，道路两边的树林就神秘地变黑了。多萝茜看见了清澈的溪流，奥兹博士同意让她停下来喝一口。 突然，一个陌生人走到她跟前以 R 为半径在地上划了一个圆，同时递给她一根瘦瘦的腿骨头。 “我想让你把一个长度为 R 的骨头扔到圆圈里，”这个两面讨好的人说道，“骨头的一端是圆的边缘，但骨头的方向是完全任意的。” “我不干这种恶心的事情！” 多萝茜回答说。 “好吧，”陌生人说，“试图保持平静。你可以用一个棍棒代替。”他把骨头递给托托，托托把骨头拿到一边开始啃起来。 多萝茜扔了一根棍棒，最后，棍棒的一端碰巧触到了圆圈的边缘。这样，棍棒的另一端也碰巧落在了圆圈里面。 “很好，” 奥兹博士说道，“这就是你的测验。大体上，当捆绑的一端在圆上时，另一端在圆里面的可能性是怎样的？如果细棍棒的长度是 2R 或 R/2 时***又将有什么变化？如果你不能回答正确，陌生人会把你扔进圆圈，让你画地为牢。” 难度系数： ! ! !&&06、扔骨头(答) 假设外星人使用的木棍或骨头的长度为 R 。为了让故事看起来更吓人，我们就权当它用的是骨头吧。圆心为 o ，骨头一端与圆的交点为 P （见图 F14.1 ）。在圆上取一点 Q ，使 PQ ＝ L ，角 OPQ 的角度为 a 。我们想知道骨头的另一端落在圆内的概率是多少。经过计算，概率为 2a/2 π （如果用角的度数来表示的话，则为 2 a /360）。你可能会问，这是怎么算出来的？设想，骨头的一端固定在圆上， 另一端可以旋转 360度或2π×弧度。在所有的旋转结果中，当弧度为 2a 时，骨头的另一端留在圆内。 F14.1 扔骨头难题的*** 接下来，要确定 a的数值。有了三角形 OPQ ，我们就可以利用余弦定律和图 F14.1中的变量来计算角a的角度： R 2 =L 2 +R 2 -2RLcos （ a ） 在已知对角及另外两边长度的情况下，通常用余弦定律来计算三角形的一边的长度。在已知三角形三边长度的情况下，也可以利用余弦定律来计算三个角的大小。（你在下文就会看到如何绕开这个公式。） 在第一个问题里，骨头的长度与圆的半径相同，因此， L ＝ R ，角 OPQ 为等边三角形， OP=PQ=R 。利用余弦定律，我们可以计算出 cos （ a ）＝ 1/2 ， a ＝ π /3。由此可见，概率时2π/3除以2π，结果为1/3。如果你扔出一根骨头，让其一端恰好落在外星人画的圆上且另一端落在圆内的机会为33％。多萝茜给这个外星人起了个名字，叫33％。 当然喽，要解开这道题，我们不一定非用余弦定律不可。假如你看出 OPQ 是个等边三角形，你就知道 a ＝ 60 ° ，或者， a ＝π /3×半径。 假如骨头的长度 L ＝ 2R ，经过计算， cos （ a ）＝ 1 ， a ＝ 0 。由此可见，假如骨头是一根长度为 2R 的线段（ 2R 为圆的直径），让骨头的一端刚好落在圆上，且另一端落在圆内的概率为 0 。假如骨头的长度为 R/2 ，那么， cos （ a ）＝ 1/4 ，概率为（ 1/4 ）的反余弦除以 π，等于 0.4196。注意，较短的骨头的另一端落在圆内的概率要大于长度为R的骨头。 余弦定律十分神奇，可以应用于多种实际情况。在涉及到向量的众多物理问题中，都可以运用余弦定律，比如，计算掠射碰撞中代表不同物体的两个矢量之差（见图 F14.2）。 这里还有另一个实例，可以帮助我们理解余弦定律是如何有效地解决问题的。假设，多萝茜要从现在所站的地方到奥兹博士的测试机构去，她必须骑上自行车，先向正东骑行 10公里，再向东北方向（北偏东45 ° ）骑行 5公里（如图F14.3所示）。外星人想研究一下，它们是否应该铺一条黄砖路，从多萝茜所在的地方直接通到奥兹博士的测试机构。这条路建成后，多萝茜可以少走多少路？ F14.2 余弦定律适用于矢量：要解答这个问题，我们可以先画出多萝茜目前的行走路线。