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已知函数f(x)=xx2+1．（1）求出函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈(-34，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(13，310)处切线的下方；（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-34，+∞)，且a+b+c=1，证明：aa2+1+bb2+1+cc2+1≤910”；（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想nΣk=1aka2k+1的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f(x)=x/x2+1．（1）求出函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈(-3/4，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(1/3，3/10)处切线的下方；（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知...”的分析与解答如下所示：
（1）求函数的单调区间，常用导数法，可以先对函数求导，利用导数大于0解出函数增区间，用导数小于0解出函数的减区间；（2）先求出点(13，310)处切线的方程，再通过比较-34＜x＜+∞时两函数函数值的大小证明；（3）由（2）xx2+1≤36x+350，得aa2+1≤36a+350，bb2+1≤36b+350，cc2+1≤36c+350，将三式相加即可证得不等式．（4）由（3）的证明结论总结规律，写出符合规律的猜想：nΣk=1aka2k+1 的最大值是n2n2+1．
解：（1）f（x）=xx2+1的定义域是（-∞，+∞），因为f'（x）=1-x2(x2+1)2，所以f（x）在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减．…（4分）（2）y=f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y-x01+x02=1-x20(1+x20)2(x-x0)当x0=13时，函数在点（13，310）处的切线方程是y-310=1825（x-13），即y=36x+350&…（7分）要证当-34＜x＜+∞时，证明函数图象在点（13，310）处切线的下方，只需证明xx2+1≤36x+350，成立．&这等价于证明（3x-1）2（4&x+3）≥0，这是显然的．…（10分）（3）由（2）xx2+1≤36x+350，知aa2+1≤36a+350，bb2+1≤36b+350，cc2+1≤36c+350．将三个不等式相加得aa2+1+bb2+1+cc2+1≤910．…（13分）（4）由（3）：“已知a，b，c∈(-34，+∞)，且a+b+c=1，必有aa2+1+bb2+1+cc2+1≤910”；不等式左边是三个式子的和，分母都是分子的平方加1，不等式右边是个分数，分子是3的平方，而分母是3的平方加1，3正好对应a，b，c数个个数3，又a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，故可猜想nΣk=1aka2k+1 的最大值是n2n2+1．…（16分）
本题考查不等式的证明，恒等式的证明，函数的单调区间的求法，本题综合性强运算量大，且证明方法新颖，考查判断推理的能力，解题的关键是能根据题设中的条件与要证的结论分析出恰当的证明方法．
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已知函数f(x)=x/x2+1．（1）求出函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈(-3/4，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(1/3，3/10)处切线的下方；（3）利用（2）的结论证明下列不等...
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经过分析，习题“已知函数f(x)=x/x2+1．（1）求出函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈(-3/4，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(1/3，3/10)处切线的下方；（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知...”主要考察你对“不等式的证明”
等考点的理解。
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不等式的证明
不等式的证明已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：a+12+b+12≤2证明：因为1=a+b≥2ab，所以ab≤14．所以12 （a+b）+ab+14≤1 所以（a+12）（b+12）≤1 从而有2+2（a+12）（b+12）≤4 即：（a+12 ）+（b+12 ）+2（a+12）（b+12）≤4 即：（a+12+b+12 ）2≤4 所以原式成立．
与“已知函数f(x)=x/x2+1．（1）求出函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈(-3/4，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(1/3，3/10)处切线的下方；（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知...”相似的题目：
已知a，b，c都是正数，求证：（1）a2b+b2c+c2a≥a+b+c；（2）12a+12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b．
（理科）已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．（Ⅰ）试证明|1+b|≤M；（Ⅱ）试证明M≥12；（Ⅲ）当M=12时，试求出f（x）的解析式．
若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最值范围为&&&&
“已知函数f(x)=x/x2+1．（1）求...”的最新评论
该知识点好题
1（1）证明：当x∈[0，1]时，√22x≤sinx≤x；（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
2（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+1xy≤1x+1y+xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．
3已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；
该知识点易错题
1（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+1xy≤1x+1y+xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．
2已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；
3给出下列命题：①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；②若a，b∈R+，a＜b，则a+mb+m＜ab；③若ac2＞bc2，则ln&a＞ln&b；④当x∈(0，π2)时，sinx+2sinx的最小值为2√2；其中正确命题的个数为（　　）
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10-06-01 &
1/2*4=1/2(1/2-1/4)1/4*6=1/2(1/4-1/6)1/6*8=1/2(1/6-1/8)............1//2(1/8)     1/2*4+1/4*6+1/6*8+1/8*10+........+1/=1/2(1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+.....+1/8)=1/2(1/2-1/2008)=
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