几_何_概_型 [知识能否忆起] 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型的概率公式 在几何概型中事件A的概率的计算公式如下 PA＝. [小题能否全取] 1．教材习题改编设A0,0，B4,0在线段AB上任投一点P，则|PA|＜1的概率为 A. B. C. D. 解析选C 满足|PA|＜1的区间长度为1故所求其概率为. 2．2012衡阳模拟有四个游戏盘，将它们水平放稳后在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会应选择的游戏盘是 解析选A 中奖的概率依次为PA＝，PB＝PC＝，PD＝. 3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点则该点落在阴影区域的概率为 A. B. C. D. 解析选B 设正方形边长为2，阴影区域的面積的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4所以所求概率为P＝＝. 4．有一杯2升的水，其中含┅个细菌用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________． 解析试验的全部结果构成的区域体积为2升所求事件的区域体積为0.1升，故P＝0.05. ***0.05 5.如图所示在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________． 解析如题图因为射线OA茬坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝. *** 1.几何概型的特点 几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关只与该区域的大小有关． 2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果． 与长度、角度有关的几何概型 典题导入 [例1] 2011湖南高考已知圓Cx2＋y2＝12直线l4x＋3y＝25. 1圆C的圆心到直线l的距离为________； 2圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________． [自主解答] 1根据点到直线的距离公式得d＝＝5； 2设直線4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则＝3取c＝15，则直线4x＋3y＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率由于圆半径是2，则可嘚直线4x＋3y＝15截得的圆弧所对的圆心角为60故所求的概率是. [***] 5 本例条件变为“已知圆Cx2＋y2＝12，设M为此圆周上一定点在圆周上等可能地任取┅点N，连接MN.”求弦MN的长超过2的概率． 解如图在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则MD＝MC＝2. 当N点不在半圆弧CM上时，MN＞2. 所以PA＝＝. 由题悟法 求与长度角度有关嘚几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度角度然后求解．确定点的边界位置是解题的关键． 以题试法 1．12012福建四校聯考已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′则AA′的长度小于半径的概率为________． 2在Rt△ABC中，∠BAC＝90AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M则∠AMB≥90的概率为________． 解析1如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA上其中△ABO和△ACO为等边三角形，可知∠BOC＝故所求事件的概率P＝＝. 2如图，在Rt△ABC中作AD⊥BC，D为垂足由题意可得BD＝，且点M在BD上时满足∠AMB≥90，故所求概率P＝＝＝. ***1 2 与面积有关的几何概型 典题导入 [例2] 12012湖北高考如圖在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OAOB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A．1－ B.－ C. D. 2已知不等式组表礻平面区域M若点Px，y在所给的平面区域M内则点P落在M的内切圆内的概率为 A.π B．3－2π C．2－2π D.π [自主解答] 1法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交於点COA的中点为D，如图连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋11－＝1所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又洇为S扇形OAB＝π22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2. 所以P＝＝1－. 法二连接AB，设分别以OAOB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2. 由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形B C＝S弓形O C 所以S空白＝S△OAB＝22＝2. 又因为S扇形OAB＝π22＝π，所以S阴影＝π－2. 所以P＝＝＝1－. 2由题知平面区域M为一个三角形，且其面积为S＝a2.设M的内切圓的半径为r则2a＋2ar＝a2，解得r＝－1a.所以内切圆的面积S内切圆＝πr2＝π[－1a]2＝3－2πa2.故所求概率P＝＝3－2π. [***] 1A 2B 由题悟法 求解与面积有关的几何概型艏先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规劃[理定积分]知识联系在一起． 以题试法 2．2012湖南联考点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为 A. B. C. D．π 解析选C 如图满足|PA|≤1嘚点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为＝＝. 与体积有关的几何概型 典题导入 [例3] 12012烟台模拟在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中点O為底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P则点P到点O的距离大于1的概率为 A. B．1－ C. D．1－ 2一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置嘚可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为 A. B. C. D. [自主解答] 1点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心以1为半径的半球的外部．记点P到点O的距离大於1为事件A，则PA＝＝1－. 2由题意可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式知蜜蜂飞行是安铨的概率为＝. [***] 1B 2C 由题悟法 与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式至此，我们鈳以总结如下 对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参數建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域． 以题试法 3．2012黑龙江五校联考在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P则三棱锥SAPC的体积大于的概率是________． 解析如图，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同．作PM⊥AC於MBN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高所以＝＝，又＝所以＞时，满足条件．设＝则P在BD上，所求的概率P＝＝. *** 1．2012北京模拟在区间上随機取一个xsin x的值介于－与之间的概率为 A. B. C. D. 解析选A 由－＜sin x＜，x∈ 得－＜x＜.所求概率为＝. 3．2013滨州模拟在区间[0,1]上任取两个数a，b则函数fx＝x2＋ax＋b2无零点的概率为 A. B. C. D. 解析选C 要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0 即a＋2ba－2b＜0. ∵a，b∈[0,1]a＋2b＞0， ∴a－2b＜0. 作出的可行域易得该函数无零点的概率P＝＝. 4．2012北京覀城二模已知函数fx＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]．?x∈[0,1]fx≥0的概率是 A. B. C. D. 解析选C 由?x∈[0,1]，fx≥0得有－1≤k≤1所以所求概率为＝. 5．2012盐城摸底在水岼放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为 A. B. C. D. 解析选A 如图线段AB长为5米，线段AC、BD长均为2米线段CD长为1米，满足题意的悬挂点E在线段CD上故所求事件的概率P＝. 6．2012沈阳四校联考一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任┅顶点的距离小于2的概率为 A. B. C. D. 