由于我们知道 a ， b 两边的值，也知道这两边的夹角的度数，就可以利用余弦定律来计算黄砖路的长度： c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2abcos （θ） ＝（ 10 km） 2 ＋（ 5 km） 2 － 2 （ 10 km）（ 5 km） cos （ 135 ） ＝ 100km 2 ＋ 25km 2 － 100 （－ 0.707 ） km 2 ＝ 125km 2 ＋ 70.71km 2 ＝ 195.71km 2 求 195.71 平方公里的平方根，我们就可以得到大致的***， c ＝ 14 公里。由于原来的道路厂 15 公里，那么多萝茜走新路可以少走 1 公里。 F14.3 余弦定律的应用（图中文字：待建的新路） &07、腿骨头碎片组成三角形(题)智者解决难题，天才提供难题。 ----阿尔伯特?爱因斯坦 多萝茜，托托和奥兹博士正费力地穿过沼泽地，突然他们看见了骨头人，这个他们早先（第八题）遇到过的灰白色的动物。 “你好，”他用那他那原始的说话***说道。他小心地把他的尖爪字移到托托的胸前。 “放开他，骨头人！” 骨头人用毛巾搽了搽他用爪子从托托身上抓下的几根毛发，然后把它们放到嘴边，它笑起来，露出一口尖尖的牙齿。 “我又给你出了一道难题。跟我来。”他是惊人地白，惊人地光滑。他的头和肚子使他看起来就象他是用漂白的骨头雕刻出来似的。 他们走到干干的地面上来了，骨头人抓出一个他放在树后的一个腿骨头。“想象这个骨头有N条长腿，”他说，然后他把腿任意的三段。 “多萝茜，这三段放在一起能形成几个什么样的三角形？” “这对她来说太难了点，” 奥兹博士说道。 多萝茜摸了摸屁股，说：“不，这不难。” 骨头人点点头。“下面是这个难题的第二部分，我给你一段刚刚折断的最长的一段。如果你是一个赌博者，那么在每一个折断的骨头中，最长的一段与最短的一段的最大比值是多少？你是如何知道的？” 难度：!!! &08、腿骨头碎片组成三角形(答) 两处断裂点必须分别位于中点的两侧，三段碎片才能组成一个三角形。如果你想不通这一点，可以画几张草图试试看。假如两个断裂点都位于中点的同一侧，那么在组成三角形时，两条短边就无法相接。在出现一个断裂点之后，另一个断裂点位于中点另一侧的机会是1/2。此外，我们还得考虑另一个条件。要形成一个三角形，每一段碎片的长度均不得超过骨头长度的一半。如果想不明白这个道理，可以再画几张草图。满足这第二个条件的概率也是1/2。要确定这道题目最终的概率，可以把上面两个概率相乘，结果为1/4。因此，骨头人用骨头碎片摆成三角形的机会是1/4。（有些读者可能会想到三角形不等式定理----三角形任意两边长度之和大于第三边。） 关于第二个问题，奥兹博士也给不出***，欢迎读者来信告诉我们***。罗伯特?斯特朗博士指出，最短碎片与最长碎片的长度之比的预期值没有有效***，原因可以参见第8题的***。这个比例并非有界函数。但是，可以用数学方法来表示最短者与最长者长度之比的预期值。&09、复数在哪儿？(题) 我们接近真理不是通过什么原理而是发自内心。 ----布莱斯?帕斯卡，《沉思录》 (1670) 奥兹博士正在同托托一起玩耍，喂给它吃一种鱿鱼状的狗饼干。“多萝茜，今天，我要你找到一万个连续的非质数。你找到它们以后，再告诉我你是如何找到的。” 多萝茜抓过托托，后退了几步，说“这个排列太大了。我难道不需要一台电脑来解决这个难题吗？” “不需要电脑，只要你给我一个如何找到这一万个数字的简单的诀窍就可以了。还要我提醒你一个质数是不能被2或2以上的整数整除的数吗？例如，6是3的2倍，所以它不是质数。6是非质数，或者说是复数。再如，7不能被2或2以上的整数整除，所以7是质数。” “奥兹博士，你今天可真罗嗦。” 他点点头。“这是从最小的质数开始排列的数字：2，3，5，5，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59等。注意这些前后两个质数之间的差。例如，在这靠前的一些质数之间的差分别是1，2，2，4，2，2，4，2，2，4，6，2，6，4，2，4，6，6，…希腊数学家欧几里得证明了存在一个无穷大的质数。