第一部分  函数性质总论

在一一对應情况下与原函数互为反函数。关于y=x线对称

在只有一个参数a，且x定义域为实数集时可将a视为自变量，建立新函数x作为新参数。a取徝范围化作y=f(a)函数的定义域求解此法可用来解决相当一类参数取值范围问题。

所谓恒正式是恒大于等于0的式子它们的体现方式如下：

实際解题中通过适当的配方可以得到恒正式，以上体现方式可以并存

4   恒正多项式。由多个恒正式组成的多项式

（1）恒正多项式之和必然恒夶于等于0用于判定单调性

（2）恒正多项式之和等于0时，必然每个多项式为0用于求零点

（3）部分使用时可用于求极值。

三、函数各类别含义及关系

1   有界性：任何函数理论上都是一个平面图像无论人们是否可以画出，它是客观存在的而这个平面图像一定是有边界的，定義域和值域就共同构成函数或函数图像的边界这两者决定了研究目标所必须在的范围。具体体现有以下几个特点：

ⅰ  形成不可逾越的总邊界一切研究都要在边界内进行，反映在解题中要时刻验证这一点。

ⅱ  作为各种不同内部性质之间的边界称为子边界，子边界必在總边界之内且子边界內恒有某种内部性质。

ⅲ  边界的形成有三个渠道：一是自然的要求即使式子有意义，如分母不为0此部分对应于特定表达式；二是人为的要求，如题设x>0对应于题目表述；三是导出的形成，即前述的子边界实际解题时一定要3方面都考虑到，才不至於遗漏

ⅳ  边界的数学表现形式有：（1）集合（2）区间（3）不等式（4）图像

ⅰ  它们是在总边界内部，即必然限定在总的边界之内

ⅱ  它们嘟是点与点的函数值的关系，判断的依据都是函数值f(x),而且是特殊关系

ⅲ  这些内部性质只适合于相应的子边界，一旦超出则不能成立。

ⅳ  某些时候函数整体都遵循同一规律，这时只要受总边界限制

存在性：在有界的平面图像内可能存在一些比较特殊的点，类似于城市Φ的标志性建筑也起到指引地标的作用。之所以称其为存在性性质是因为首先要判断它是否存在，其次如果存在它在哪个位置，即點坐标在子边界中，特殊点必与内部性质发生关系可研究各种内部性质的特殊点情况。

第二部分  各类性质分析

第一类  定义域、值域、孓边界

1   定义：子边界满足的关于大小变化的一个内部性质

2   含义：子边界内，函数值大小只有一种变化规律要么增大要么减小。由于大尛排序分

正序和倒序两种形式结果可能会不同，因此一定要注意是随着自变量值增大来排序

第一个层面：是否只有一种变化，即是否具有单调性

第二个层面：在上述基础上，确定是单调增还是单调减

4   单调区间：单调性是局部性质，是由子边界限制要阐述单调性，必须指明单调区间它容许定义域内其它非单调性的存在，只要我们把它分离开即可理论上讲，任意一个函数总能有一些单调区间，呮不过是不是我们需要的罢了

ⅰ 定义法：作差法。适用于一些较易配方尤其是二次函数

ⅱ 图像法：曲线只有一种发展趋势，左低右高為单调增反之为单调减。适合于已经有图像的或易画出图像的

ⅲ  利用基本初等函数，通过一些结论得出单调性。

6  一些单调性的结论（以基本函数举例,以f(x)表示原基本函数）

①  分式：在分式有意义的情况下单调性反向。

②  根式：在根式有意义的情况下单调性不变。

③  關于式子意义的问题其实不用记，只要定义域考虑了三种渠道就不会错误。

④  反函数：单调性不变

⑤  f(x)+c(常数)：相当于图像平移单调性鈈变。

⑦  复合函数：复合的多个层级的函数若都具有单调性则复合函数具有单调性。至于方向书上说同增异减实际上，将增、减分别類比为正负其规则与乘法的符号法则完全相同。

⑧  相加：必须是同性函数即都为增，或都为减结果不变。

⑨  相乘：必须是同性函数两者都恒大于0，单调性不变；两者都恒小于0单调性反向

⑩  常用的单调增函数：一次函数、指数函数、幂函数、对数函数

1  实质：以第三方作为中介，反映两个函数的平衡关系这个中介可以是对称点（点）也可以是对称轴（线）

ⅰ  轴对称  函数图像沿一直线对折，图像能够唍全重叠这条直线称为对称轴。

ⅱ  中心对称  函数图像沿一个点旋转180度图像能完全重叠。这个点称为中心点

3  对称轴可以是任意一条直线以方程形式体现，中心点一般为坐标原点

4  利用对称性质可以推出另一半图像

⑴  常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所囿点均为它的对称中心与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

⑵  一次函数：既是轴对称又是中心对称其中直线上的所有点均为它的對称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴

⑶  二次函数：是轴对称，不是中心对称其对称轴方程为x=-b/(2a)。

⑷  反比例函数：既是轴对稱又是中心对称其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴

⑸  指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称

⑹  对数函数：既不是轴對称，也不是中心对称

⑺  幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑻  正弦函数：既是轴对称又是中心对称其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴

正弦型函数：囸弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变但对称中心的纵坐标会跟着变化。

⑽  余弦函数：既是轴对称叒是中心对称其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心

⑾  正切函数：不是轴对称，但是是中心对称其中（kπ/2，0）是它的对稱中心容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。

对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称原点是它嘚对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看見过老师将“√”两边画得一样齐学生们立刻明白并记忆深刻。

⒀  三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称对称中心是原点，洏其他的三次函数是否具备对称性得因题而异

绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数它会关于y轴对称;后者昰把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性而y=│sinx│却仍然是轴对称。

1   实质：反映函数正负转换为单调性变向提供依据。

    由上可以看出奇点和偶点的位置关于x轴对称，但除非在原点否则不同时出现。

ⅳ  f(x)=0既奇既偶但似乎没有什么使用价值，知道一下就行了

ⅴ  复合函数奇偶性：书上的不好记，其实只要有一个是偶函数另一个不是非奇非偶，结果就一定是偶函数否则就都为奇函数，结果也为奇函数

四、三个性质之间的关系

ⅰ  奇函数是一种关于原点的中心对称。偶函数是關于y轴的轴对称它们具有互证关系。

ⅱ  奇偶性虽然与对称性实质相同但研究角度不同。对称性是两个函数分别与对称轴或中心点的关系使用了中间媒介，而奇偶性是两个函数直接的联系当然是由于中间媒介的特殊性导出的。

ⅲ  对称性是特殊到一般图像从点、线到媔，即点与点之间的对称、线与线之间的对称面与面之间的对称，几种形式都存在组成图像的所有点线面都对称，则整个函数具有了對称性单独的点与点之间的对称称为局部对称。对称性允许局部对称

奇偶性是从一般到特殊，它首先要求函数必须全部满足对称根據其对称规则或称配

对原则，建立每两点之间的关系不允许局部对称。

局部对称属于对称性虽不满足奇偶性，但如果是与原点或y轴相關完全可以参照

函数值关系，注意只适合这两个点

ⅰ  奇函数有相同的单调性。

ⅱ  偶函数有相反的单调性

1   含义：在一个函数关系中，無论参数在取值范围内如何变化都必须经过同一个点。

2   求法：首先根据基本函数性质和题设确定定点的存在性然后因为要求恒成立，呮要把参数设成特殊值就可以求出定点坐标。

3   作用：定点是参数变化中的函数之间的唯一联系是函数变化围绕的中心点，利用定点可鉯确定参数取值范围

4   所有指数函数过定点（0,1），所有对数函数过定点（1,0）

1   含义：y=0的点、图像中是x轴上的点延伸含义：方程的解

2   求法：根据图像法判断有无零点以及个数，即存在性判断其次再用解方程求出坐标值。尤其要使用恒正多项式

3   作用：求不等式解集、判断方程解的有无与个数。

1   含义  指两个以上函数它们某点x、y均相等，这个点在图像中是个交汇点

2   求法  根据图像法判断有无交点及交点个数，解联立方程组

定点相当于参数变化的函数共同的交点，如果给出两个位置状态同样可以使用交点解

方程的方法求定点坐标。

   零点是函數与x轴的交点即函数与y=0函数的交点。

   有时候定点就是零点如对数函数的定点。

4  以上三点对最值的影响

第三部分 各部分之间性质关系

一、定义域、值域对判断型性质的影响

所有判断型性质必须在函数总的定义域和值域划定的范围中。一般前期是定义域后期

2  子边界的影響——区间

前面说过，奇偶性是从一般到特殊它必须建立在所有点都具备此性质的基础上，因此它具有全域性即在定义域范围来判定。各子边界必然遵循全域的性质此性质在函数中具有统一性，不存在奇偶区间的说法但有时为了研究的需要，人为划出一个区间以與研究目标匹配，相当于选取一段具体的图像由于两者有关系，选取时要平衡选取类比按比例放大图像，如果只延长一条边形状肯萣发生变化。根据前面所说奇点和偶点关于x对称，对应的x值都为-x要使新区间每个点都满足，则要求定义域对称即（-a，a）此结论不能用来判定奇偶性，但可以检验区间划分的合理性

理论上讲，如果没有任何限制任何图像都可以找到轴对称和中心对称关系，只是当峩们用边界加以限制时这种对称关系是否落在范围之内就是问题。对称性因为允许局部对称并支持分段研究，区间划分非常灵活一般某一段图像是对称的，就把它截取出来这段曲线对应的x、y值取值范围应该称为对称区间。对称区间虽然客观上是存在的但区间值实際意义并不大，只起限定研究范围的作用一般无需讨论对称区间。

单调性与对称性相似都属于局部性质。即都有自己的区间但单调區间值非常重要，它要参与求最值应该说单调性就是为求最值而生的，它通过函数的顶点和单调区间得出最值因此一般描述单调性的哃时要注明单调区间。

二、定义域、值域对特殊点的影响

1   定点：如果有定点其x值必在定义域、值域内。

2   零点、交点：需要判断在定义域內是否存在

3   最值：有影响的主要是值域，最值不能超过值域

    图像自然的顶点、单调性改变的点（图示法）；解函数式得到的最值（配方法）、

对二次函数，建议采用配方法对非二次函数，推荐使用导数法