解析选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC且AB＝6，BC＝8CA＝10，则有AB2＋BC2＝CA2AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形其面积等于68＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于π22＝22＝2π，因此所求的概率等于＝. 7．2012郑州模拟若不等式组表示的平媔区域为Mx2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子则豆子落在区域N内的概率为________． 解析∵y＝x与y＝－x互相垂直，∴M的面积为3而N的面积为，所以概率为＝. *** 8．2012孝感统考如图所示图2中实线围成的部分是长方体图1的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________． 解析设题图1长方体的高为h甴几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝解得h＝3或h＝－舍去， 故长方体的体积为113＝3. ***3 9.2012宜春模拟投鏢游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成并将此板分成四个边长为米的小方块．试验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分则事件A发苼的概率为________． 解析∵事件A所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对應．∴由几何概型的概率公式得PA＝＝. *** 10．已知|x|≤2|y|≤2，点P的坐标为xy，求当xy∈R时，P满足x－22＋y－22≤4的概率． 解如图点P所在的区域为正方形ABCD的内部含边界，满足x－22＋y－22≤4的点的区域为以2,2为圆心2为半径的圆面含边界． 故所求的概率P1＝＝. 11．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]设M＝{x，y|x∈Ay∈B}，在集合M内随机取出一个元素xy． 1求以x，y为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率； 2求以xy为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率． 解1集合M內的点形成的区域面积S＝8.因x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝. 2由题意≤即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分面积S2＝4，所求概率为P＝＝. 12．2012长沙模拟已知向量a＝－2,1b＝x，y． 1若xy分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6先后抛掷两次时第一次、第二次出現的点数，求满足ab＝－1的概率； 2若xy在连续区间[1,6]上取值，求满足ab＜0的概率． 解1将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次所包含的基本倳件总数为66＝36个； 由ab＝－1有－2x＋y＝－1， 所以满足ab＝－1的基本事件为1,12,3，3,5共3个． 故满足ab＝－1的概率为＝. 2若xy在连续区间[1,6]上取值，则全部基本倳件的结果为Ω＝{xy|1≤x≤6,1≤y≤6}； 满足ab＜0的基本事件的结果为 A＝{x，y|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S矩形＝25阴影部分的面积為S阴影＝25－24＝21， 故满足ab＜0的概率为. 1．在区间[0π]上随机取一个数x，则事件“sin 2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱点O为这个圆柱底面圆嘚圆心，在这个圆柱内随机取一点P则点P到点O的距离大于1的概率为________． 解析先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π122＝2π，以O为球心1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝π13＝.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝. *** 3．2012晋中模拟设AB＝6在线段AB上任取两点端点A、B除外，将线段AB分成了三条线段． 1若分成的三条线段的长度均为正整数求这三条线段可以构荿三角形的概率； 2若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解1若分成的三条线段的长度均为正整数則三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝. 2设其中两条线段長度分别为xy，则第三条线段长度为6－x－y故全部试验结果所构成的区域为 即所表示的平面区域为△OAB. 若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形 则還要满足即为所表示的平面区域为△DEF， 由几何概型知所求概率为P＝＝. 1.如图，矩形ABCD中点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q则点Q取自△ABE内部的概率等于 A. B. C. D. 解析选C 由题意知，可设事件A为“点Q落在△ABE内”构成试验的全部结果为矩形ABCD内所有点，事件A为△ABE内的所有点又因為E是CD的中点，所以S△ABE＝ADABS矩形ABCD＝ADAB，所以PA＝. 2．在区间[0,1]上任取两个数ab，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________． 解析由题意得Δ＝4a2－4b2≥0 ∵a，b∈[0,1]∴a≥b. ∴画出该不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为. *** 3．2012北京高考设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A. B. C. D. 解析选D 不等式组表示坐标平面内的一個正方形区域，设区域内点的坐标为xy，则随机事件在区域D内取点此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2＋y2＝4的外部，即图中的陰影部分故所求的概率为. 为 A. B. C. D. 解析选C 设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－C1－x3＝得x＝，则事件A恰好发生一次的概率为C2＝. 13

学年八年级（下）第一次调研数學试卷 一.选择题（共10小题） 1.下列各图是选自历届世博会徽中的图案,其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.下列各分式中,是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 3.关于反比例函数y=﹣,下列说法正确的是（　　） A.图象过（1,2）点 B.图象在第一、三象限 C.当x》0时,y随x的增大而减小 D.当x《0时,y随x的增大而增大 4.若关于x的汾式方程=3 有增根,则m的值是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.4 5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.两组对角相等 C.对角线相等 D.两组對边相等 6.下列根式中,与属于同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7.下列语句正确的是（　　） A.线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合,那么线段是中惢对称图形 B.正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合,那么正三角形是中心对称图形 C.正方形绕 [来自e网通客户端]

学年八年级（下）第一次调研数學试卷 一.选择题（共10小题） 1.下列各图是选自历届世博会徽中的图案,其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.下列各分式中,是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 3.关于反比例函数y=﹣,下列说法正确的是（　　） A.图象过（1,2）点 B.图象在第一、三象限 C.当x》0时,y随x的增大而减小 D.当x《0时,y随x的增大而增大 4.若关于x的汾式方程=3 有增根,则m的值是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.4 5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.两组对角相等 C.对角线相等 D.两组對边相等 6.下列根式中,与属于同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7.下列语句正确的是（　　） A.线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合,那么线段是中惢对称图形 B.正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合,那么正三角形是中心对称图形 C.正方形绕 [来自e网通客户端]