但是，这些质数的出现是按照一种不规则的顺序出现的，并且没有一个公式能够概括他们。因此，巨大的质数的发现要求进行概括并测试上百万的数字。” 奥兹博士把一块狗饼干塞进他唾沫横飞的嘴巴。“用这个关于质数和非质数的例子，你的使命是找到一万个连续的非质数。你将怎么找到它们？” 难度系数：!!! 10、复数在哪儿？(答) 多萝茜究竟应该怎样回答这个问题呢？靠铅笔和几张纸来找出10,000个连续的非质数，可真够难的！关于质数的分布情况，我们都知道些什么呢？ ?& 寻找质数的方法之一是利用古老的厄拉多塞筛法。先列出一些正数，然后从4开始，删除其中所有的2的倍数。接下来，从6开始，删除其中所有的3的倍数。重复这一过程，直到将所有复数都删除掉。（将厄拉多塞筛法应用于计算机，是评估和比较计算机优劣的一种传统方法，因为这一过程十分漫长，而且计算量很大。） ?& 质数定理指出，小于n的质数的数目大致为n/(lnn)。卡尔?弗里德里希?高斯在19世纪初最先提出了这条定理，后来，雅克?阿达玛和查尔斯?德?拉?瓦莱?普桑于1896年分别独立证明了这条定理。两人的论证都依靠复杂的分析，而且在当年，也没有人曾经想到过，可以用比较简单的方式来证明这条定理。1949年，艾特尔?塞尔贝格和保罗?埃尔多斯提出了质数定理的另一条证明，整个数学界为之震动。巧的是，从质数定理可以推导出另一条相关定理：在大于1的任何数字与其两倍数之间，必然存在至少一个质数。根据质数定理，可以知道小于n的质数之间的平均“差”为In(n)。[以最小的几个质数为例：2，3，5，7，11，13，你会注意到，连续质数之差为：1，2，2，4，2。] ?& 几百年来，数学家们一直试图找出质数的基础模式。或许，质数根本就不存在什么模式。有些质数成队出现，中间只相隔一个偶数，这些质数被称为孪生质数，比如：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）。数学界有个由来已久的猜想，认为孪生质数的数目是无穷多的。到目前为止，还没有人能够证明或反驳这个猜想。（注意，孪生质数之差为2，这是最小的质数之差。如果两个数的差为1，那么其中一个数必定是偶数，可以被2整除。）有朝一日，我们能不能借助一个方便的公式来找到所的质数，让公式来计算一下到底有多少个质数呢？ 以上这些林林总总的资料能够帮助我们回答多萝茜的问题吗？或许可以，多萝茜要找到10,000个质数，还有一种比较简单的方法。 “简单”***之一是10,000！+210,001！+3……10,001！+10,001，其中！代表阶乘符号。（比如，5!=5×4×3×2×1）。当A＞1且A≤n时，由于n!+A可以被A整除，该序列为非质数，即复数。让我们来举个例子。当n=5且A=3时，n!+A=（5×4×3×2×1）+3。这个数字的阶乘部分包含了1至n的全部因数，因此必然可以被3整除。其第二部分显然也可以被3整除。同样，如果A=4，计算结果120+4也可以被4整除。 我们的“简单”***应该可以让外星人满意了，但问题所问的并不是以10,000为最小值的一连串数字。要找出10,000个连续的最小复数，我也不知道有什么简单的方法。 既然说到了质数问题，我就忍不住要提到蝉。这种昆虫在地下呆上7年、13年或17年，然后化为成虫，破土而出，享受生命的最后几个星期。进化的力量是如何让蝉蛰居地下的年头成为质数的，已经成为当前的研究重点。近年来的数学模拟显示，质数时间可以让蝉避开掠食者。数论在帮助人们了解生物学的过程中竟然发挥了如此重要的作用，真是不可思议！关于这方面的详细论述，请参见A.M.S.，《生物模式中的质数》，《科学》第293卷第5528期（日出版），第177页。 &11、古怪的瓦片(题) 人是一种有智慧的动物，***为人服务，而人则充当***的奴隶 ----奥尔德斯?赫胥黎 奥兹博士和多萝茜在堪萨斯东南部的麋鹿城湖上划船。他指着水面说：“看啊，湖水鸡。” “加拿大鹅，”多萝茜反驳说。她看见当外来运输装置的影子使天空暗下来时，一些鹅飞起来。而后，她更近地看着湖面。“我在这里钓鱼，”她说到，“在你来到我们这个世界之前。” 奥兹博士点点头说：“那些鹅都吃些什么啊？” “它们是食草动物。他们像牛一样吃草。你在你的世界里应该有牛吧？” “牛？”奥兹博士表情严肃地说。“你是指那些长着白耳朵的动物吗？” “恐怕你的确是不了解地球。” 奥兹博士使劲地把他的触须扔到船上。“我要告诉你件事。我给你一个谜。”他转过身，展示出刻在他背上的一个瓦片的排列。“在空白的瓦片上添上遗失的正确的符号。” 难度系数： ! ! ***是： 填入这两个图形后，正方形中每一行与每一列便相等了。 下面还有一道题，请你在空白处填入正确的图形。 &13、坟墓难题(题) 一等智商的测验是对同时掌握两种对立的思路的能力的考查，以及仍然保持解决问题的能力。 ---- F. 斯科特?菲茨杰拉德 “跟我来，”奥兹博士带着多萝茜和托托穿过一些黑暗的墓地时说道。“让我们搜索一下。” 多萝茜在两个连通的墓穴间的通道里打亮了一只手电：“这看起来像个洞穴。这真美。”墓穴的墙的表面是棕褐色的，由于硫酸钙晶体而闪闪发光。空气闻起来清洁而潮湿，就像刚用洗发水洗过的头发似的。 就像小霍比特人一样挤在一起的是方解石构成的更小的石笋。大一点的看起来就像一些巨大的史前生物的肋骨。 奥兹博士用手电筒照亮了它们的四周。“这真不可思议。”闪亮的蓝色硫酸钙吊灯，至少有 25 英尺长，悬挂在他们的头顶。外面是易碎的紫色“霰石丛”硬壳的墙壁里在他们的小路旁。走过一些台阶，他们进入了另一个世界。 奥兹博士停下来看了看多萝茜。“这是你下一个谜。我们在十个内部相连的墓穴里，分别为 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J 。一个独立的小地道连接着墓穴 A 和 B ，另一个连接 B 和 C ，……，最后一个连接了 I 和 J 。每个墓穴的地面面积符合斐波纳契序列，从而墓穴 A 地面面积是一平方英里，墓穴 B 的地面面积是一平方英里，墓穴 C 的地面面积是两平方英里，依此直到墓穴 J 。 “假定我将带 100,000 分进入墓穴 A ，他们在墓穴中随机走动。很长一段时间后，你认为会在哪里找到最多的人？”多萝茜向四周摆动着手电。“我能不能假设人们在墓穴里随机走动，而墓穴没有出口？” “可以。在问题的第二部分，考虑我刚刚讲给你的同样的问题。但是，在这个第二部分，假设人们的行为是现实中人们的行为，他们的走动将不是随机的。在很长一段时间后，你认为会在哪里找到最多的人？在这第二个问题中，假设食物是'甘露'形式的----我认为是一种像霜一样纯的片状物质----被等量分放在所有墓穴中，并且有持续供给。也同样的假设有持续供给的泉水形式的饮用水分布于所有墓穴中。进一步假设在每个墓穴的地下有 30 英尺的尘土，可以覆盖垃圾和尸体。人们将在里面呆上好几年。” “呸！”多萝茜说道。 “尘土包含了常有的腐烂物质生成的有机物质。在很长一段时间后，你能在哪里找到最多的人呢？如果 (a) 每个墓穴有一个十字形分区 (b)\ 每个墓穴有一个正多边形分区，从而墓穴 A 有一个等边三角形形状的地面， B 有一个正方形地面， C 有一个五角形地面，等等，你的***会有什么改变吗？” 难度系数： ! ! ! &&&14、坟墓难题(答) 对于第一个问题，如果我们假设人们在墓穴中随意分布，就像空气中的粒子一样，那么每个墓室中的人数将同墓室的面积成正比。因此，呆在最大的墓室J中的人最多。 对于第二个问题，我们应该首先考虑人们的心理状态。比如，如果人们认为有逃生的机会，或者有可能被发现，那么大多数人都会留在他们最初进入的墓室A里，不会离开。此外，还要考虑其他一些因素。比如，不同墓室的声学特点会产生不同的回声，人们可能会希望留在最安静的墓室里。此外，我们还应该想一想，墓室的面积会对氧气的流动、湿度、人体气味的发散都会造成哪些影响，以及人们对冒险的看法和对独处的渴望。你希望留在哪一间墓室里？开动你的想象力，奥兹博士知道你一定能找到其他的正确***。 对于第二个问题，罗兰?汤姆林森曾经说过： “最强壮、最坚强的人会占有一间面积最小的墓室，因为作为一个小集团的成员，即最小墓室的占据者，具有某种'声望’。比较脆弱的人会聚集在较大的墓室里。最大一间墓室的尽头显然是存放垃圾的场所，所以我猜测，上面提到的'统治者’会指派几名属下把垃圾搬运到几英里以外的地方去。” &15、普莱克斯先生的瓦片(题) ）眼睛只会看到脑子里打算了解的东西。 ----亨利? L. 伯格森 普莱克斯先生和他的的克隆生物们正在和一些外星蛇玩耍。“多萝茜，你想抱一条蛇吗？” “噢，不了，谢谢。它们看起来很危险。” “其实不是这样。奥兹博士让我盖了一间玻璃墙壁的屋子，这样你可以看见我所有的的克隆生物和蛇。把这个想成一组瓦片。” 普莱克斯先生着这一个显示屏，上面显示了蛇和的克隆生物们的俯瞰视角。 “你的任务是在空白的瓦片上添上三个遗失的正确的外星人。如果你能够在十分钟内解决这个问题，奥兹博士将永久克隆你的狗托托，这样你就可以有两个伙伴，而不是一个了。如果你不能解决这个问题，奥兹博士将向堪萨斯的大草原上放出成千条外星蛇。这样将造成的生态破坏是未可知的。” 难度系数： ! ! &16、普莱克斯先生的瓦片(答) ***是（），因为这样一来，每一行都有 4 条蛇和 2 个普莱克斯先生。你还能找出另一种***吗？你做这道题用了多长时间？ 下面又给你出了一道题，请在空格中填入正确的图案。 &17、射电***打靶(题) 未来的帝国是智者的帝国。 ----温斯顿? 丘吉尔奥兹博士和多萝茜在奥兹测试区的一个室内靶场。 “奥兹博士，谢谢你让我试了试你的射电***。” “不用谢。你只是不要把它对准我，也不要试图逃跑，否则，我的同事普莱克斯先生会非常生气，他会追捕你的。” “为什么你们要这样？” “别担心。我们一起拉一做这些数学题，我会释放放你的。现在，我要你对着墙上的绿靶子开***。” 多萝茜把射电***瞄准靶心开了一***。她停了一会儿，又开了一***。可惜，她开的第二***比第一次更偏离靶心。 “多萝茜，你还可以再开一***。在你开始之前，告诉我你最后一次射击与第一次射击相比更加偏离靶心的可能性是多少？假设你的技术水平是保持不变的。” “奥兹博士，我怎么才能给你***？我好象没有足够的信息呀。” “你有足够的信息。这个问题的第二部分是假设你可以射击 1000 次。你最后一次射击与第一次射击相比更加偏离靶心的可能性是多少？你敢对这个赌一百美圆吗？要不，赌你的托托？如果靶是一个等边三角形的话，你的***会有什么变化？如果你只是在玩一个游戏，这有什么关系呢？要是我改变你的射击， 你能作同样的回答吗？” 难度： ! ! &18、射电***打靶(答) 为了方便排版，我们把靶子画成了一个长方形。 射击结果分别用 J （命中靶心）、 K （勉强射中）和 L （失误）来表示。靶子上有 6 横 6 纵共 36 个格子，其位置是连续区域，两次任意射击所击中的位置距靶心的距离不可能相等。多萝茜开了 3 ***，一***命中靶心，一***勉强射中，第三***失误。这三***可以产生以下 6 种不同结果。 射击结果 比如，可能是第一***命中靶心，第二***勉强射中，第三***失误。上表第 1 列描述的就是这种情况。但情况也可能是这样的：第一***命中靶心，第三***勉强射中，第二***失误，见上表第 2 列。 但是，有两条信息限制着可能出现的打靶结果。第一***没有失误，因为文中写道：“糟糕，她的第二***距离靶心比第一***还远。”此外，我们还知道，多萝茜第二***也没有命中靶心。这说明，我们可以将上表中第 3 、第 5 和第 6 列都删掉。比如，在第 3 列里，第二***命中靶心，但我们已经知道这是不可能的。现在只剩下第 1 、第 2 和第 4 种情况了，看来三者的出现机会均等。 多萝茜的任务是判断自己的最后一***比第一***偏离靶心更远的概率是多少。让我们看一看上表第 1 、第 2 和第 4 列。其中，第 1 列和第 2 列中的第三***打得比第一***更糟。由此可知，多萝茜的最后一***比第一***偏离靶心更远的概率是 2/3 。如果你喜欢打赌的话，这一把你算是赢定了。 我们可以把这个问题推而广之。假设，每一***都打在不同的地方，且分布均匀，因为奥兹博士说过：“假设你的射击水平保持不变。”此外，假设两***所射中的位置与靶心的距离相等的概率为零。假设，奥兹博士对着靶子一共打了 N ***， N ＞ 2 。我的同事戴维?卡尔指出，我们可以得到 N （ N-1 ）种结果，分别都包含了第一***和最后一***的名次（从命中靶心、勉强射中、到失误）。第一***的名次可以有 N 种结果，最后一***的名次可以有（ N-1 ）种结果。在这道题中， N=3 ，可能出现 6 种结果，分别对应上表中的 6 列。每一种结果都有同等的出现机会。假设，在除第一***和最后一***之外的（ N-2 ）***中，好于第一***的***数为 M ，（ N-M-2 ）不如第一***。这样一来，上面提到的几种情况也就被删除了，于是我们得到如下结果： ?& 第一***的名次为 M+1 ；最后一***的名次位于不如（ M+1 ）的（ N-M-1 ）中（即， N-M-1 种可能性）； ?& 第一***的名次为 M+2 ；最后一***的名次位于好于（ M+2 ）的（ M+1 ）中（即， M+1 种可能性）。 总共有 N 种可能性，因此，第二种情况的概率为（ M+1 ） /N 。由此可见，总的说来，我们可以得到一个“卡尔公式”。假设好于第一***的***数为 M ，通过这个公式可以计算出最后一***优于第一***的概率： （ M+1 ） / N 在第一题中， M=0 ， N=3 ，最后一***好于第一***的概率为 1/3 。如果多萝茜打了 2001 ***，其中 285 ***的成绩好于第一***，她的第 2002 ***的成绩如何？ N=2002 ， M=285 ，最后一***好于第一***的概率为 286/ 。如果多萝茜打了 2002 ***，其中只有 1 ***的成绩好于第一***， N=2002 ， M=1 ，她的最后一***好于第一***的概率为 2/2002 。最后一***的成绩好于第一***的几率是否因为射击次数的增加而下降呢？ &19、动物琥珀(题) “H.M” 橡皮虫用自负的口吻说道，“意味着 Highly Magnified 和 T.E ，意味严格的教育。我是一个真正的名人，毫无疑问是这个广阔领域里的最聪明的人。” “你真能唬人 ，”巫师说道，“但至少我不怀疑你。” ----《绿野仙踪》 “欢迎来到二号奥兹测试大厅，”奥兹博士一边说一边把他的触角指乡一个巨大的测试大厅。展现在多萝茜面前的是一个混凝土的圆屋顶，高大的植物和一些人造的东西，那是一些象埋在堪萨斯平原下面的某种东西。四处延伸的通讯天线就象杂草丛生一样。 机器人鱿鱼到处都是，它们有的挖土，有的抬东西，有的推东西。奥兹二号就象一个蚂蚁聚居地。 “很高心你能喜欢这个地方，”奥兹博士说。 “我没说我喜欢它。” 奥兹博士向托托求援。 “噢，是的，我喜欢奥兹二号。” 奥兹博士指向一大帮的动物，她它们有的被粘住了，有的被保存在一种松香样的化合物中。“这是你的下一道测试。你要在 5 分钟内找到被重复最多的动物。我已经找到了灰色格子里的两个小一些的重复的各自。你能找到更大的重复者吗？” （表格下面的文字： 松香中的动物。） 难度系数： ! &20、动物琥珀(答) 下图画出了两个相同的动物排列组合，这是奥兹博士所知的最大的两个。（你能证明没有比这更大的相同的排列组合吗？）用这道题来考一考你的朋友，如果他们能在 5 分钟之内找出最大的两个相同组合，可要给点儿奖励哟！ 假设一个正方形，横竖各有 N 个格子，在格子中放入 M 种不同符号，其中一些符号的排列方式是相同的，这些相同的排列组合平均最多能占据多少个格子？如果是立方体或多面体，你的***会有什么变化？& 美景美图精品美文音乐空间职场技巧音画图文感悟哲理星座运清生活百科史海钩沉健康常识书画古玩网页特效电脑技巧在线书架精美相册&&您已阅览 & 分
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